重庆市第十八中学2024届九年级下学期第一次月考（1）数学试卷(含解析)

这是一份重庆市第十八中学2024届九年级下学期第一次月考（1）数学试卷(含解析)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. 3.1415926D.
答案：D
解析：
详解：解：A、为负整数，是有理数，不符合题意；
B、为负分数，是有理数，不符合题意；
C、3.1415926为小数，是有理数，不符合题意；
D、（开方开不尽）为无理数，符合题意；
故选：D．
2. 如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：B．
3. 估计的值在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
答案：B
解析：
详解：解：
，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
4. 如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：∵，
∴，
∵四边形与四边形位似，
∴四边形四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5. 下列命题中假命题的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；
④垂直于同一条直线的两条直线垂直．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
答案：B
解析：
详解：解：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，原命题是真命题；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．原命题是假命题；
综上所述，其中假命题的个数为3个，
故选：B．
6. 将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第9个图中共有正方形的个数为（ ）
A. 19个B. 22个C. 25个D. 28个
答案：C
解析：
详解：解：由所给图形可知，
第①个图形中正方形的总个数为：；
第②个图形中正方形的总个数为：；
第③个图形中正方形的总个数为：；
第④个图形中正方形的总个数为：；
，
依次类推，第个图形中正方形的总个数为个，
当时，
（个，
即第9个图形中正方形的总个数为25个．
故选：C．
7. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：∵反比例函数，
∴此函数图像在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴点在第一象限，
∴，
∵，
∴点在第三象限，
∴，
∴的大小关系为．
故选：B．
8. 如图，点在上，，延长交于点，，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：如图，连接，作于点，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故选：．
9. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则（ ）．
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：过点作于点，如下图，
则，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，即，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
10. 已知均为常数，均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（ ）
①当为关于的三次三项式时，则；
②当多项式乘积不含时，则；
③；
④当能被整除时，；
⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则．
A. 4B. 3C. 2D. 1
答案：B
解析：
详解：解：∵，，
∴，
当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；
∵多项式乘积不含，
∴，解得：，故说法②错误；
∵，
当时，，
即，
当时，，
即，
∴，故③说法正确；
∵A能被整除，
∴可设，
∵
∴，
令得：，即
∴，故④说法正确；
当时，，
当时，，
∵当或时，无论和取何值，A值总相等，
∴且，
解得：，故⑤说法正确；
正确的有：③④⑤，共3个．
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11. 计算：_____________．
答案：
解析：
详解：解：
．
故答案为：．
12. 从这三个数中任选两个不同的数作为点的坐标，则点在第二象限的概率为______________．
答案：
解析：
详解：解：依题意，，共有6种结果
满足在第二象限的有，这两种结果
∴则点在第二象限的概率为
故答案为：
13. 九年级学生在毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了2256段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为____．
答案：（x﹣1）x＝2256
解析：
详解：根据题意得：每人要写(x−1)条毕业感言，有x个人，
∴全班共写：(x−1)x=2256，
故答案为(x−1)x=2256.
14. 如图，是正方形的外接圆，将分别沿、向内翻折．若，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留）
答案：
解析：
详解：解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵将分别沿、向内翻折，
∴图中阴影部分的面积正方形的面积（的面积正方形的面积）
，
故答案为：．
15. 已知点在函数的图象上，正方形的边在轴上，点是对角线的中点，函数的图象又经过两点，则点的横坐标为_____________．
答案：
解析：
详解：解：点在函数的图象上，
，解得，
函数解析式为，
设，
正方形的边在轴上，点是对角线的中点，
，
函数过点，
，即，解得或（不合题意，舍去），
，
点的横坐标为；
故答案为：．
16. 如图，在等腰直角中，，为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N，若点为的中点，则的长为_____________ ．

答案：##
解析：
详解：解：如图所示，过作于D，作于E，

又，
四边形是矩形，
设，则，，
，
，
，
点为的中点，，
，
，即，
，
在中，即，
解得 (不合题意)，，
，，
，
，
又，
，
，
，即，
，
由折叠可得，，
故答案为：．
17. 已知关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
答案：1
解析：
详解：解：解不等式得：，
解不等式，得：，
∵关于的不等式组至少有三个整数解，
∴，
∴，
由，得，
∵关于分式方程的解为非负数，
∴且，
∴且，
则所有满足条件的整数有：，，0，1，3
∴所有满足条件整数的值之和为，
故答案为：1．
18. 若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”，如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是_____________；若、分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，、各数位上的数字之和分别记为和，若能被10整除．则当取得最小值时的值是_____________．
答案： ①. 2040 ②.
解析：
详解：解：根据题意，最小的“谷雨数”，若千位数字最小，则应为2，百位数字为0，此时十位数字最小为4，个位数字最小为0，则最小的“谷雨数”是2040；
设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，4，2；
“谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，6，2，
则，
；
，
；
则，
，
，
，
能被10整除，
为整数，
即是的因数，
由题意可知，，（千位上最大的数字是9），
当取得最小值时，也就是说最小，
，
当时，；
当时，；
即当时，有，时，最小值为；
当时，有，时，最小值为；
故当，时，有最小值，此时的值为：．
故答案为：．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）
（2）
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：，
，
；
小问2详解：
解：，
，
．
20. 小红非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空：
如图，在四边形中，，平分．
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点．（只保留作图痕迹）
（2）探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整．
解：且，
① ．
平分，平分，
，
，
在中，，
，
② ．
③ ．
通过以上推理论证，小红得到命题：④ ．
答案：（1）见解析 （2）见解析
解析：
小问1详解：
解：如图，即为所作；
小问2详解：
解：且，
①．
平分，平分，
，，
，
在中，，
，
②．
③．
通过以上推理论证，小红得到命题：④如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行．
21. 熊猫作为我国独有珍稀动物，因其萌态可掬深受全世界人们的喜爱．成都大熊猫繁育研究基地的“和花、和叶”，重庆动物园的“渝可、渝爱”，北京动物园的“萌兰”等被称为“熊猫界的顶流”倍受人们的关注．某校举办了“珍爱自然，珍爱熊猫，共创美好家园”的知识竞赛，从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组；；；）．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩是：82，86，87，88，89，93，93，94，98，100．
八年级10名学生的成绩在组中的数据是：91，94，93，92．
八年级抽取的学生成绩扇形统计图：
七、八年级抽取的学生成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（一条即可）；
（3）已知该校七年级有800人，八年级有900人参加了此次知识竞赛活动，请估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有多少人？
答案：（1），，；
（2）八年级学生掌握知识较好，理由见解答（答案不唯一）；
（3）两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有人．
解析：
小问1详解：
解：由题知，八年级组所占百分比为：．
八年级组所占百分比为：，
，
七年级10名学生的成绩中出现次数最多，
，
由中位数定义可知；
故答案为：，，；
小问2详解：
解：八年级学生掌握知识较好，
由表格知，八年级学生成绩的平均数与七年级相等，而八年级学生成绩的方差小于七年级，所以八年级学生成绩更加稳定（答案不唯一）；
小问3详解：
解：七年级成绩不低于90分的有：（人）；
八年级成绩不低于90分的：（人）；
（人）；
答：两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有人．
22. 中国铁路依托新亚欧大陆桥和西伯利亚大陆桥，在早期探索开行亚欧国际列车的基础上，以重庆、成都、郑州、武汉、苏州、义乌等城市为起点，开行通往德国、波兰等国家的中欧班列，拉开了中欧班列联通亚欧大陆、推动共建“一带一路”发展的大幕，经过多年的发展，河南的班列稳居中欧班列“第一方阵”，做到信息化程度领先和国内国际双物流枢纽网络布局领先的中欧班列典型．为促进智能化发展，引进两种型号的机器人搬运货品，已知每个型机器人比每个型机器人每小时多搬运30kg，每个型机器人搬运1200kg所用的时间与每个型机器人搬运900kg所用的时间相等．
（1）求两种机器人每个每小时分别搬运多少千克货品？
（2）现有一批3600kg的货品需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过，现计划先由6个型机器人搬运，再增加若干个型机器人一起搬运，问至少增加多少个型机器人才能按要求完成任务？
答案：（1）每个型机器人每小时搬运90kg货品，每个型机器人每小时搬运120kg货品
（2）至少增加4个型机器人才能按要求完成任务
解析：
小问1详解：
解：设每个型机器人每小时搬运货品，则每个型机器人每小时搬运货品，
根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：每个型机器人每小时搬运90kg货品，每个型机器人每小时搬运120kg货品；
小问2详解：
解：设增加个型机器人，
，
解得：，且为正整数，
，
答：至少增加4个型机器人才能按要求完成任务．
23. 如图1，平行四边形ABCD中，，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线运动（含端点），到达A点停止运动．过点P作，交一边于点Q，并过点Q作QM垂直于直线CD于点M．设点P的运动时间为x秒，，请解答下列问题：

（1）直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围．
答案：（1）
（2）图象见解析，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大
（3）
解析：
小问1详解：
解：当时，
过点C作于E，

∵
∴
∴
∴
∵
∴，，
∵
∴
∴
∴
∵，，
∴
由勾股定理，得，
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
当时，如图，

同理可得：
综上，．
小问2详解：
解：函数图象如图所示，

性质：当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大．
小问3详解：
解：如图，

由图象可得当时，
24. 如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东方向．（参考数据：，，，，）
（1）求的距离（结果保留整数）；
（2）由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C．
答案：（1）的距离为77海里
（2）维修船能在货船之前到达小岛C
解析：
小问1详解：
过C作交延长线于M，
由题意得，海里，
由题意得，在中，，
∴，
设 ，则，
在中，，
∴，
解得，
∴海里，
在中，，
∴海里；
小问2详解：
∵海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
∴海里，
∵，，
∴，
∴，
∴海里，
货船从B到C用时：（小时），
∵6分钟小时，
∴（小时）
∴（海里），
∵（海里），
∴能在货船之前到达小岛C．
25. 如图1，已知抛物线（为常数，）经过点，与轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点为第二象限内抛物线上一点，连接，当与的面积和最大时，求点的坐标及此时与的面积和；
（3）如图3，点是抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标．
答案：（1）
（2），
（3）或．
解析：
小问1详解：
解：∵抛物线点，，
∴，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为；
小问2详解：
如图，连接，，

由，
∴，而，，
∴，，
设，
∴，，
，
∴与的面积和
，
当时，面积和最大，
最大面积为：；
∴；
小问3详解：
如图，连接，记，的交点为，过作于，

∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设为，
∴，解得：，
∴直线为，
∴，
解得：或，
∴，
∵关于轴对称的点，
此时与抛物线的交点Q也符合题意；
同理可得：直线的解析式为：，
∴，
解得：或，
∴，
综上：或．
26. 平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．
（1）如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；
（2）如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；
（3）如图3，已知，若，直接写出的最小值．
答案：（1）
（2）见解析 （3）
解析：
小问1详解：
解：∵，如图1，
∴，
E为的中点，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
小问2详解：
证明：如图2，设射线与射线交于点M，
由题可设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
延长交于N，
∴，
过E作于P，
则，
在与中，
，
∴，
∴，
过E作于Q，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
小问3详解：
解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
当B，F，M，N四点共线时，最小，
即为线段BN的长度，如图4，
过N作交其延长线于T，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为 ．
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
91

29.8
八年级
91

95
17.8