广东省江门市鹤山市第一中学2023-2024学年高二下学期第二阶段考试（5月）数学试题

这是一份广东省江门市鹤山市第一中学2023-2024学年高二下学期第二阶段考试（5月）数学试题，共9页。试卷主要包含了已知为的导数，且，则，设数列满足，且，则，已知，则，关于下列命题中，说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．设等差数列a的前n项和为，且，则的值是（ ）
A．11B．50C．55D．60
2．已知为的导数，且，则（ ）
A．2B．C．1D．2
3．已知的展开式中二项式系数和为128，则展开式中有理项的项数为（ ）
A．0B．2C．3D．5
4．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．20种B．16种C．12种D．8种
5．设数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．3
6．设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．722B．729C．D．
8．已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知，是等差数列的前n项和，且，，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
10．关于下列命题中，说法正确的是（ ）
A．已知，若，，则
B．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的分位数为78
C．已知，若，则
D．某校三个年级，高一有400人，高二有360人．现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人．
11．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知数列满足，，则的通项公式是______．
13．有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有______种．（用数字作答）
14．已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则______．
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分）
15．在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
16．如图，在四棱锥中，，为等边三角形，，，，，为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线PB与平面MCD所成角的正弦值．
17．已知双曲线C：的一条渐近线与直线垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C交于A、B两点，线段AB的中点为，求直线的方程．
18．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；
（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”，在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”，以样本频率估计概率．若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差；
（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”，在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生，为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：，
19．已知函数，为其导函数．
（1）若恒成立，求a的取值范围；
（2）若存在两个不同的正数，使得，证明：．
鹤山一中2023-2024学年度第二学期第二阶段考试
高二级数学答案
1．C2．B3．C
4．B【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，
①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以有种方法；由分类加法计数原理可知，一共有种排法，
1+02=-2，a=1-0，
5．A【详解】因为，，所以，，，，
显然数列的周期为4，而，因此．
6．D【详解】解：函数在上单调递减，则在上恒成立，所以，在上恒成立，设函数，则，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，则实数a的取值范围是．
7．A【详解】设，则，所以．又因为，所以，所以．
8．C【详解】令，，则，所以在单调递减，因为，所以，时，不等式化为，即，即，所以，所以不等式的解集为．
9．ABC10．BCD
11．ABC【详解】记第一次抽到第1号球的事件分别为，则有，对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为，故A选项正确；对于B，记第二次在第i号盒子内抽到3号球的事件分别为，而，，两两互斥，和为，，，，即第二次抽到3号球的事件为B，，故B选项正确；对于C，记第二次在第i号盒子内抽到3号球的事件分别为，而，，两两互斥，和为，，，，记第二次抽到3号球的事件为C，第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，，，，
即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误；
12．13．50
14．2【详解】设该公切线过函数、函数的切点分别为，．因为，所以该公切线的方程为同理可得，该公切线的方程也可以表示为．因为该公切线过原点，所以，解得，，．
15．【详解】（1）因为数列满足，且，
当时，可得，即，
当时，适合上式，
所以数列的通项公式为，．
（2）由于，且，，则，即
设，则，
两式相减得：，所以，
所以，
16．【详解】（1）设AD中点为O，连接PO，为等边三角形，故，由题意知，，，故，，故，又，，PO，，故，，故，又M为PA的中点，为等边三角形，则，，AB、，所以；
（2）由（1）知，，故，连接CO，，则，，即四边形AOCB为平行四边形，故，∴，故以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面MCD的一个法向量为，则，即，令，则，设直线PB与平面MCD所成角为，，则
17．【详解】（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线C的渐近线为，则，可得，双曲线C的渐近线方程为，即，因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，解得，所以，所以双曲线C的方程为
（2）若，则A、B关于x轴对称，此时，线段AB的中点在x轴上，不合乎题意，
设、，设直线l的斜率为k，则，则，
所以，化简得．因为线段AB的中点为，
所以，，所以，解得，双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率，故过点的直线与双曲线有两个交点．所以直线l的方程为
18．【详解】（1）根据题意可得列联表如下；
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
计算可得，根据小概率值的独立性检验，
推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过．
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率即可得．故，．
（3）已知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：，，，
故所求分布列为
可得．
19．【详解】（1），当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，解得，即a的取值范围为．
（2）证明：不妨设，则，要证，即证，则证，则证，所以只需证，即．令，，则，．当时，，，则，所以在上单调递减，则．所以由（1）知在上单调递增，所以，从而成立．
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
女生
16
30
合计
21
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
Y
0
1
2
3
P