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江苏省江阴市某校2023-2024学年高一下学期5月学情调研数学试题
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这是一份江苏省江阴市某校2023-2024学年高一下学期5月学情调研数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分：150 时间120分钟 命题人：
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
2. 《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（ ）
A. 1000人B. 300人C. 200人D. 100人
3. 如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A. 1B. C. 2D.
4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 假设，，且A与相互独立，则（ ）
A. 0.9B. 0.75C. 0.88D. 0.84
6. 如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如果三棱锥底面不是等边三角形，侧棱与底面所成的角都相等，平面，垂足为，则是的（ ）
A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心
8. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为（ ）
A. B. C D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.(多选)有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，下列命题正确的是（ ）
A. 若样本的每一个数据变为原来的6倍，则平均数也变为原来的6倍，方差不变
B. 若样本的每一个数据增加3，则平均数也增加3，方差不变
C. 若样本数据增加两个数值，且，则极差变大
D. 若样本数据增加两个数值，且，则中位数不变
10.(多选)一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字张卡片上标1个数，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件C互斥B. 事件B与事件C对立
C. 事件A与事件B相互独立D.
11.(多选)如图，在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是( )
A. 直线平面 B. 直线EF不可能与平面垂直
C. 直线与所成角为定值 D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.从1, 2, 3, 4中任取2个不同的数，则取出的2个数之和为5的概率为________．
13.一艘海轮从处出发，以每小时60海里的速度沿
南偏东方向直线航行，30分钟后到达处.在处有一
座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在
处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离是________海里.
14.已知点A，B，C均位于单位圆圆心为O，半径为上，
且，则__________；的最大值为__________.
四、解答题(本大题共5个大题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15（13分）已知，是夹角为的两个单位向量，，.
（1）求与的夹角；
（2）若与（）互相垂直，求的值.
16.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间､､……､､
求频率分布直方图中a的值，并估计该中学学生对个性化
作业评分不低于70的概率；
从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率；
估计这50名学生对个性化作业评分的平均数同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表
17.如图，在三棱锥中，，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面平面求证：
平面
平面平面
18.刍́甍́是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，和是全等的等边三角形.
求证：；
若已知，
①求二面角的余弦值；
②求该五面体ABCDEF的体积.
19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，D是边BC上一点.
求的值；
若
①求证：AD平分；
②求面积的最大值及此时AD的长.
2023-2024学年度春学期5月学情调研试卷
高一数学
总分：150 时间120分钟 命题人：
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
2. 《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（ ）
A. 1000人B. 300人C. 200人D. 100人
【答案】A
3. 如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5. 假设，，且A与相互独立，则（ ）
A. 0.9B. 0.75C. 0.88D. 0.84
【答案】C
6. 如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 如果三棱锥底面不是等边三角形，侧棱与底面所成的角都相等，平面，垂足为，则是的（ ）
A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心
【答案】D
8. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为（ ）
A. B. C D.
【答案】C
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.(多选)有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，下列命题正确的是（ ）
A. 若样本的每一个数据变为原来的6倍，则平均数也变为原来的6倍，方差不变
B. 若样本的每一个数据增加3，则平均数也增加3，方差不变
C. 若样本数据增加两个数值，且，则极差变大
D. 若样本数据增加两个数值，且，则中位数不变
【答案】BCD
10.(多选)一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字张卡片上标1个数，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件C互斥B. 事件B与事件C对立
C. 事件A与事件B相互独立D.
【答案】AC
11.(多选)如图，在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是( )
A. 直线平面 B. 直线EF不可能与平面垂直
C. 直线与所成角为定值 D. 三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.从1, 2, 3, 4中任取2个不同的数，则取出的2个数之和为5的概率为________． 【答案】
13.一艘海轮从处出发，以每小时60海里的速度沿
南偏东方向直线航行，30分钟后到达处.在处有一
座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在
处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离是________海里.
【答案】
14.已知点A，B，C均位于单位圆圆心为O，半径为上，
且，则__________；的最大值为__________.
【答案】 ；
四、解答题(本大题共5个大题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15（13分）已知，是夹角为的两个单位向量，，.
（1）求与的夹角；
（2）若与（）互相垂直，求的值.
【小问1详解】
因为，是夹角为的两个单位向量，故，
则，
则，
，
故，而，
故.
【小问2详解】
因为与（）互相垂直，
故，即，
故.
16.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间､､……､､
求频率分布直方图中a的值，并估计该中学学生对个性化
作业评分不低于70的概率；
从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率；
估计这50名学生对个性化作业评分的平均数同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表
【答案】解：由题意得：，
解得：，
由频率分布直方图知，不低于70分的三组频率之和为，
因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率为
受访学生评分在的有人，设为，
受访学生评分在的有人，设为，
从这5人中随机抽取2人，共10个等可能的基本事件，
分别为，
记事件A为“2人评分都在”，A包含3个基本事件，分别为，
所以，
因此2人评分都在的概率为
这50名学生对个性化作业评分的平均数为：
17.如图，在三棱锥中，，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面平面求证：
平面
平面平面
【答案】证明：，N分别为棱PB，PC的中点，
，
平面AMN，平面AMN，
平面AMN；
，M是棱PB的中点，，
平面平面PBC，平面平面，平面PAB，
平面PBC，
平面AMN，
平面平面
18.刍́甍́是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，和是全等的等边三角形.
求证：；
若已知，
①求二面角的余弦值；
②求该五面体ABCDEF的体积.
【答案】解：五面体ABCDEF中，因为平面ABCD，
平面CDEF，平面平面，所以
过点E作，作，垂足分别为G，H，
过点F作，作，垂足分别为M，N，
连结GH，MN，如图，
①由及四边形ABCD为长方形知，，
所以，，所以即为二面角的平面角，
因为，且和是全等的等边三角形，
所以，，
因此，在中，，，
由余弦定理，
得，故二面角的余弦值为
②取GH中点O，连结EO，由知，，
因为，，且EG，GH是平面EGH内两相交直线，
所以平面EGH，因为平面EGH，
所以，又GH，DC是平面ABCD内两相交直线，所以平面ABCD，
在中，，，可得，
所以，四棱锥和的体积均为，
三棱柱的体积，
所以，该五面体ABCDEF的体积为
19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，D是边BC上一点.
求的值；
若
①求证：AD平分；
②求面积的最大值及此时AD的长.
【答案】解：因为，，
所以
①因为，
所以，即，
由知，，，
设，，，
在中，由正弦定理得，，
即，所以，
在中，由正弦定理得，，
即，所以，
所以，
又，，
所以，
即AD平分；
②在中，因为，，
代入余弦定理得，，
而的面积，
解法1：因为，且为锐角，所以，
所以
，
当且仅当，取等号，
此时，，，即，，
由得，
解得
解法2：由得，
所以，
所以当即时，面积S最大为3，
此时在中，，，，
所以由余弦定理求得，
在中，由余弦定理得，
所以此时
总分：150 时间120分钟 命题人：
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
2. 《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（ ）
A. 1000人B. 300人C. 200人D. 100人
3. 如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A. 1B. C. 2D.
4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 假设，，且A与相互独立，则（ ）
A. 0.9B. 0.75C. 0.88D. 0.84
6. 如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如果三棱锥底面不是等边三角形，侧棱与底面所成的角都相等，平面，垂足为，则是的（ ）
A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心
8. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为（ ）
A. B. C D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.(多选)有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，下列命题正确的是（ ）
A. 若样本的每一个数据变为原来的6倍，则平均数也变为原来的6倍，方差不变
B. 若样本的每一个数据增加3，则平均数也增加3，方差不变
C. 若样本数据增加两个数值，且，则极差变大
D. 若样本数据增加两个数值，且，则中位数不变
10.(多选)一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字张卡片上标1个数，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件C互斥B. 事件B与事件C对立
C. 事件A与事件B相互独立D.
11.(多选)如图，在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是( )
A. 直线平面 B. 直线EF不可能与平面垂直
C. 直线与所成角为定值 D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.从1, 2, 3, 4中任取2个不同的数，则取出的2个数之和为5的概率为________．
13.一艘海轮从处出发，以每小时60海里的速度沿
南偏东方向直线航行，30分钟后到达处.在处有一
座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在
处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离是________海里.
14.已知点A，B，C均位于单位圆圆心为O，半径为上，
且，则__________；的最大值为__________.
四、解答题(本大题共5个大题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15（13分）已知，是夹角为的两个单位向量，，.
（1）求与的夹角；
（2）若与（）互相垂直，求的值.
16.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间､､……､､
求频率分布直方图中a的值，并估计该中学学生对个性化
作业评分不低于70的概率；
从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率；
估计这50名学生对个性化作业评分的平均数同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表
17.如图，在三棱锥中，，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面平面求证：
平面
平面平面
18.刍́甍́是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，和是全等的等边三角形.
求证：；
若已知，
①求二面角的余弦值；
②求该五面体ABCDEF的体积.
19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，D是边BC上一点.
求的值；
若
①求证：AD平分；
②求面积的最大值及此时AD的长.
2023-2024学年度春学期5月学情调研试卷
高一数学
总分：150 时间120分钟 命题人：
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
2. 《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（ ）
A. 1000人B. 300人C. 200人D. 100人
【答案】A
3. 如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5. 假设，，且A与相互独立，则（ ）
A. 0.9B. 0.75C. 0.88D. 0.84
【答案】C
6. 如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 如果三棱锥底面不是等边三角形，侧棱与底面所成的角都相等，平面，垂足为，则是的（ ）
A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心
【答案】D
8. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为（ ）
A. B. C D.
【答案】C
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.(多选)有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，下列命题正确的是（ ）
A. 若样本的每一个数据变为原来的6倍，则平均数也变为原来的6倍，方差不变
B. 若样本的每一个数据增加3，则平均数也增加3，方差不变
C. 若样本数据增加两个数值，且，则极差变大
D. 若样本数据增加两个数值，且，则中位数不变
【答案】BCD
10.(多选)一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字张卡片上标1个数，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件C互斥B. 事件B与事件C对立
C. 事件A与事件B相互独立D.
【答案】AC
11.(多选)如图，在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是( )
A. 直线平面 B. 直线EF不可能与平面垂直
C. 直线与所成角为定值 D. 三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.从1, 2, 3, 4中任取2个不同的数，则取出的2个数之和为5的概率为________． 【答案】
13.一艘海轮从处出发，以每小时60海里的速度沿
南偏东方向直线航行，30分钟后到达处.在处有一
座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在
处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离是________海里.
【答案】
14.已知点A，B，C均位于单位圆圆心为O，半径为上，
且，则__________；的最大值为__________.
【答案】 ；
四、解答题(本大题共5个大题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15（13分）已知，是夹角为的两个单位向量，，.
（1）求与的夹角；
（2）若与（）互相垂直，求的值.
【小问1详解】
因为，是夹角为的两个单位向量，故，
则，
则，
，
故，而，
故.
【小问2详解】
因为与（）互相垂直，
故，即，
故.
16.某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间､､……､､
求频率分布直方图中a的值，并估计该中学学生对个性化
作业评分不低于70的概率；
从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率；
估计这50名学生对个性化作业评分的平均数同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表
【答案】解：由题意得：，
解得：，
由频率分布直方图知，不低于70分的三组频率之和为，
因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率为
受访学生评分在的有人，设为，
受访学生评分在的有人，设为，
从这5人中随机抽取2人，共10个等可能的基本事件，
分别为，
记事件A为“2人评分都在”，A包含3个基本事件，分别为，
所以，
因此2人评分都在的概率为
这50名学生对个性化作业评分的平均数为：
17.如图，在三棱锥中，，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面平面求证：
平面
平面平面
【答案】证明：，N分别为棱PB，PC的中点，
，
平面AMN，平面AMN，
平面AMN；
，M是棱PB的中点，，
平面平面PBC，平面平面，平面PAB，
平面PBC，
平面AMN，
平面平面
18.刍́甍́是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，和是全等的等边三角形.
求证：；
若已知，
①求二面角的余弦值；
②求该五面体ABCDEF的体积.
【答案】解：五面体ABCDEF中，因为平面ABCD，
平面CDEF，平面平面，所以
过点E作，作，垂足分别为G，H，
过点F作，作，垂足分别为M，N，
连结GH，MN，如图，
①由及四边形ABCD为长方形知，，
所以，，所以即为二面角的平面角，
因为，且和是全等的等边三角形，
所以，，
因此，在中，，，
由余弦定理，
得，故二面角的余弦值为
②取GH中点O，连结EO，由知，，
因为，，且EG，GH是平面EGH内两相交直线，
所以平面EGH，因为平面EGH，
所以，又GH，DC是平面ABCD内两相交直线，所以平面ABCD，
在中，，，可得，
所以，四棱锥和的体积均为，
三棱柱的体积，
所以，该五面体ABCDEF的体积为
19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，D是边BC上一点.
求的值；
若
①求证：AD平分；
②求面积的最大值及此时AD的长.
【答案】解：因为，，
所以
①因为，
所以，即，
由知，，，
设，，，
在中，由正弦定理得，，
即，所以，
在中，由正弦定理得，，
即，所以，
所以，
又，，
所以，
即AD平分；
②在中，因为，，
代入余弦定理得，，
而的面积，
解法1：因为，且为锐角，所以，
所以
，
当且仅当，取等号，
此时，，，即，，
由得，
解得
解法2：由得，
所以，
所以当即时，面积S最大为3，
此时在中，，，，
所以由余弦定理求得，
在中，由余弦定理得，
所以此时
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