陕西省宝鸡市陇县中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份陕西省宝鸡市陇县中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A.-2 B.-1 C.2 D.1
3.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.在棱长为2的正方体中，是的中点，则（ ）
A.0 B.1 C. D.2
6.已知点，且满足，点为的中点，则的最大值为（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
7.如图，已知正方体的棱长为1，点为上一动点.现有以下四个结论，其中不正确的结论是（ ）
A.平面
B.平面
C.当为的中点时，的周长取得最小值
D.三棱锥的体积不是定值
8.已知椭圆的左､右顶点分别为，且椭圆的离心率为，点是椭圆上的一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.函数在区间上单调递减
B.函数在区间上单调递减
C.函数在处取得极大值
D.函数在处取得极小值
10.已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ）
A.数列的首项为1 B.
C. D.数列的公比为
11.已知抛物线的焦点在直线上，点在抛物线上，点在准线上，满足轴，，则（ ）
A. B.直线的倾斜角为
C. D.点的横坐标为3
12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，在上单调递增
B.当时，在上恒成立
C.存在，使得在上不存在零点
D.对任意的有唯一的极小值
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在各项均为正数的等比数列中，，则__________.
14.已知向量，若，则__________.
15.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为__________.
16.已知函数，若成立，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求的极值.
18.（本小题满分12分）
记为等比数列的前项和，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的值.
19.（本小题满分12分）
在中，已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
20.（本小题满分12分）
如图，在长方体中，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，试判断的零点的个数.
陇县中学2023~2024学年度高二第一学期期末考试·数学
参考答案､提示及评分细则
1.C .
2.A 根据题意得直线的斜率，直线的斜率，得，故选A.
3.A 根据题意得.故选A.
4.A 因为，所以函数为奇函数，排除B，D.又，故选A.
5.D.故选D.
6.C 根据题意可得，设点坐标，可知，代入得，可得点是在以点为圆心，半径为1的圆上，，故选.
7.D 平面是始终成立的，故选项A正确；选项B显然正确；平面展开到与平面在同一个平面，则当为为中点时，最小，故选项C正确；，故选项D不正确.
8.B 不妨设，所以，即，又，所以，所以，所以，所以，所以，故选B.
9.ACD A.因为在上成立，所以是的单调递减区间，故正确；
B.因为当时，，当时，，所以在上不单调，故错误；
C.因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故正确；
D.因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故正确，故选ACD.
10.BCD 设的公差为，由，得，不确定，A错误，B正确；C正确，D正确.故选BCD.
11.AC 依题意，由点的坐标为，可得为等边三角形，，直线的倾斜角为或，点的横坐标为.故选AC.
12.BD 当时，，
令，解得，故在上单调递减，故A错误；
当时，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故B正确；
当时，，
故在上为单调递增函数，又，
故在上一定存在零点，故C错误；
当时，，令，解得，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一的极小值.故D正确.故选BD.
13.4 .
14. 由得，则，所以.
15. 双曲线的渐近线方程为，有，解得.
16. 由题得函数的定义域为.因为，所以函数是奇函数.又.所以函数在上单调递增，等价于，所以.所以实数的取值范围为.
17.解：（1）的定义域为，
，令，解得或，
令，解得，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，
所以的极大值为，极小值为0.
18.解：（1）设的公比为，由题意得，
所以，即，
则.
所以.
（2）因为，
所以，
解得.
19.解：（1），
或.
在中，.
（2）设的内角的对边分别为.
，
.
又的面积为.
当为锐角时，，
由余弦定理得，
的周长为.
当为钝角时，，
由余弦定理得，
的周长为.
20.解：由长方体可知两两垂直，以为坐标原点，向量分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，有.
（1）证明：因为，
所以，
所以，
又因为平面，所以平面；
（2）设平面的法向量为，
由，有取2，
可得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
因为，所以，，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
21.解：（1）设两点的坐标分别为，
联立方程消去后整理为.
由，可得，
有，可得点的坐标为，又由，有，解得或（舍去），
故；
（2）由（1）有，
有，
有，
由直线与轴的交点为椭圆的右焦点，
有，故的面积为.
22.解：（1）若，所以，又，
所以在处的切线方程为，
令，解得.
令，解得，所以在处的切线与坐标轴围成的面积；
（2），即.
令.
若，则，令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以在上有且仅有两个零点，即在上有且仅有两个零点.
若，令，又，所以在上有两个零点且.令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，所以，又，所以在上有唯一零点.，所以在上有唯一零点，所以在上有且仅有3个零点，即在上有且仅有3个零点.
综上，若在上有且仅有两个零点；
若在上有且仅有3个零点.