山东省烟台市莱山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份山东省烟台市莱山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共22页。

1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的
1. 代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A. B. C. D. ≤-1
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．
2. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式性质，解题的关键是根据二次根式的性质依次对各选项进行化简即可作出判试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。断．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：C．
3. 下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：①，是一元二次方程；
②，当时，不是一元二次方程；
③，不是整式方程，不是一元二次方程；
④，是一元二次方程；
⑤，含有两个未知数，不是一元二次方程；；
⑥，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程；
∴一元二次方程有2个，
故选：B．
4. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴.
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴.
∴DE=.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
5. 如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A. 78 cm2B. cm2C. cm2D. cm2
【答案】D
【解析】
【分析】根据两小正方形的面积求出大正方形的边长及面积，然后减去两个小正方形的面积，即可求出阴影部分的面积进而得出答案．
【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是，
留下部分（即阴影部分）的面积是：
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是关键．
6. 若是和的比例中项，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，再根据一元二次方程根的判别式可得，代入计算即可求解．
【详解】解：∵是和的比例中项，
∴，
∵关于的一元二次方程中，，
∴，
∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个相等的实根，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握比例中项的概念，根的判别式判断一元二次方程根的情况的知识是解题的关键．
7. 已知a，b，c是非零实数，且，求k的值为（ ）
A. B. C. －1或D. －1或
【答案】D
【解析】
【分析】分别从①当a+b+c=0时与②当a+b+c≠0时去分析，根据比例的性质，即可得到答案．
【详解】解：①当时，则，
∴，
∴；
②时，由比例的性质，得
∵，
∴；
∴k的值为－1或；
故选：D．
【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意等比性质的应用与应用条件，注意分类讨论思想的应用．
8. 是某三角形三边的长，则等于（ ）
A. B. C. 10D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
9. 若，是方程两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A. 2024B. 2027C. 2032D. 2035
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系和一元二次方程的解的定义得到，，进而得到，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴原式
，
故选：C．
10. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，
去年上半年平均每周作业时长为分钟，
去年下半年平均每周作业时长为分钟，
今年上半年平均每周作业时长为分钟，
现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．
11. 兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为﹣2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程是（ ）
A. x2+7x﹣12＝0B. x2﹣7x﹣12＝0C. x2+7x+12＝0D. x2﹣7x+12＝0
【答案】B
【解析】
【分析】根据兰兰没有看错常数项，这里有根与系数的关系得到常数项为-2×6，笑笑没看错一次项系数，则一次项系数为-（3+4），从而得到原方程．
【详解】解：兰兰把一次项系数看错，则常数项为﹣2×6＝﹣12，
笑笑因把常数项看错，则一次项系数为﹣（3+4）＝﹣7，
所以原方程为x2﹣7x﹣12＝0．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=，也考查了一元二次方程的解．
12. 观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可．
【详解】解：根据所给式子的规律可得：，
解得：．
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
13. 化简：___．
【答案】
【解析】
【分析】将分子与分母分别乘以后化简即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的分母有理化，正确找到分母的有理化因式是解题关键．
14. 已知，那么的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，先求出，再把代入所求式子中进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查成比例线段（如果四条线段，，，成比例，则，注意顺序，位置不能随意颠倒），解题的关键是根据成比例线段列式计算即可．
【详解】解：∵线段，，，是成比例线段，，，，
∴，
∴，
∴的值是．
故答案为：．
16. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义，即可得到答案．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
又，
∴，
解得：；
故答案为：1．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟记定义进行解题．
17. 已知一个矩形的两条边长分别和，则它的对角线的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，根据矩形的对角线的平方等于矩形一组邻边的平方和进行求解即可．
【详解】解：∵一个矩形的两条边长分别和，
∴矩形的对角线长为，
故答案为：．
18. 若实数，满足，则的值是______________．
【答案】3
【解析】
【分析】求出()()=3，再分解因式，根据二次根式的性质得出，求出即可求解．
【详解】解：∵实数a，b满足()()=3，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，二次根式的性质和解一元二次方程等知识点，能求出是解此题的关键．
19. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价________元．
【答案】10
【解析】
【分析】设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解．
【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20. 已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于________
【答案】5或9
【解析】
【分析】当或时，即，代入方程即可得到结论，当时，即，解方程即可得到结论．
【详解】解：∵m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当或时，即，
∴方程，
解得：，
此时该方程为，
解得：，
此时三角形的三边为5，5，1，符合题意；
当时，即，
即，
解得：，
此时该方程为，
解得：，
此时三角形的三边为5，3，3，符合题意；
综上所述，k的值等于5或9，
故答案为：5或9．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确的理解题意是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分60分）
21. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用二次根式的性质及化简，二次根式的乘法及除法，最后算加减法；
（2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加减法．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
22. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先去括号，再把含未知数项移到方程左边，然后利用配方法解方程即可；、
（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
23. 数学吴老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的整数部分是________．
（2）为的小数部分，为的整数部分，求的值．
（3）已知，其中是一个正整数，，求的值．
【答案】（1）3； （2）1；
（3）19.
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）根据所给的方法进行求解即可；
（2）由题意可得，，再代入求解即可；
（3）由题意可得，，再代入所求的式子运算即可．
【小问1详解】
解：，
∴的整数部分为3，小数部分为：；
故答案为：3；
小问2详解】
解：∵a为的小数部分，b为的整数部分，
，，
；
【小问3详解】
解，其中x一个正整数，，
，，
．
24. 如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，证明，结合，可得，，从而得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
25. 阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；
再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）代数式的最大值为________；
（2）已知：，，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，
（1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可；
（2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解．
掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
【小问1详解】
解：∵
，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴代数式的最大值为，
故答案为：；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴代数式的值为．
26. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两实数根，满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．
（1）先把方程化为一般式得到，根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，则，利用（1）的的范围去绝对值后解方程得到的值，然后根据（1）中的范围确定k的值．
解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．也考查了一元一次不等式及一元二次方程的解法．
【小问1详解】
解：，
整理得：，
∵该方程有两个实数根，，
∴，
解得：，
∴实数的取值范围是；
【小问2详解】
∵，是方程的两实数根，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴可化简为：，
∴，
解得：（不合题意，舍去），，
∴的值为．
27. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）花圃的面积为___________平方米（用含a的式子表示）；
（2）如果花所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积x（）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求花圃的面积要超过800平方米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
【答案】（1）或者；
（2）通道宽为5米； （3）通道宽为2米．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用以及一次函数求表达式，解题的关键是表示出花圃的长和宽．
（1）花圃的长为米，宽为米，据此求解即可
（2）根据“花圃所占面积是整个长方形空地面积的，列出关于的一元二次方程，解之即可；
（3）先根据图像利用待定系数法求出和的函数解析式，再由通道和花圃的总造价为105920元列出关于的方程，解之即可得出答案．
【小问1详解】
或者
【小问2详解】
解得：，（不符合题意，舍去）
即通道宽为5米；
【小问3详解】
根据图象可设经过
则有，解得
∴
当时设，经过，，则有
解得：
∴
∵花圃面积为：，
∴通道面积为：
∴
解得，（不符合题意，舍去）．
答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
28. 如图，中，，，．
（1）如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．
①经过多少秒钟，的面积等于；
②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
（2）如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．
【答案】（1）①秒或秒；②秒
（2）秒或秒或秒
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，
（1）①由三角形的面积公式可求解；
②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案；
（2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案；
运用分类讨论的思想是解题的关键．
【小问1详解】
解：①设经过秒钟，的面积等于，
∵中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点，分别从，两点同时出发
∴，，
∴，
∴，
解得：，，
∴经过秒或秒钟，的面积等于；
②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得：
1），即：，
∴，
解得：（不合题意，舍去），；
2），即：，
∴，
∵，
此方程无实数根，即这种情况不存在；
综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分；
【小问2详解】
设经过秒，的面积为，可分三种情况：
①点在线段上，点在线段上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：（舍去），；
②点在线段上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：；
③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）；
综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为．