北京市牛栏山一中2024届高三下学期学期考前热身（三模）数学试题

这是一份北京市牛栏山一中2024届高三下学期学期考前热身（三模）数学试题，共19页。

1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ）
A．1B．C．D．
2．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（ ）
A．B．C．D．
4．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．已知，分别是双曲线：（，）的两个焦点，为双曲线上一点，且，那么双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
6．已知无穷数列满足（为常数），为的前项和，则“”是“和都有最小项”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．函数在上单调递增D．函数的值域是
8．已知直线：，为圆：上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．2
9．已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．某游戏开始时，有红色精灵个，蓝色精灵个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色（ ）
A．只与的奇偶性有关B．只与的奇偶性有关
C．与，的奇偶性都有关D．与，的奇偶性都无关
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）已知抛物线上一点，则抛物线的准线方程为_________；点到焦点的距离为_________．
12．（5分）已知向量，，与共线，则_________．
13．（5分）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第_________号区域的总产量最大．
14．（5分）已知函数，，，其中表示，中最大的数．
（Ⅰ）若，则_________．
（Ⅱ）若对恒成立，则的取值范围是_________．
15．（5分）已知数列各项均为正数，且（，2，3，…），给出下列四个结论：
①对任意，都有；
②数列不可能为常数列；
③若，则数列为递增数列；
④若，则当时，．
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（14分）在中，已知．
（1）求的大小；
（2）在下面3个条件中选一个，使得唯一存在，并求其面积．
①，；②，；③，．
17．（14分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，如图1是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；
（3）如图2是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）
18．（14分）如图，在四棱锥中，平面，为等边二角形，，，平面交平面直线，，分别为棱，的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
19．（14分）已知．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）判断极值点个数，并说明理由；
（3）解不等式．
20．（14分）已知椭圆：的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线的斜率为时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意一点到直线与到直线的距离相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．
21．（15分）设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”
（Ⅰ）数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；
表1
（Ⅱ）数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；
表2
（Ⅲ）对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．【分析】由对应点坐标写出复数，结合复数除法运算化简复数即得虚部．
【解答】解：由题意可得：，则，
所以复数的虚部是．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2．【分析】利用列表法求集合、，进而结合集合间的关系和运算逐项分析判断．
【解答】解：集合，，，
故．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
3．【分析】利用二项式系数的性质建立方程求出的值，再令，即可求解．
【解答】解：由已知可得，所以，
令，则展开式的各项系数和为，
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
4．【分析】对于A，或；对于B，与相交或平行；对于C，与相交、平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得．
【解答】解：，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，
对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误；
对于C，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
5．【分析】由题意结合双曲线的定义和直角三角形的几何性质，列式运算可得其离心率的值．
【解答】解：设双曲线的半焦距为，则，
由题意可得：，，
因为，
整理得．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属基础题．
6．【分析】根据等差数列的通项公式和前项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：，数列为等差数列，且公差为，
①当时，若，时，数列为常数列，且，
为减函数，无最小项，充分性不成立，
②当和都有最小项，
，，
则或，，必要性成立，
是和都有最小项的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等差数列的通项公式以及前项和公式是解决本题的关键．
7．【分析】画出函数的图象，判断选项即可．
【解答】解：分段函数的图象如图：可知：A不正确；，，B不正确；函数在上单调递增，所以C不正确；函数的值域是，所以D正确．
不正确的选项为D．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象的应用，函数的值域以及函数的对称性的判断，考查计算能力．
8．【分析】先得出直线过定点，再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出的值．
【解答】解：因为：，所以直线过定点，
圆：可化为，
则圆心，，
由圆的对称性可知，当时，到直线距离的最大，
则，．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
9．【分析】根据条件求出的解析式，利用向量关系建立方程，求出函数的周期，利用周期公式进行求解即可．
【解答】解：已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，
则，
由，得，
，，
则，
过作轴于，则，，即周期，
即，得，故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，求出函数的解析式，利用向量关系求出函数的周期是解决本题的关键，是中档题．
10．【分析】推导出每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，从而每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．开始时，蓝色精灵有个，当是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；当是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．
【解答】解：每碰一次，就少一个精灵，所以当最后只剩一个精灵时，碰了次，
任意两个精灵相碰，有三种情况：
第一种情况：红色＋红色→红色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；
第二种情况：蓝色＋蓝色→红色，此时红色精灵增加1个，蓝色精灵减少2个；
第三种情况：红色＋蓝色→蓝色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；
根据以上分析可知，每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，
也就是说，每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．
开始时，蓝色精灵有个，
当是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；
当是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．
游戏结束时，剩下的精灵的颜色只与的奇偶性有关．
故选：B．
【点评】本题考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．【分析】由抛物线方程求其准线方程，再结合抛物线定义求点到焦点的距离．
【解答】解：抛物线的准线方程为，焦点的坐标为，
因为点在抛物线上，
由抛物线定义可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，
所以点到焦点的距离为2．
故答案为：，2．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
12．【分析】利用向量的坐标运算，向量的求模公式求解即可．
【解答】解：，，，
与共线，
，，，，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的求模公式，属于基础题．
13．【分析】分别求出种植密度函数和单株产量函数的解析式，再求总产量的函数解析式，由此确定其最大值及取最大值的条件即可．
【解答】解：设区域代号为，种植密度为，单株产量为，
则，
由图象可得种植密度是区域代号的一次函数，
故设，，
由已知函数的图象经过点，，所以，
解得，所以，
由图象可得单株产量是区域代号的一次函数，
故可设，，
观察图象可得当时，，当时，，所以，
解得，所以，
所以总产量，
当时，函数有最大值，即5号区域总产量最大，最大值为3.456．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
14．【分析】（1）由，其中表示，中最大的数．则为取大函数，通常作图，借助图象观察即可，的图象取各段上方图象即可，
（2）对恒成立，由取大函数可知，只需将，将左平移个单位，由图象观察可知：只需即可，可得解
【解答】
解（1）由，其中表示，中最大的数．
则为取大函数，通常作图，借助图象观察即可，
的图象取各段上方图象即可，由图（1）可知：，
故答案为：
（2）由图（2）可知：对恒成立，由取大函数可知，只需将，将左平移个单位，且即可，即，
又由图可知，即，
又由图可知，所以的取值范围是：，
故答案为：．
【点评】本题考查了取大函数的有关问题，借助图象，利用数形结合的思想解题，属难度较大的题型．
15．【分析】直接利用，整理得，进一步确定①的结论；利用假设法的应用进一步整理得，即，进一步确定②结论；利用相邻项的差，进一步确定数列的单调性，最后确定③④的结论．
【解答】解：对于①：数列各项均为正数，且（，2，3，…），
整理得，
对于任意的，则，则，即对任意的，都有，故①正确；
对于②：不妨设数列为常数列，则，
由于，故，整理得，即时，数列为常数列，故②错误；
对于③：，
又，则，即，
同理当时，都有，即，
即，故数列为递增数列，故③正确；
对于④：由于，则，即，
同理当时，都有，
又，即数列为递减数列，故④正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的单调性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及三角形内角和的性质，即可求解．
（2）选①，结合余弦定理，即可求解．
选②，结合正弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
选③，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：（1），
由正弦定理可得，①，
②，
联立①②可得，，，．
（2）选①，，
，即，
或，不唯一存在，
故①不能选，
选②，，
，即，，，，
，
，
选③，，即，
或（舍），
．
【点评】本题主要考查解二角形，掌握正弦定理，以及余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
17．【分析】（1）根据古典概型公式求解即可．
（2）根据题意得到，1，2，，，，再写出分布列数学期望即可．
（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可．
【解答】解：（1）令时间为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，
从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，
甲乙微信记步数都不低于10000，
故．
（2）由（1）知：，1，2，
，，，
的分布列为：
（3）根据频率分布直方图知：微信记步数落在，，，，（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，人，人，人，
由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，
根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日．
由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，
根据折线图知：只有3月3日和3月6日，
所以3月3日符合要求．
【点评】本题考查了频率分布直方图，折线图等识图能力，考查了古典概率模型的概率计算，超几何分布等的计算，还考查了推理能力．属于中档题．
18．【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明；
（2）根据题意可在平面，建系，利用空间向量求面面夹角；
（3）设，求点的坐标，根据线面平行的向量关系分析运算．
【解答】解：（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面直线，
所以．
（2）取的中点，连接，，
由题意可得：，且，
则为平行四边形，可得，且平面，
则平面，由平面，则，
又因为为等边三角形，则为的中点，
可得，，，平面，
则平面，
以，，所在直线分别为，，轴，建系如图，
则，，，，，，，
所以，，
设平面的法向量，则，
取，易知平面的法向量，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为：
所以；
（3）由（2）可得：，
设，，则，
可得，解得，
即，可得，
若平面，则，
可得，解得，
所以存在点，使得平面，此时．
【点评】本题考查线面平行的判定定理与性质定理，向量法求解面面角问题，向量法求解线面平行问题，属中档题．
19．【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程；
（2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理求零点，并判断其两侧的导数值的正负，由此确定函数的极值点的个数；
（3）根据函数的单调性，极值及确定不等式的解集．
【解答】解：（1）因为函数，
所以导函数，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为1，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）设，则，
今，可得，又为上的增函数，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，，
所以存在，使得，
当时，，即，函数在上单调递增，
当时，，即，函数在上单调递减，
当时，，即，函数在上单调递增，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数有两个极值点；
（3）因为函数在上单调递增，，，
所以当时，不等式的解为，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的最小值为，
因为，，
所以，
所以当时，不等式的解为，
所以不等式的解集为．
【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线，利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数解不等式，属难题．
20．【分析】（1）根据题意列式求解，，，即可得结果；
（2）根据题意分析可得轴为直线与直线的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解．
【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，
解得，所以椭圆的标准方程为．
（2）由（1）可得：，
根据题意可设直线：，，，，
联立方程，消去得，
则，
可得，，①
由题意可知轴为直线与直线的对称轴，则，
可得，
因为，可得，
整理得，②
将①代入②得：，解得，
所以存在点，使轴上任意一点到直线与到直线的距离相等，此时．
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．
21．【分析】解：（Ⅰ）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）
（Ⅱ）每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1；①如果操作第三列，第一行之和为，第二行之和为，列出不等关系解得，；②如果操作第一行，可解得值；
（Ⅲ）按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立．
【解答】解：（Ⅰ）
法1：
改变第4列得：
改变第2行得：
法2：
改变第2行得：
改变第4列得：
法3：
改变第1列得：
改变第4列得：
（写出一种即可）
（Ⅱ）每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1；
①如果操作第三列，则
则第一行之和为，第二行之和为，
这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以或
当时，则接下来只能操作第一行，
此时每列之和分别为，，，，
必有，解得，，
当时，则接下来操作第二行，
此时第4列和为负，不符合题意；
②如果先操作第一行，
则每一列之和分别为，，，
当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉，
当时，，至少有一个为负数，
所以此时必须有，即，所以或，
经检验或符合要求，
综上或
（Ⅲ）证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，
从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，
但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，
显然，数表中个数之和必然小于等于，
可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立．
【点评】本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和切变变换的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．
1
2
3
1
0
1
0
1
2
1
2
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