浙江省春晖中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份浙江省春晖中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了已知，则，的展开式的第6项的系数是，，则，已知数列的前项和为，设，，则，函数的零点个数为，20是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知，则 （ ）
A．1B．2C．D．
2．的展开式的第6项的系数是 （ ）
A．B．C．D．
3．，则 （ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点的个数是（ ）
A．36B．30C．25D．20
5．已知数列的前项和为，设，，则 （ ）
A．B．C．D．1012
6．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有两件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件，则取出的零件是次品的概率是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知等比数列的前项和为，且，若，，则 （ ）
A．180B．150C．135D．90
8．函数的零点个数为 （ ）
A．1B．2C．3D．4
二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．20是 （ ）
A．通项为的数列的第3项
B．通项为的数列的第3项
C．前项和为的数列的第9项
D．前项和为的数列的第9项
10．已知为离散型随机变量，为随机事件，为的对立事件，，下列说法正确的是 （ ）
A． B．
C．若，则 D．若互斥事件，则
11．已知的展开式共有13项，则在其展开式中下列说法正确的是 （ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为B．二项式系数最大的项为第7项
C．所有项的系数和为D．有理项共5项
三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．___________（用数字表示）．
13．已知，则_____________．
14．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为_________．
四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）解不等式：．
16．（15分）班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单．
（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
（3）现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？
17．（15分）抽屉中装有4双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
（1）取了2次后，取出的一次性筷子的双数的分布列；
（2）取了2次后，取出的一次性筷子的双数的均值和方差；
（3）在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率．
18．（17分）已知数列、满足，.
（1）若数列为等差数列，求数列的通项公式；
（2）若数列是公比2的等比数列，求数列的前项和．
19．（17分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，其中且，求实数的值．
春晖中学2023学年第二学期高二期中考试
数学参考答案
一．选择题
1．B 2． D 3．C 4． A 5．C 6． C 7．B 8． B
二．多选题
9．BCD 10．ACD 11．ABD
三．填空题
12．20 13．-592 14．100
四．解答题
15．（1）当时，函数取极大值为，当时，函数取极小值为；
（2）原不等式的解集为：．
16.(1)种
(2)种
(3)种
【详解】（1）
将个相声节目捆绑在一起，看成个节目，与其余个节目一起排，
则共有种不同排法；
（2）
若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，
可以用个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，
再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有种不同排法；
（3）
若个相声节目相邻，则有种不同排法，
若个魔术节目相邻，也有种不同排法，
若个相声节目相邻，并且个魔术节目也相邻，则有种不同排法，
则个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，可由个节目的全排列减去个相声节目相邻的排列数和个魔术节目相邻的排列数，
再加上个相声节目相邻并且个魔术节目也相邻的排列数，
所以共有种不同排法．
17．（1）取了2次后，取出的一次性筷子的双数的分布列；
（2）取了2次后，取出的一次性筷子的双数的均值为，方差为；
（3）在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率．
18．（1）； （2）．
19．（1）曲线在点处的切线方程为；
（2）在都是单调递增；
（3）
1） 由题意 ， 即切点为， ， ， ，
所以曲线在点处的切线方程为 ， 即 ；
证明： 由 ， 设 ，则 ，
所以当时， ，单调递减，
当时， ，单调递增， 又，
所以对于任意的有， 即，
因此在 单调递增，在 单调递增，
即 ，则 ，
所以时， ， 单调递减，
所以， 即 ， 即 ＜ ，时， ， 单调递增， 所以， 即 ， 即 ＞ ，所以是其定义域上的增函数.
由（2） 可知， 时， ，所以 ， 故，
令 ， ， ，
由题意时， ， 时， ，
若 ，则当 时， ， 不满足条件， 所以， 而 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
在 ， 单调递减，在 ， 单调递增，
若 ＜ ，则当 ＜ ＜时， ，单调递减，
此时， 不满足题意；若 ＞，
则当＜ ＜ 时， ，单调递减，
此时， 不满足题意；若，
则当时， ，单调递增，此时，
且当时， ，单调递增，此时 ，满足题意，
所以， 解得 ，
综上所述， .
X
0
1
2
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