2024年陕西省西安市第三中学中考模拟数学试题

这是一份2024年陕西省西安市第三中学中考模拟数学试题，共25页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共21分）
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是实数的大小比较，无理数的估算，掌握实数大小比较的方法是解本题的关键，由，从而可得答案．
【详解】解：∵
∴，
∴最大的数是，
故选A
2. 如图，是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据主视图的定义去判断即可，本题考查了几何体的主视图，熟练掌握左视图的定义是解题的关键．
【详解】解：该几何体的左视图是：
故选：D．
3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，进而得到．
【详解】解：如图所示，∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4. 在平面直角坐标系中，直线：与直线：平行，且经过点，则的值为（ ）
A. 6B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线：与直线：平行，得，；把代入得，解得，计算，解答即可．
本题考查了一次函数平行的条件，待定系数法，熟练掌握条件和待定系数法是解题的关键．
【详解】根据直线：与直线：平行，
得，；
把代入
得，
解得，
故，
故选A．
5. 将一副直角三角板按如图所示摆放，其中，，，若，则的长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，，，得；
根据，得；解答即可．
本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数，熟练掌握三角函数，特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】根据，，，
得；
根据，
得；
故选C．
6. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则的长为（ ）
A. 26寸B. 13寸C. 24寸D. 12寸
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵
∴，
设圆O的半径的长为x，则，
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
解得：，
∴（寸）．
故选：A．
7. 已知抛物线与y轴交于点，则此抛物线的顶点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】把代入解析式，得，解得（舍去），得到解析式为，继而得到顶点坐标为，解答即可．
本题考查了抛物线顶点坐标，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】把代入解析式，得，
解得（舍去），
故，
故顶点坐标为，
故选B．
第二部分（非选择题 共99分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
8. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
9. 因式分解： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用公式法分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，解题关键是按因式分解的一般步骤：一提、二套、三分组，有公因式要先提公因式进行分解．
10. 如图，正六边形的边长为2，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作于点G，根据正六边形的边长为2，得到，继而得到，，结合解答即可．
本题考查了正多边形的性质，特殊角的三角函数值，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】过点C作于点G，
∵正六边形的边长为2，
∴，
∴，，
∴，
∴,
故答案为：．
．
11. 如图，正方形的顶点A、B在y轴的正半轴上，点E在边上，且，反比例函数的图象经过点C、E，若，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点E作轴于点N，交于点G，延长交x轴于点M，根据正方形，，得,设，则，根据反比例函数的图象经过点C、E，得到，解答即可．本题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：过点E作轴于点N，交于点G，延长交x轴于点M，
∵正方形，，，
∴,
设，则，
根据反比例函数的图象经过点C、E，
∴，
解得．
故答案为：．
．
12. 如图，在菱形中，点E是边的中点，P是菱形内一动点，连接，若，的面积为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，由的面积是3可求出点P到得距离为，在直线上方距离直线为得位置作直线，点关于直线对称，连接，连接交与F，可得当三点共线时，最小，即此时，最小值为，据此利用勾股定理求出即可．
【详解】解：∵菱形，，E是的中点，
，
，
∴点P到得距离为，
如图所示，在直线上方距离直线为的位置作直线，点关于直线对称，连接，连接交与F，

由轴对称的性质可得，，，
，，
∴当三点共线时，最小，即此时，最小值为，
在中，由勾股定理得，
故的最小值为．
故答案是：．
三、解答题（共13小题，计84分．解答应写出过程）
13. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂和化简二次根式，先计算负整数指数幂和化简二次根式，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
14. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】∵
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
15. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简计算，利用约分，通分，因式分解计算即可．
【详解】
．
16. 如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，，得到．结合，得，即作的平分线即可．
本题考查了等腰三角形的性质，角的平分线的基本作图，熟练掌握性质和基本作图是解题的关键．
【详解】根据，，得到．结合，得，即作的平分线，作图如下：
．
则即为所求．
17. 如图，已知，于点D，于点E，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由垂直的定义得到，再由三角形内角和定理证明，进而证明，则．
【详解】证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
18. 盲盒近些年来比较火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了年轻人的青睐．某商场计划采购进价为12元的生活用品盲盒和进价为26元的二次元动漫盲盒，若该商场用3400元采购了这两种盲盒共190盒，则二次元动漫盲盒采购了多少盒？
【答案】80盒
【解析】
【分析】设二次元动漫盲盒采购了盒，则生活用品盲盒盒，可列出一元一次方程为，解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键．
【详解】设二次元动漫盲盒采购了盒，则生活用品盲盒盒，
根据题意，得，
解得．
答：二次元动漫盲盒采购了80盒．
19. 为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践活动．每位同学可以在“数学编程”“篮球韵律操”“电烙画”“摄影”四门实践课程中选择一门．为公平起见，学校制作了如图所示的转盘，转盘被分成了四个面积相等的扇形，学生转动转盘一次，指针指到的课程即为自己参加的实践课程（当指针指到分界线上时，则重转）．
（1）小明是该校的一名学生，则他参加实践课程“数学编程”的概率是________；
（2）同校的亮亮是小明的好朋友，他们想参加相同的实践课程，请用列表或画树状图的方法，求小明和亮亮参加相同的实践课程“电烙画”或“摄影”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据简单地概率公式解答即可．
（2）利用画树状图法解答即可．
本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．
【小问1详解】
他参加实践课程“数学编程”的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
设“数学编程”表示为，“篮球韵律操”表示为，“电烙画”表示为，“摄影”表示为，根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有种等可能的结果，其中参加相同的实践课程“电烙画”或“摄影”的有2种，
∴参加相同的实践课程“电烙画”或“摄影”的概率．
20. 揽月阁，位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑．一天下午，小红和小军来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，估测揽月阁的高度，如图，小军在C处放一平面镜，然后沿方向向前走1米到达D处，此时小军恰好在镜子里看到揽月阁顶端A的像，接下来小军不动，小红在距离D处49米的F处测得顶端A的仰角为．已知点B、C、D、F在一条直线上，小军眼睛到地面的距离米，，求揽月阁的高度．（平面镜的大小忽略不计）
【答案】100米
【解析】
【分析】根据，得到；根据光的反射原理，得到继而得到即，解答即可．
本题考查了跨学科综合，正切函数，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正切函数，跨学科综合是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
∴；
根据光的反射原理，得到,
∴即，
∵，
∴即，
∴，
解得，
∴，
故的高度为100米．
．
答：的高度为100米．
21. 某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元，乘车费与行驶路程之间的函数关系如图所示．
（1）填空：________，________；
（2）设乘客乘坐出租车的路程为x（）千米时，乘车费为y元．
①求y与x之间的函数关系式；
②王叔叔乘坐出租车到达目的地后，出租车共行驶了千米，则王叔叔应付多少元乘车费？
【答案】（1）；3
（2）① ②元
【解析】
分析】（1）根据函数图象解答即．
（2）①根据图象信息，解析式为，代入解答即可；
②根据千米大于3千米，选择解析式计算即可．
本题考查了待定系数法，函数图象信息处理，函数值的计算，熟练掌握待定系数法，函数值的计算是解题的关键．
【小问1详解】
根据函数图象信息，得；；
故答案为：；3．
【小问2详解】
①根据图象信息，设解析式为，
根据题意，得，
解得，
故解析式为．
②根据千米大于3千米，
当时，
．
答：应支付费用为元．
22. “绿电”即绿色电能，是指在生产电力过程中，二氧化碳排放量为零或趋近于零，相较于火力发电，对环境冲击影响较低的电力，绿电的主要来源为太阳能、风能等，为了解风力发电机组每天的发电量（记为），从风力发电机组中随机抽取若干台风力发电机，并统计每台风力发电机一天的发电量，将统计数据分成、、、、五组，绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是________，并补全频数分布直方图；
（2）所抽取的风力发电机一天的发电量的中位数落在________组；
（3）若该风力发电机组共有台风力发电机，请估计该风力发电机组中一天的发电量不少于万千瓦时的风力发电机有多少台？
【答案】（1），直方图见解析
（2）
（3）台
【解析】
【分析】本题考查了数据分析与统计图结合，正确从统计图中得出关键信息并会分析解题关键．
（1）利用组频数和占总体百分比即可求样本容量，再求组频数，即可画图；
（2）根据中位数的定义判断即可；
（3）利用样本估计总体的方法即可求解．
【小问1详解】
解：∵组频数为，占总体百分比为，
∴调查的样本容量为，
∴组频数为，
故答案为：，
补全频数分布直方图如图：
【小问2详解】
∵总数为，
∴中位数为从小到大排列后的第和第的平均数，
从图可知第和第个数都在组，
∴中位数落在组，
故答案为：；
【小问3详解】
∵样本中一天的发电量不少于万千瓦时的风力发电机有（台），样本容量为，
∴台风力发电机，一天的发电量不少于万千瓦时的风力发电机有（台）．
23. 如图，内接于，是的直径，C是延长线上一点，连接，过点O作分别交、于点E、F，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明，即证明是的切线．
（2）设与的交点为E，计算，利用圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角函数解答即可．
【小问1详解】
连接，
∵，
∴；
∵是的直径，
∴；
∴；
∴；
∵，
∴；
∵，
∴；
∴；
∴，
∴是的切线．
【小问2详解】
设与的交点为E，
∵为的直径，
∴；
∵，，
∴；
∴；
∵，
∴；
∴；
∴，
∵，
∴；
∴；
∴；
故的值为．
【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角函数的应用，熟练掌握切线的判定，三角函数的应用，垂径定理是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，且为或或，见解析
【解析】
【分析】（1）把点的坐标代入解析式，解方程组即可．
（2）根据得到，，对称轴为直线，设，．利用分类思想和中点坐标公式计算即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接．
∴，
解得，
故抛物线的解析式为，
令得，
∴．
【小问2详解】
存在点N,使得四边形平行四边形，且或或．理由如下：
∵，
∴，，对称轴为直线，
设，．
当，两点一条对角线时，此时中点坐标为
，两点为另一条对角线，此时中点坐标为，
故，
解得，此时，
故；
当，两点为一条对角线时，此时中点坐标为
，两点为另一条对角线，此时中点坐标为，
故，
解得，此时，
故；
当，两点为一条对角线时，此时中点坐标为
，两点为另一条对角线，此时中点坐标为，
故，
解得，此时，
故；
综上所述，点或或．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，与坐标轴的交点，平行四边形的存在问题，中点坐标公式，分类思想，熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质是解题的关键．
25. 问题提出

（1）如图①，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最小值为________；
问题探究
（2）如图②，是正方形内一点，且，若，求的最小值；
问题解决
（3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形，其中，，千米，千米，观光园的设计者想在园中找一点，使得点与点、、、所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在的区域内，且区域的面积最小，试问在四边形内是否存在这样的点，使得，且的面积最小？若存在，请你在图中画出点的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）位置见解析，
【解析】
【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键．
（1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可判定；
（2）利用定直线定角，先确定点的轨迹为圆上部分，再确定最值即可求解；
（3）利用定直线定角，先确定点的轨迹为圆上部分，连接，，作于，交于，作于，延长交于，当时，的值最小，此时的面积最小．
【小问1详解】
解：过点作，交于点，

由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变，
可知此时最小，
最小值为，
故答案为；
【小问2详解】
∵是定值，，
∴点轨迹在以为直径的圆上部分，如图，

连接，交圆于点，
此时的即为的最小，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：；
【小问3详解】
∵千米，是定值，，
∴点的轨迹为以为弦，圆周角的圆上部分，
即以为边向下作等边三角形，作的外接圆，点轨迹是（不包括，），
连接，，作于，交于，作于，延长交于，

当时，的值最小，此时的面积最小，
由题意，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
，
∴，
∴，
∴的面积的最小值．