2023_2024学年辽宁沈阳皇姑区辽宁省实验学校高二下学期期中数学试卷

这是一份2023_2024学年辽宁沈阳皇姑区辽宁省实验学校高二下学期期中数学试卷，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023~2024学年辽宁沈阳皇姑区辽宁省实验学校高二下学期期中数学试卷
一、单选题
1.已知事件A与事件B相互独立且
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
2.若随机变量X的分布列为
X
P
1
p
0
q
其中
A.
，则（
）
，
B.
，
C.
，
D.
，
3.恩格尔系数(Engel’sCefficien)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于
最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居
民人均可支配收入的折线图.

给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.
其中正确的是（
A. ①
）
B. ②
C. ①②
D. ②③
4.设数列
的前 项和为 ，设甲：
）．
是等比数列；乙：存在常数 ，使
是等比数列．已知两个
数列的公比都不等于1，则（
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
C. 甲是乙的充要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5.某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，
第 号同学同意第 号同学当选
，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按0”，令
，其中
第 号同学不同意第 号同学当选
，且
，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（
）
A.
C.
B.
D.
6.已知等差数列
A. -1
的公差为
B.
，集合
，若
，则
（
）
C. 0
D. 1
7.已知
，则
，
，
～
．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标 （单位：毫
，现从中随机抽取 个，这 个零件中恰有 个的质量指标 位于区间
米）服从正态分布
．
，试以使得
B. 55
最大的 值作为 的估计值，则 为（
）
A. 50
C. 59
D. 64
8.设 为数列
的前n项和，若
，且存在
，
，则 的取值集合
为（
）

A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设
的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（
是公比为q的无穷等比数列，下列关于
）（注：其中n为大于1的整数，
为
的前n项和．）
A.
与
B.
与
C.
与
D. q与
10.下列说法中，正确的命题是（
A. 由样本数据得到的回归直线
）
必经过样本点中心
，则
B.
，
C. 若
，
，
D. 在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则 也变成原来的2倍（
，其中
）
11.已知集合
，
，将集合D中所有元素从小到大依次排列为数列
，将集合E的所有元素从小到大依次排列为数列
B.
，
，集合
，
为数列
的前n项和．集合
．则（
）
A.
C.
或2
D. 若存在
，使
，则n的最小值
为26
三、填空题
12.记等差数列
则公比
等比数列
的前 项和分别为
、
，若
，
，
，
．
13.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是 ，
从按钮第二次按下起，若前一次出现红球；则下一次出现红球、绿球的概率分别为 ， ，若前一次出现绿

球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为 ， ，记第
，则 的通项公式为
次按下按钮后出现红球的概率为
．
14.将正方形
分割成
个全等的小正方形（图1、图2分别给出了
的情形），在
每个正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形
等差数列.若顶点 处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数和为
，…，
的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成
，则有
，
．
四、解答题
15.在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向
也悄然发生转变某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主
创业，该专营店统计了近五年来创收利润数 （单位：万元）与时间 （单位：年）的数据，列表如下：
1
2
3
4
5
2.4
2.7
4.1
6.4
7.9
（Ⅰ）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 并加以说明（计算结
果精确到0.01）．（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）：
（Ⅱ）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满500元可减50元；
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为 ，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽
奖的结果相互独立．
①某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得100元现金奖励的概率．
②某位顾客购买了1500元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加三
次抽奖？说明理由

附：相关系数公式
参考数据：
．
16.（1）已知数列
，其中
，且数列
为等比数列，求常数p；
，证明：数列 不是等比数列．
（2）设
，
是公比不相等的两个等比数列，
17.某校有 ， 两个餐厅﹐为调查学生对餐厅的满意程度，在某次用餐时学校从 餐厅随机抽取了67人，从
餐厅随机抽取了69人，其中在 ， 餐厅对服务不满意的分别有15人、6人，其他人均满意.
(1)根据数据列出2×2列联表，并依据小概率值
有关联？
的独立性检验，能否认为用餐学生与两家餐厅满意度
(2)学校对大量用餐学生进行了统计﹐得出如下结论：任意一名学生第一次在校用餐时等可能地选择一家餐厅用
餐，从第二次用餐起，如果前一次去了 餐厅，那么本次到 ， 餐厅的概率分别为
，
；如果前一次去了
餐厅，那么本次到 ， 餐厅的概率均为 .求任意一名学生第3次用餐到 餐厅的概率.
附：
，其中
.
0.100
2.706
0.050
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
18.如图，已知正方体
顶点处有一质点 ，点 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点
移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点 的初始位
置位于点 处，记点 移动 次后仍在底面
上的概率为
.
(1)求
；
(2)①求证：数列
是等比数列；

②求
.
19.已知数列
满足
且
对
．
(1)用数学归纳法证明：
(2)已知不等式
；
对
成立，求证：
．
(3)已知不等式
成立，证明：
，其中无理数
．