江苏省海安高级中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题

这是一份江苏省海安高级中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A.B.C.D.
2.若函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A.1B.2C.3D.4
3.在二项式的展开式中，记各项的系数和为，则被5除所得的余数是（ ）
A.4B.3C.2D.1
4.某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了五局”，则（ ）
A.B.C.D.
5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A.6寸B.4寸C.3寸D.2寸
6.若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ）
A.-1B.1C.0D.
7.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点（0，0，0）的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.定义在上的可导函数，满足，且，若，，则a，b，c的大小关系是（ ）.
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题是真命题的有（ ）
A.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C.平面，的法向量分别为，，则
D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
10.甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”；用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取出一球，用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的是（ ）
A.事件F与G是互斥事件B.事件E与事件G不相互独立
C.D.
11.如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点F满足，则（ ）
A.当时，平面
B.任意，三棱锥的体积是定值
C.存在，使得与平面所成的角为
D.当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，D是的中点，与交于点，且平面.若，则三棱柱的高为_______.
13.若过点有三条直线与函数的图象相切，则实数m的取值范围为______.
14.人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为________（用分数表示或者保留三位小数）.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上.只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公.这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景.甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛都分出了胜负.
（1）求比赛结束时乙获胜的概率；
（2）比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X，求随机变量X的分布列.
16.（15分）在三棱柱中，是和的公垂线段，与平面成60°角，，.
（1）求证：平面；
（2）求到平面的距离；
（3）求二面角的正切值.
17.（15分）2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的2014年-2023年全国新能源汽车保有量（百万辆）数据：
并计算得：，，，，.
（1）根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，那么第2辆仍选择购买新能源汽车的概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源汽车的概率为0.8.计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率；
（3）某汽车网站为调查新能源汽车车主的用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已知有4名候选车主是新能源汽车车主.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车主的分布列及数学期望.
附：相关系数：，.
18.（17分）设函数，其中为自然对数的底数，为实数.
（1）若在上单调递增，求实数k的取值范围；
（2）求的零点的个数；
（3）若不等式在上恒成立，求的取值范围.
19.（17分）多元导数在微积分学中有重要的应用.设y是由等多个自变量唯一确定的因变量，则当a变化为时，y变化为，记为y对a的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则y随着a的增大而增大；反之，已知，则y随着a的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（自然对数的底数），
（1）写出和的表达式；
（2）已知方程有两实根，，.
①求出a的取值范围；
②证明，并写出随的变化趋势.
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】A
5.【答案】C 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】AD 10.【答案】BCD 11.【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】0.024/
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【答案】
（1）比赛结束时，乙获胜有三种情况：
①第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜，②第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜，③第一局，第二局2胜，
∴比赛结束时乙获胜的概率；
（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
.
∴X的分布列为
16.【答案】
（1）∵三棱柱中是与的公垂线段，
∴，.
又，∴平面.
（2）∵平面，平面
∴平面平面，
作垂足为，则平面，
为与平面所成角，即，
在中，，
∵，∴，为中点，
即到平面的距离为.
（3）过作，垂足为，连接，由三垂线定理可得，
∴为二面角平面角，
在中解得，在中解得.
17.【解析】（1），
所以相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数为0.89.
（2）设“第1辆购买新能源汽车”，“第1辆购买非新能源汽车”，“第2辆购买新能源汽车”，，，.
由全概率公式,得.
因此，苏同学第2辆购买新能源汽车的概率为0.7.
（3）设被选到新能源汽车车主数为X，.
，，
，，
所以.
18.【答案】
【小问1详解】，
因为在上单调递增，
所以对恒成立，
令，，则，
则当时，，当时，，
故在上递减，在上递增，
则，
依题意，需使，即，故得：，
所以实数的取值范围为；
【小问2详解】
由，得，
因为，若，则，无零点，
当时，，故在上递增，
注意到，，
由零点存在定理，在上有唯一的零点；
所以有1个零点；
【小问3详解】
不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
令，，
又，所以在上恒成立，
当时，，
令，则，，
所以函数在上单调递增，所以，即，
所以函数在上单调递增，所以，故时，符合题意；
当时，函数在上单调递增，
则，，
令，，则，
所以函数在上单调递增，
所以，所以，
令，，则，
所以函数在上单调递增，
所以，所以，
所以，
所以，使得，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，与题意矛盾，
综上所述，.
19.【答案】（1）解：设，
则，
同理.
（2）解：①由（1），可得，则，
且时，，，
即单调递减，时，即单调递增，
故，
又由时，趋近于0的速度远远快于趋近于的速度，
故，，因此只需且，
即由零点存在性定理，，，存在两个零点，故；
②由
，
由①可得，，故只需证明，
令，设，
则，且，
则，
又单调递增，且，故，单调递增，则，
必然，否则即单调递减，不符合题意，
，故原命题成立.
所以随增大而减小.
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
保有量
0.12
0.50
1.09
1.60
2.61
3.81
4.92
7.84
13.10
20.41
0
1
2
0
1
2
3