2023-2024学年湖南省常德市高一下学期期中考试数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省常德市高一下学期期中考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,3}，B={1,2,6}则A∩B=( )
A. {1,2,3,6}B. {3,6}C. {1}D. {1,2}
2.若复数Z=3+i，则Z的的共轭复数的虚部为( )
A. iB. −1C. −iD. 1
3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′C′=3，则该平面图形的高为( )
A. 3 2B. 3C. 6D. 6 2
4.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b=3，c=2 3，△ABC的面积为3 32，则a=( )
A. 6B. 3C. 3D. 39
5.孤峰塔坐落在与常德城隔江相望的德山孤峰岭．初名“文峰塔”，与北岸笔架城遥相映衬，象征常德人杰地灵，文运昌盛．常德立德中学高一学生为了测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测量得∠CDB=120∘，CD=60米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为30∘，45∘，则孤峰塔高AB=( )
A. 60米B. 60 2米C. 60 3米D. 30 2米
6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把(1+1%)365看作是经过365天的“进步值”，(1−1%)365看作是经过365天的“退步值”，则大约经过天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956)( )
A. 100B. 230C. 130D. 365
7.在△ABC中，BA⋅AC+AC2=0，AC|AC|⋅AB|AB|= 22，则△ABC的形状为( )
A. 等腰直角三角形B. 三边均不相等的三角形
C. 等边三角形D. 等腰(非直角)三角形
8.如图，直线l1//l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为 2和 6.点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，点E、F在线段BC上运动(包括端点)且EF=1，若△ABC的面积为2 3.则AE⋅AF的最小值为( )
A. 3B. 114C. 3 22D. 74
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件
B. 在复数集C中，方程x2+x+1=0有两个解，依次为−12+ 32i，−12− 32i
C. A∈α，A∈β，则α∩β=A(α,β为平面，A为点)
D. ∀a∈R，二次函数y=x2+a(x∈R)为偶函数
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,A>0,|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x)=2sin2x+π4
B. f(x)在−π4,π4上单调递增
C. f(x)的图象向右平移π4个单位长度后得到的函数是奇函数
D. f(x)在[−π,π]上的零点有4个
11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是棱AA1，A1D1，DD1的中点，则下列说法正确的是( )
A. FG与EB是共面直线
B. 如果正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的体积为4 3π
C. 过A，B1，D1三点作一个截面，截得的几何体A1−AB1D1的体积43
D. 若在AD1上存在一点M使得A1M+MC最小，最小值为 6+ 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.角α终边上有一点P(3,−2)，则sinα=__________
13.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积为__________
14.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=10，b=6，A=120∘，I为△ABC的内心，e为与CB同向的单位向量，则CI在CB上的投影向量为__________(用e表示)
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知|a|=1，|b|=3，(a+b)⋅b=8.
(1)求|a+b|；
(2)当k为何值时，ka−b与a+2b垂直？
16.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且a2+c2−b2= 3ac.
(1)求角B的大小；
(2)若c−b=2bcsA，D为AC的中点，BD=1，求a
17.(本小题12分)
某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为60 cm的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.
(1)求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？( 3≈1.73)
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+ 3sin2x−cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期
(2)若α是锐角，且fα2=85，求角α的正弦值
(3)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，f(A)= 3，求△ABC周长的取值范围．
19.(本小题12分)
对于函数f(x)，h(x)，如果存在实数a，b，c使得h(x)=af(2x)+bf(x)+c，那么称函数h(x)为f(x)的“重组函数”
(1)已知f(x)=ex+1，h(x)=(ex+1)2，是否存在实数a，b，c使得h(x)是f(x)的重组函数？若存在，求出a，b，c；若不存在，试说明理由．
(2)当a=1，b=−2，c=−3，f(x)=2x+1时，求f(x)的重组函数h(x)的值域．
(3)当a=1，c=2，f(x)=2x+1时，f(x)的重组函数h(x)有唯一的零点，求实数b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了交集及其运算，属于基础题.
直接利用交集的定义即可求解．
【解答】
解：∵A={1,2,3}，B={1,2,6}，
∴A∩B={1,2}.
故选D.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的概念和共轭复数，属于基础题.
求出共轭复数，由复数的概念即可求解.
【解答】
解：若复数Z=3+i，
则Z的的共轭复数为3−i，其虚部为−1
3.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法，是基础题.
根据斜二测画法可知，水平放置的图形OABC的形状，结合梯形的面积公式求解即可.
【解答】解：由直观图可得如图所示的平面图，在直角梯形O′A′B′C′中，O′C′=3，
则该平面图形的高为6
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了余弦定理和三角形面积公式，属于中档题.
先由三角形面积公式求得A，再由余弦定理求a.
【解答】
解：因为△ABC的面积为3 32，bc=6 3，
所以12bcsinA=3 32，sin A=12，
又0所以A=π6，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA=9+12−2×3×2 3× 32=3，
∴a= 3.
故选C.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查余弦定理解决高度问题，属于中档题.
设该塔的高度为h 米，由题意，根据同角的商关系可得BC= 3h,BD=h ，结合余弦定理计算即可求解.
【解答】
解：设该塔的高度为 h 米，
则BC=ABtan∠ACB=htan30∘= 3h,BD=ABtan∠ADB=htan45∘=h .
在△BCD 中，BC2=BD2+CD2−2BD⋅CDcs∠CDB ，
即3h2=h2+3600−2h×60cs 120∘ ，
由h>0 ，解得h=60 ，
即塔高AB 为60米.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查指数及对数运算的实际应用，属于中档题.
设经过t天的“进步值”大约是“退步值”的100倍，则(1+0.01)t(1−0.01)t=100，化简，等式两边取对数求解即可得到答案.
【解答】
解：设经过t天的“进步值”大约是“退步值”的100倍，
则(1+0.01)t(1−0.01)t=100，即(10199)t=100，
两边取对数可得tlg10199=2，
tlg101−lg99=2，
所以t=2lg101−lg99≈22.0043−1.9956≈230
即大约经过230天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积与向量的垂直关系、向量的数量积的概念及其运算，属于一般题题．
利用向量的数量积，判断垂直关系，结合单位向量的数量积求解夹角，判断三角形即可．
【解答】
解：在△ABC中，BA⋅AC+AC2=0，
所以AC⋅BA+AC=AC⋅BC=0，
所以AC⊥BC，则C=π2，
又AB|AB|⋅AC|AC|= 22，可得csA= 22，
所以A=π4，
所以三角形是等腰直角三角形.
故选A.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角形面积公式，二倍角公式，向量的坐标运算，属于较难题.
过点A作l1，l2的垂线，交l1，l2分别于点M，N，根据三角形ABC的面积为2 3，先求出∠ABN=π4，进而求出AC，AB，BC，再建立平面直角坐标系，利用向量得坐标运算，结合二次函数即可求解.
【解答】
解：过点A作l1，l2的垂线，交l1，l2分别于点M，N，
则AM= 2，AN= 6，
设∠ABN=θ，则∠ACM=π2−θ，0<θ<π2，
所以AC=AMsinπ2−θ= 2csθ，AB=ANsinθ= 6sinθ，
所以三角形ABC的面积为：12× 2csθ× 6sinθ=2 3sin2θ=2 3，
解得sin2θ=1，又0<θ<π2，所以2θ=π2,θ=π4，
所以AC=2，AB=2 3，BC= 4+12=4，
以B为原点，BC所在直线为x轴，垂直BC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：

可知A(3, 3), 因为EF=1，
不妨设E(x,0),F(x+1,0) ，0≤x≤3，
所以AE=(x−3,− 3),AF=(x−2,− 3) ，
所以AE⋅AF=x−3x−2+3=x2−5x+9=x−522+114，
又0≤x≤3，所以当x=52时，AE⋅AF取得最小值为：114.
故选：B.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查的是空间中的共面问题，复数集内解方程，空间中平面与平面的位置关系，函数的奇偶性，属于中档题.
利用空间中的共面问题判断A，利用附属内解方程判断B，利用空间中平面与平面的位置关系判断C，利用函数的奇偶性判断D.
【解答】
解：对于A，显然由“三点共线”可以得到“四点共面”，反之，“四点共面”不一定能得到“三点共线”，故三点共线是这四个点共面的充分不必要条件，A正确；
对于B，由x2+x+1=0可得，x+122=−34，则x+12=± 32i，所以x=−12± 32i，
即方程x2+x+1=0有两个解，依次为−12+ 32i，−12− 32i，B正确；
对于C，由面面相交得直线可得原命题错误，C错误；
对于D，对于二次函数f(x)=x2+a定义域为R，f−x=−x2+a=x2+a=fx，故为偶函数，D正确.
故选ABD.
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题.
由函数的图象得函数f(x)=2sin (2x+π4)，然后逐项判断即可求解.
【解答】解：由函数的图象可得A=2，由12⋅2πω=5π8−π8，解得ω=2，
再根据最值得2×π8+φ=π2+2kπ，k∈Z；
又|φ|<π2，得φ=π4，得函数f(x)=2sin (2x+π4)，故A正确；
当x∈−π4,π4时，2x+π4∈[−π4,3π4]，
此时f(x)在−π4,π4上不是单调递增的，故B错误；
将函数f(x)=2sin (2x+π4)向右平移π4个单位可得到
y=2sin[2(x−π4)+π4]=2sin(2x−π4)，不是奇函数，故C错误；
当x∈[−π,π]时，2x+π4∈[−7π4,9π4]，
由图像可知f(x)在[−π,π]上的零点有4个，故D正确，
故选AD.
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查球的体积，多面体表面上的最短距离问题，棱锥的体积公式，余弦定理，属于中档题.
根据异面直线的定义可以判断A，利用球的体积公式可以判断B，结合棱锥的体积公式可以判断C，将△AA1D1沿着AD1旋转至与△ACD1处于同一平面，A1M+MC最的最小值即为A1C，结合余弦定理可以判断D.
【解答】
解：连接GC，EG，CG//EB，则E，G，C，B四点共面，直线FG与平面EGCB相交，
显然FG与EB是异面直线，故A错误；
正方体的外接球半径为： 22+22+222=2 32= 3，
所以这个球的体积为：4π3⋅ 33=4 3π，故B正确；
VA1−AB1D1=VB1−AA1D1=13×2×12×2×2=43，故C正确；
将△AA1D1沿着AD1旋转至与△ACD1处于同一平面，如下图，
A1M+MC最的最小值即为A1C，又AA1=2，AC=2 2，∠A1AC=π4+π3=7π12，
所以A1C2=A1A2+AC2−2A1A⋅AC⋅cs∠A1AC=4+8−2⋅2⋅2 2⋅csπ4+π3
=12−8 2 24− 64=8+4 3，所以A1C= 6+ 2，故D正确；
故选BCD.
12.【答案】−2 1313
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数定义，属于基础题.
根据任意角的三角函数定义求正弦值即可.
【解答】
解：因为角α终边上有一点P(3,−2)，
所以sinα=−2 32+−22=−2 1313.
13.【答案】8 3π3
【解析】【分析】
本题主要考查圆锥的结构特征与体积计算，利用条件建立母线和半径之间的关系是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.
利用已知条件求出圆锥的底面半径，从而可求出圆锥的高，带入圆锥体积公式计算即可．
【解答】解：由题意得圆锥的母线长l=4，
设圆锥的底面半径为r，则2πr=4π，
解得r=2，
所以圆锥的高h= l2−r2=2 3，
圆锥的体积为V=13πr2h=8 3π3.
14.【答案】5e
【解析】【分析】
本题考查正余弦定理得应用，三角形面积公式，投影向量，属于中档题.
由余弦定理求a，由正弦定理求sinC，即可得csC，从而根据半角公式得sin∠ICB，cs∠ICB，由三角形面积求出内切圆半径，由此可得|CI|，带入投影向量公式计算即可.
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=196，
所以a=14，
由正弦定理得asinA=csinC，即sinC=casinA=5 314，
所以csC= 1−sin2C=1114，
又I为△ABC的内心，
所以sin∠ICB= 1−csC2= 328，
cs∠ICB= 1+csC2= 2528.
设△ABC内切圆半径为r，
则S△ABC=12bcsinA=12(a+b+c)r，
解得r= 3.
则|CI|=rsin∠ICB= 28，
所以CI在CB上的投影向量|CI|cs∠ICBe=5e.
15.【答案】解：(1)因为|a|=1，|b|=3，(a+b)⋅b=8，
所以a⋅b+b2=8，即a⋅b+32=8，则a⋅b=−1，
所以|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 12+2×(−1)+32=2 2;
(2)若ka−b与a+2b垂直，
则(ka−b)⋅(a+2b)=0，
即ka2+2ka⋅b−a⋅b−2b2=0，
即k×12+2k×(−1)−(−1)−2×32 =0，解得k=−17.
【解析】本题主要考查向量的数量积和向量的模，属于中档题.
(1)先将向量的模平方，利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的运算法则展开，求出值，再将值开方即可．
(2)ka−b与a+2b垂直，那么它们的数量积为0，得到关于k的方程解之即可．
16.【答案】解：(1)csB=a2+c2−b22ac= 32，B∈(0,π)，
所以B=π6，
(2)因为c−b=2bcsA，所以sinC−sinB=2sinBcsA，
因此sin(A+B)−sinB=2sinBcsA
化简得sin(A−B)=sinB所以sinA−π6=12，
由A∈(0,56π)，得A−π6∈(−π6,2π3)
所以A−π6=π6，即A=π3，所以C=π2，
设CD=x，则BC=2 3x在RtΔBCD中有(2 3x)2+x2=12
解得x= 1313，
所以a=2 3x=2 3913.
【解析】本题主要考查余弦定理，正弦定理，属于中档题.
(1)由csB=a2+c2−b22ac及B∈(0,π)可得角B的大小；
(2)由正弦定理及两角和的正弦公式，可得A，设CD=x，则BC=2 3x，解RtΔBCD，可得a.
17.【答案】解：(1)被截得的一个正四面体与原正四面体的底面三角形边长之比为1:3，
高之比也为1:3，
所以体积之比为1:27，
因此石凳的体积与原体积之比为23:27；
(2)因为SBCGHFD=6× 34×202=600 3cm2，
SΔABC= 34×202=100 3cm2，
所以几何体的表面积为：
S=4(SBCGHFD+SABC)=4⋅(600 3+100 3)=2800 3cm2=0.28 3m2，
而0.28 3×50=14 3≈14×1.73=24.22(元)，
所以粉刷一个石凳需要24.22元.
【解析】本题主要考查几何体的体积和表面积，属于基础题.
(1)计算出正四面体与原正四面体的底面三角形边长之比为1:3，可得石凳的体积与原体积之比；
(2)计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数.
18.【答案】(1)f(x)=2sinxcsx+ 3sin2x−cs2x=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
函数的最小正周期为T=2π2=π，
(2)因为f(α2)=2sin(α−π3)=85，所以sin(α−π3)=45，
又因为α为锐角，即α∈(0,π2)，
所以α−π3∈(−π3,π6)，所以cs(α−π3)=35，
所以sinα=sin(α−π3+π3)=sin(α−π3)csπ3+cs(α−π3)sinπ3=45×12+35× 32=4+3 310；
(3)由f(A)= 3可得，2sin(2A−π3)= 3，即sin(2A−π3)= 32，
又0又△ABC为锐角三角形，则0所以bsinB=csinC=asinA=2 32=4 33，
所以b=4 33sinB，c=4 33sinC，
则b+c=4 33(sinB+sinC)=4 33[sinB+sin(A+B)]
=4 33(sinB+ 32csB+12sinB)=4 33(32sinB+ 32csB)=4 33. 3sin(B+π6)=4sin(B+π6)，
因为π6所以b+c=4sin(B+π6)∈(2 3,4]，则2+2 3所以△ABC周长的取值范围为(2+2 3,6].
【解析】本题考查了正弦型函数性质，三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，属于中档题．
(1)利用三角函数的恒等变换得到f(x)=2sin(2x−π3)，从而根据正弦型函数的性质求解即可；
(2)先求出f(α2)=85，所以sin(α−π3)=45，又因为α为锐角，即α∈(0,π2)，求解即可；
(3)先求出A=π3，结合△ABC为锐角三角形得到019.【答案】解：(1)假设存在实数a，b，c，使得h(x)为f(x)的“重组函数”
则h(x)=(ex+1)2=e2x+2ex+1=a(e2x+1)+b(ex+1)+c
=ae2x+bex+a+b+c，
所以a=1，b=2，c=−2，
(2)当a=1，b=−2，c=−3，f(x)=2x+1时，
h(x)=(22x+1)−2(2x+1)−3=22x−2x+1−4
令t=2x(t>0)，因为y=t2−2t−4在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以h(x)∈[−5,+∞).
(3)当a=1，c=2，f(x)=2x+1时，
h(x)=22x+1+b⋅(2x+1)+2=22x+b⋅2x+b+3，
令h(x)=0，得到22x+b⋅2x+b+3=0，
所以b=−22x+32x+1，
得到2−b=2x+1+42x+1，
m=2x+1(m>1)因为y=x+4x在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以2−b=4或2−b≥5
解得b=−2或b≤−3
故b的取值范围为{b|b=−2或b≤−3}.
【解析】本题主要考查函数新定义，函数零点，函数值域，属于较难题.
(1)由重组函数定义求解即可；
(2)由题意h(x)=22x−2x+1−4，利用二次函数性质，可得函数值域；
(3)由22x+b⋅2x+b+3=0，得到2−b=2x+1+42x+1，根据y=x+4x单调性，可得b的取值范围.