2024年四川省泸州市部分中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年四川省泸州市部分中学中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. |2024|D. 12024
2.据华夏时报报告，经综合研判，预计2024年全国国内旅游人数将超过60亿人次，将60亿用科学记数法表示应为( )
A. 60×108B. 6×109C. 0.60×1010D. 6×108
3.鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是( )
A. B.
C. D.
4.下列各式中计算正确的是( )
A. a2+a4=a6B. a2⋅a4=a8
C. a12÷a6=a6(a≠0)D. (−3a2)3=9a6
5.如图AB/​/CD，∠A=72°，则∠1的度数是( )
A. 72°B. 80°C. 82°D. 108°
6.在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩(单位：分)分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是( )
A. 中位数是8B. 众数是9C. 平均数是8D. 方差是0
7.如果P点的坐标为(a,b)，它关于y轴的对称点为P1，P1关于x轴的对称点为P2，已知P2的坐标为(−2,3)，将点P向左平移4个单位后的坐标为( )
A. (−2,−3)B. (−6,−3)C. (−6,3)D. (−2,3)
8.如图，圆O的半径为1，点A，B，C在圆周上，∠C=45°，则弦AB的长度为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
9.如果关于x的一元二次方程x2−2kx+1=0的两个根x1、x2，且x12+x22=2，则k的值是( )
A. k=1B. k=−1C. k=0D. k=±1
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM.若MN=3，S菱形ABCD=24，则OM的长为( )
A. 3
B. 3.5
C. 2
D. 2.5
11.如图，在平面直角坐标系中，有A(−1,0)，B(0,1)，P(−3,2)三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则△ABC的面积最大值为( )
A. 2+ 22
B. 2− 22
C. 2+ 2
D. 2
12.在平面直角坐标系中，已知点A(−3,1)，B(1,5)，若二次函数y=mx2+3x−2(m≠0)与线段AB无交点，则m的取值范围是( )
A. 124或m<43
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.因式分解：−m2n+2mn−n= ______．
14.抛物线的函数表达式为y=3(x−1)2+1，若将x轴向下平移1个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为______．
15.已知关于x的不等式组x2+x+13>0x+5a+43>43(x+1)+a恰好有三个整数解，则a的取值范围是______．
16.如图，正方形ABCD中，AB=4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：2cs30°+(−12)−1+| 3−2|+(2 94)0+ 9．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，点D，F分别为边AC，AB的中点.延长DF到点E，使DE=EF，连接BE.求证：BE=DC．
19.(本小题6分)
化简：(x2x+1−x)÷x2−1x2+2x+1．
20.(本小题7分)
某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级.请根据两幅统计图(不完整)中的信息回答下列问题：

(1)本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；
(2)“C等级”在扇形图中的圆心角度数为______；
(3)若从体能测试结果为A等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
21.(本小题7分)
“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现：每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系．
(1)求每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)
(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%.该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元？
22.(本小题8分)
夏日阳光明媚，某小食店打开了遮阳棚让顾客乘凉.如图，在其侧面的平面示意图中，遮阳篷AB长为5m，与水平面的夹角为15°，房屋外墙BC高度为4.3m，当太阳光线AD与地面CE的夹角为60°时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1m；参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27， 3≈1.73)
23.(本小题8分)
如图所示，双曲线y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=−12x−1的图象交于A(m,1)，B(2,n)两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)设直线AB与x轴交于点C，若P为y轴正半轴上一点，当△APC的面积为3时，求点P的坐标．
24.(本小题12分)
如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，过AC的中点E作EF⊥AB于点H，交⊙O于点F，连接CF与AB相交于点D．
(1)如图1，若FC也是⊙O的直径，已知AB=6，求AC的长．
(2)如图2．
①求证：AC= 2AF；
②若AH：HD=7：5，求tan∠EFC的值．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，C(0,3)两点，并与x轴交于另一点B．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)求点B坐标；
(3)设P(x,y)是抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②当点P运动到某一位置时，能构成以BC为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰△BPC的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B．
根据符号相反的两个数是相反数，据此解答即可．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：60亿=6000000000=6×109．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：从正面看到的平面图形是：．
故选：D．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2，a4不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
B、a2⋅a4=a6≠a8，故该选项是错误的；
C、a12÷a6=a6(a≠0)，故该选项是正确的；
D、(−3a2)3=−27a6≠9a6，故该选项是错误的；
故选：C．
依据同底数幂相乘、相除，积的乘方，合并同类项计算法则进行逐项分析，即可作答．
本题考查了同底数幂相乘、相除，积的乘方，合并同类项，熟练掌握各个运算是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图：
∵AB/​/CD，
∴∠A=∠2=72°，
∴∠1=180°−∠2=108°，
故选：D．
先利用平行线的性质可得∠A=∠2=72°，然后利用平角定义进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为8+92=8.5≠8，该选项错误，不符合题意；
B、这组数据中众数为9，该选项正确，符合题意；
C、这组数据平均数为18×(7+7+8+8+9+9+9+10)=8.375≠8，该选项错误，不符合题意；
D、这组数据的平均数为8.375，则方差为18×[2×(7−8.375)2+2×(8−8.375)2+3×(9−8.375)2+(10−8.375)2]≠0，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案．
本题考查统计综合，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的计算方法是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵P2的坐标为(−2,3)，P1关于x轴的对称点为P2，
∴P1(−2,−3)，
∵P点的坐标为(a,b)，它关于y轴的对称点为P1，
∴a=2，b=−3，
∴点P的坐标为(2,−3)，
∴点P向左平移4个单位后的坐标为(−2,−3)．
故选：A．
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变分别确定P1和P的坐标即可．
此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵⊙O的半径为1，
∴OA=OB=1，
∴AB= 2OA= 2．
故选：C．
根据圆周角定理求出∠AOB=90°，可得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．根据圆周角定理求出∠AOB=90°是解此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2kx+1=0的两个根x1、x2，
∴x1+x2=−ba=2k，x1⋅x2=ca=1；
x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2；
∴4k2−2=2；
∴4k2=4，
解得：k=±1．
故选：D．
根据一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，即可求解．
本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
10.【答案】D
【解析】解：∵点M，N分别是边AD，CD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴AC=2MN=2×3=6，
∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD=24，
∴OA=OC=12AC=3，OB=OD，AC⊥BD，12AC⋅BD=24，
即12×6×BD=24，
∴BD=8，
∴OD=12BD=4，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD= OC2+OD2= 32+42=5，
∵点M是AD的中点，OA=OC，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD=2.5，
故选：D．
由三角形中位线定理得AC=2MN=6，再由菱形的性质和勾股定理求出CD=5，然后由三角形中位线定理即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：作射线AP，过点P作PH⊥x轴于H，

∵A(−1,0)，B(0,1)，P(−3,2)，
∴OA=OB=1，AH=PH=2，
∴∠PAH=∠OAB=45°，AB= 2，AP=2 2，
∴∠PAB=90°，
设射线AP交⊙P于C，过点C作圆的切线，则切线//AB，
∴此时△ABC的面积最大，
∵圆的半径为1，
∴AC=2 2+1，
∴△ABC的面积最大值为12AB⋅AC=12× 2×(2 2+1)=2+12 2，
故选：A．
连接PA，过点P作PH⊥x轴于H，可得∠PAH=∠OAB=45°，则∠PAB=90°，设PA交⊙P于C，过点C作圆的切线，可知此时△ABC的面积最大，即可求解．
本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系以及切线的性质等知识，正确记忆相关知识点是解题关键．
12.【答案】D
【解析】解：当m>0，
把A(−3,1)代入y=mx2+3x−2(m≠0)得到，1=9m−9−2，
解得m=43，
由图象可知，0把B(1,5)代入y=mx2+3x−2(m≠0)得到，5=m+3−2，
解得m=4，
由图象可知，当m>4时，图象与线段AB无交点，
当m<0时，二次函数y=mx2+3x−2(m≠0)图象开口向下，且必过点(0,−2)，
则图象与线段AB一定无交点，
综上可知，若二次函数y=mx2+3x−2(m≠0)与线段AB无交点，则m的取值范围是m>4或m<43，
故选：D．
分m>0和m<0两种情况，找到临界值，分别画出图象，根据图象分析后即可得到答案．
此题考查了二次函数的图象和性质，掌握其性质是解决此题的关键．
13.【答案】−n(m−1)2
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．此多项式有公因式，应先提取公因式，再用完全平方公式继续分解．
【解答】
解：−m2n+2mn−n
=−n(m2−2m+1)
=−n(m−1)2．
故答案为：−n(m−1)2．
14.【答案】y=3(x−3)2+2
【解析】解：根据题意知，将抛物线y=3(x−1)2+1向下平移1个单位长度，再向右移2个单位长度所得抛物线解析式为：y=3(x−3)2+2．
故答案为：y=3(x−3)2+2．
此题可以转化为求将抛物线“向下平移1个单位长度，再向右移2个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
15.【答案】1【解析】解：x2+x+13>0①x+5a+43>43(x+1)+a②，
由①得：x>−25，
由②得：x<2a，
所以不等式组的解集是−25∵x的不等式组 x2+x+13>0x+5a+43>43(x+1)+a恰有三个整数解，
∴2<2a≤3，
∴1故答案为：1先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出即可．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是得出关于a的不等式组．
16.【答案】2 13−2
【解析】解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，则∠MQC=90°，
∴∠BQC=90°，
∴点Q在以BC为直径的圆上运动，
∵AD=DE，∠ADP=∠EDP，DP=DP，
∴△ADP≌△EDP(SAS)，
∴AP=EP，
∴AP+PQ=EP+PQ≥EQ≥EO−ON= OF2+EF2−2= 62+42−2=2 13−2，
∴AP+PQ的最小值为2 13−2，
故答案为：2 13−2．
AP+PQ中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段DC上，想到将军饮马，Q在以BC为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题．
本题考查了将军饮马、隐圆、点圆最值问题，关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．
17.【答案】解：原式=2× 32−2+2− 3+1+3=4．
【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数的运算法则，化简求值即可．
本题考查了实数的运算，主要考查零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数的运算，解题的关键是掌握运算法则．
18.【答案】∵△ADF≌△BEF，
∴AD=BE，证明：∵点F为边AB的中点，
∴AF=BF，
在△ADF和△BEF中，
AF=BF∠AFD=∠BFEDF=EF，
∴△ADF≌△BEF(SAS)，
∴AD=BE，
∵点D为AC的中点，
∴AD=CD，
∴BE=CD．
【解析】点F为边AB的中点，得AF=BF，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ADF≌△BEF，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题重点考查全等三角形的判定与性质等知识，△ADF≌△BEF是解题的关键．
19.【答案】解：(x2x+1−x)÷x2−1x2+2x+1
=−xx+1⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx−1．
【解析】先计算括号内的减法，再计算除法即可．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．
20.【答案】50 115.2°
【解析】解：(1)10÷20=50(名)，
故答案为：50，
补全条形图如下：
(2)测试结果为C等级的学生数为：50−10−20−4=16(名)，
∴360°×1650=115.2°，
故答案为：115.2°；
(3)画出树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率为212=16．
(1)根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数；
(2)用总数减去A、B、D中的人数，即可求出C等级的人数，画出条形图即可；
(3)画树状图，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图，画条形统计图，求扇形统计图圆心角，熟练掌握相关性质是解题关键．
21.【答案】解：(1)由图象可知每月销售量y(件)与售价x(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为y=kx+b(k≠0,x≥50)，
将(60,600)，(80,400)代入，得：
60k+b=60080k+b=400，
解得：k=−10b=1200，
∴每月销售y(件)与售价x(元)的函数关系式为y=−10x+1200；
(2)由题意得：
10000=(−10x+1200)(x−50)，
解得x=70或100，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的50%，
∴x≤50×(1+50%)，即x≤75，
∴x=70，
∴售价定为70元可获得利润是10000元．
【解析】(1)由图象可知每月销售量y(件)与售价x(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为y=kx+b(k≠0,x≥50)，用待定系数法求解即可；
(2)由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AG⊥CE，垂足为G，

由题意得：AF=CG，CF=AG，
在Rt△ABF中，AB=5m，∠BAF=15°，
∴BF=AB⋅sin15°≈5×0.26=1.3(m)，
AF=AB⋅cs15°≈5×0.97=4.85(m)，
∴AF=CG=4.85(m)，
∵BC=4.3m，
∴CF=AG=BC−BF=4.3−1.3=3(m)，
在Rt△ADG中，∠ADG=60°，
∴DG=AGtan60∘=3 3= 3(m)，
∴CD=CG−DG=4.85− 3≈3.1(m)，
∴阴影CD的长约为3.1m．
【解析】过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据题意可得：AF=CG，CF=AG，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AF的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵直线y=−12x−1经过A(m,1)，B(2,n)两点．
∴A(−4,1)，B(2,−2)，
∴1=k−4，
解得k=−4，
故反比例函数解析式为y=−4x．
(2)设点P(0,m)，直线AB与y轴交于点D，
∵y=−12x−1，

∴D(0,−1)C(−2,0)，PD=m−(−1)=m+1，
∵S△APC=S△APD−S△CPD=3，A(−4,1)
∴12(m+1)×4−12(m+1)×2=3，
∴m+1=3，
解得m=2，
故P(0,2)．
【解析】(1)根据直线y=−12x−1经过A(m,1)，B(2,n)两点．确定A(−4,1)，B(2,−2)，代入解析式计算即可．
(2)设点P(0,m)，直线AB与y轴交于点D，结合y=−12x−1，确定D(0,−1)C(−2,0)，PD=m−(−1)=m+1，利用S△APC=S△APD−S△CPD，列式计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握交点的意义，是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图1：连接OE，

∵AE=CE，OF=OC=3，
∴OE是△CAF的中位线，
∴AF=2OE，OE/​/AF，
∵OE/​/AF，
∴△OHE∽△AHF，
∴OHHA=OEAF=OE2OE=12，
∵OA=12AB=3，
∴OH=1，AH=2．
∵OC=OA，AE=EC，
∴OE⊥AC，
∵FE⊥OA，
∴∠AHE=∠AEO=90°，
∵∠EAH=∠EAO，
∴△AOE∽△AEH，
∴AEHA=AOAE，即AE2=AH⋅AO=2×3=6，
∴AE= 6(负值舍去)，
∴AC=2AE=2 6．
(2)①如图：连接OF，则OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠AOF=180°−∠OAF−∠OFA=180°−2∠OAF，
∴∠ACF=12∠AOF=90°−∠OAF，
∵EF⊥AB，
∴∠AFH=90°−∠OAF，
∴∠AFE=∠ACF．
∵∠CAF=∠EAF，
∴△EAF∽△FAC，
∴AFAC=AEAF，
∴AF2=AE⋅AC，即AC2=2AF2，
∴AC= 2AF．
②如图2：过点C作CG⊥AB于点G，

设AH=7t，HD=5t，HE=m，
∵EF//CG，
∴△AEH∽△ACG，
∴HECG=AHAG=AEAC=12，即AG=2AH=14t，CG=2HE=2m，
∴HG=AG−AH=14t−7t=7t，
∴DG=HG−HD=7t−5t=2t，
∵EF//CG，
∴△HDF∽△CDG，
∴HFCG=HDDG，
∴HF2m=5t2t，
∴HF=5m，
由①AC= 2AF，
∴AF= 22AC= 22×2AE= 2AE.即AF2=2AE2．
∴2[(7t)2+m2]=(7t)2+(5m)2，
解得t= 237m．
∴tan∠EFC=HDHF= 237．
【解析】(1)如图：连接OE，则OE是△CAF的中位线，即OE/​/AF，然后根据相似三角形的性质可得OHHA=OEAF=12，再求出OA=12AB=3，得到OH=1，AH=2；最后根据勾股定理和垂径定理即可解答；
(2)①如图：连接OF，先证明△AEF∽△FAC可得AF2=AE⋅AC，再结合AC=2AE并整理即可解答；②过点C作CG⊥AB于点G，设AH=7t，HD=5t，HE=m，再根据相似三角形的判定与性质可得CG=2HE=2m、DG=2t；进而得到△HDF∽△CGD，则HFCG=HDDG，然后说明HF=5m，再结合AF2=2AE2运用勾股定理和正切的定义即可解答．
本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得：0=−1−b+cc=3，
解得：b=2c=3，
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)令y=−x2+2x+3=0，
解得：x=−3(舍去)或1，
即点B(1,0)；
(3)①存在，理由：
如图2中，

∵点P(x,y)在抛物线y=−x2+2x+3上，
且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为(x,−x2+2x+3)，
同理可设点N的坐标为(x,−x+3)，
又点P在第一象限，
∴PN=PM−NM，
=(−x2+2x+3)−(−x+3)，
=−(x−32)2+94，
∴当x=32时，
线段PN的长度的最大值为 94；
②解：如图3中，

由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为(a,a)，
又点P在抛物线y=−x2+2x+3上，于是有a=−a2+2a+3，
∴a2−a−3=0，
解得a=1± 132，
∴点P的坐标为：(1+ 132,1+ 132)或(1− 132,1− 132)，
若点P的坐标为：(1+ 132,1+ 132)，此时点P在第一象限，
在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=1+ 132，
OB=OC=3，
S△BPC=S四边形BOCP−S△BOC=2S△BOP−S△BOC=2×12⋅BO⋅PM−12×BO⋅CO，
=2×12×3×1+ 132−=3 13−62；
若点P的坐标为(1− 132,1− 132)，此时点P在第三象限，
同理可得：S△BPC=3 13+62．
综上所述△BPC的面积为：3 13−62或3 13+62．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)令y=−x2+2x+3=0，解得：x=−3(舍去)或1，即可求解；
(3)①设点P的坐标为(x,−x2+2x+3)，则N的坐标为(x,−x+3)，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；
②求出BC的垂直平分线的解析式，用方程组求出点P的坐标即可解决问题．
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．