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四川省绵阳市南山中学2024届高三下学期二模数学（文）试题（Word版附答案）
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这是一份四川省绵阳市南山中学2024届高三下学期二模数学（文）试题（Word版附答案），共15页。试卷主要包含了函数的部分图象为，已知函数等内容，欢迎下载使用。
命题：高三文科数学组
将试卷放在屁股下坐一坐——一定过！将试卷亲一下——稳过！
祝你考试成功！
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（ ）
A.B.0C.1D.
3.下图是某地区2016~2023年旅游收入（单位：亿元）的条形图，则下列说法正确的是（ ）
A.该地区2020~2023年旅游收入逐年递增
B.该地区2016~2023年旅游收入的中位数是3.50亿元
C.经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平
D.该地区2016~2019年旅游的平均收入约为4.11亿元
4.已知，是空间两条不同的直线，，是两个不重合的平面，有下列命题：
：若，，则；：若，，，则.
则下列命题是真命题的是（ ）
A.B.C.D.
5.一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是关于角的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即；
②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即；
③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即；
④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即.
下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.函数的定义域为
D.
6.函数的部分图象为（ ）
A.B.
C.D.
7.已知直线与圆交于，两点，则“”是“为锐角三角形”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.一个几何体的三视图如图所示，为该几何体的外接球表面上一点，则点到该几何体每个面距离的最大值是（ ）
A.B.C.D.
9.已知抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，线段的上一点满足，在上的投影为，则的最大值是（ ）
A.B.C.1D.2
10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，，，，则（ ）
A.4B.C.D.
11.设函数的定义域为，对于函数图象上一点，集合只有一个元素，则称函数具有性质.则下列函数中具有性质的函数是（ ）
A.B.C.D.
12.定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论：
①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，且，则实数_________.
14.已知函数，且，则___________.
15.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是_________.
16.若函数的图象上存在与直线平行的切线，则的取值范围是_________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为条块分割考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月10日上午闭幕；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日上午闭幕.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计全体居民得分的方差（各组以区间中点值作代表）；
（2）为鼓励小区居民学习两会精神，移动公司计划为参与本次活动的居民进行奖励，奖励分为以下两种方案：
方案一：参与两会知识问答的所有居民每人奖励20元话费充值卡；
方案二：问答活动得分低于平均分的居民奖励15元话费充值卡，得分不低于平均分的居民奖励25元话费充值卡.
你认为哪种方案，小区居民所得的奖励更多，请说明理由.
18.已知（且，为常数）.
（1）数列能否是等比数列？若是，求的值（用表示）；否则，说明理由；
（2）已知，求数列的前项和.
19.已知函数，其中为常数.
（1）当时，讨论函数在上的单调性；
（2）若，，求实数的取值范围.
20.如图，空间中有一个平面和两条互相垂直的异面直线、，其中、与的交点分别为、，直线、都与直线垂直，垂足分别为、，且.
（1）证明：直线、与平面所成角之和为定值；
（2）若，令（），求点到平面距离的最大值关于的函数.
21.梅内克缪斯在研究著名的“倍立方问题”时，第一次提出圆锥曲线的概念并加以研究，研究发现，一个平面以不同方式与圆锥相截时，得到的截口曲线不一样.如图，已知两个底面半径2，高为的圆锥按如图放置，用一个与圆锥轴平行的经过母线中点的平面去截两个圆锥，得截口曲线是双曲线的一部分.以双曲线的实轴为轴，对称中心为原点建立平面直角坐标系.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若为双曲线的右顶点，且关于原点的对称点为，过点的直线与曲线交于，两点，直线与的交点为，证明：点在定直线上.
（二）选作题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线的方程是：，且与、轴正半轴交于、两点.点为曲线上任意一点，将绕原点逆时针旋转，且长度变为原来的一半，得到点，点的轨迹为曲线.射线：与曲线交于点，与曲线交于点.以极点为原点，极轴为轴建立直角坐标系.
（1）求直线的一个参数方程及曲线的极坐标方程；
（2）求线段的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.
（1）请画出函数的图象，并求的解集；
（2），，求的最大值.
绵阳南山中学高2021级高三下期高考仿真演练（二）
数学（文科）参考答案
1.解答A.因为，所以，故选择A.
2.解答B.，故选择B.
3.解答C.由图可知2020-2023年旅游收入不是逐年递增，故A选项错误；2016-2023年旅游收入的中位数为4.255亿元，故B选项错误；从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元；2016-2019年旅游收入的平均数为4.8425亿元，故D选项错误.故选择C.
4.解答D.因为是假命题，是真命题，所以是真命题，故选择D.
5.解答C.，A正确；，B正确；函数的定义域为，C错误；，当时，等号成立，D正确；故选择C.
6.解答B.由题意可知：的定义域为，且，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除A；
当时，，所以，排除D；当时，，所以，排除C.故选择B.
7.解答D.因为是等腰三角形，所以，当且仅当为锐角时，该三角形是锐角三角形.所以，只需，所以到的距离满足：，即，所以，所以是三角形为锐角三角形的既不充分也不必要条件，故选择D.
8.解答C.直观图如图所示，外接球的球心为的中点，于是，
球心到平面的距离等于，到平面与平面的距离都是2，所以球心到各个面距离的最大值等于2，于是外接球表面上的点到各个面的最大距离等于.故选择C.
9.解答A.令，在准线上的投影分别为，，设，，则，.
所以，因为，所以.
所以，则，
所以，故选择A.
10.解答B.由图象可知，则，所以，所以，由，得，，即，，因为，所以，则，则，因为，，，所以，解得（负根舍去），所以，所以.故选择B.
11.解答D.对于A作出函数与的图象，知满足条件的有无数多个；对于B作出函数与的图象，这样的不存在；对于C作出函数与的图象，这样的不存在；对于D作出函数与的图象，这样的只有一个即.故选择D.
12.解答C.由知直线为曲线的对称轴，①正确；
由为奇函数有，令得，则的图象关于点对称，②错误；
因为，所以是周期为4的周期函数，③正确；
令，则，所以，在中，令，则.
于是，，，，则，所以，④正确；
因为的图象关于点对称，因为周期为4，所以，所以为奇函数，⑤错误.故选择C.
13.解答，由得，解得.
14.解答求导得，由得，，解得，所以.
15.解答.由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点.由椭圆方程可知：，当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，
即，所以，所以椭圆离心率，所以.
16.解答求导得，只需在上有解即可.
令，求导得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，且当时，，于是，所以的取值范围是.
17.解答（1）依题意，.
（2）得分低于74的概率为，得分高于74分的概率为0.48.
因此，方案一所需充值费用为：元；
方案二所需充值费用为：元.
所以方案一小区居民所得的奖励更多.
18.解答（1）已知.
当时，，
两式相减得：，，
显然，所以.
于是可能是等差数列，若又是等比数列，则必为非零常数数列，则，
因，故不可能是等比数列.
（2）由（1）知，且，即，.
，所以当时，.
当，，.
而当时，，所以，，且.
19.解答（1）时，，，因为，
所以，于是函数在上是单调递增的函数.
（2）解法一等价于，.因为，所以，
于是.令，则.
当时，，
于是，所以在上是增函数，，所以.
解法二令，.
当时，，在上是增函数，.当时，，而，不满足条件；
当时，在上恒成立；当时，在上恒成立.综上：.
解法三令，由得.
下证当时，.因为且，
所以.所以.
20.解答（1）如图所示，过作直线交平面于点，联结、.
因为直线，过的平面与交于，于是，且.
因为与、都垂直，可得，，于是直线垂直平面，进而平面.所以就是直线与平面所成的角，同理是直线与平面所成的角.
因为、互相垂直，所以为直角，故.
所以直线、与平面所成角之和为定值.
（2）在直角三角形中，.
过作交于，因为平面，所以，即是到平面的距离.
令，，在直角三角形中，，解得.
又，所以.
故，即.
21.解答（1）如图，可知，点在曲线上，所以，且，
所以，故曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，代入曲线的方程，整理得：.
由题知：，设，.
则，，所以.
因为，，直线的方程为：，
直线的方程为：，联立两直线方程，得：.
因为
，
所以，解得.故点在定直线上.
22.解答（1）在中令，得，所以.
令，得，所以.
直线的一个参数方程为：（答案不唯一，如：等）
令，由条件知点的坐标为.因为点在上，
所以，化简得曲线的极坐标方程为.
（2）当时，，其中.
所以当时，有最大值.
23.解答（1）如图，；（2）.
（1）∵，∴.
函数图象如右所示：
由图可知的解集为.
（2）由（1）知，的图象与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最小值为，故当且仅当，时，恒成立，此时有最大值.
于是的最大值是.
命题：高三文科数学组
将试卷放在屁股下坐一坐——一定过！将试卷亲一下——稳过！
祝你考试成功！
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（ ）
A.B.0C.1D.
3.下图是某地区2016~2023年旅游收入（单位：亿元）的条形图，则下列说法正确的是（ ）
A.该地区2020~2023年旅游收入逐年递增
B.该地区2016~2023年旅游收入的中位数是3.50亿元
C.经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平
D.该地区2016~2019年旅游的平均收入约为4.11亿元
4.已知，是空间两条不同的直线，，是两个不重合的平面，有下列命题：
：若，，则；：若，，，则.
则下列命题是真命题的是（ ）
A.B.C.D.
5.一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是关于角的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即；
②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即；
③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即；
④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即.
下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.函数的定义域为
D.
6.函数的部分图象为（ ）
A.B.
C.D.
7.已知直线与圆交于，两点，则“”是“为锐角三角形”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.一个几何体的三视图如图所示，为该几何体的外接球表面上一点，则点到该几何体每个面距离的最大值是（ ）
A.B.C.D.
9.已知抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，线段的上一点满足，在上的投影为，则的最大值是（ ）
A.B.C.1D.2
10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，，，，则（ ）
A.4B.C.D.
11.设函数的定义域为，对于函数图象上一点，集合只有一个元素，则称函数具有性质.则下列函数中具有性质的函数是（ ）
A.B.C.D.
12.定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论：
①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，且，则实数_________.
14.已知函数，且，则___________.
15.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是_________.
16.若函数的图象上存在与直线平行的切线，则的取值范围是_________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为条块分割考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月10日上午闭幕；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日上午闭幕.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计全体居民得分的方差（各组以区间中点值作代表）；
（2）为鼓励小区居民学习两会精神，移动公司计划为参与本次活动的居民进行奖励，奖励分为以下两种方案：
方案一：参与两会知识问答的所有居民每人奖励20元话费充值卡；
方案二：问答活动得分低于平均分的居民奖励15元话费充值卡，得分不低于平均分的居民奖励25元话费充值卡.
你认为哪种方案，小区居民所得的奖励更多，请说明理由.
18.已知（且，为常数）.
（1）数列能否是等比数列？若是，求的值（用表示）；否则，说明理由；
（2）已知，求数列的前项和.
19.已知函数，其中为常数.
（1）当时，讨论函数在上的单调性；
（2）若，，求实数的取值范围.
20.如图，空间中有一个平面和两条互相垂直的异面直线、，其中、与的交点分别为、，直线、都与直线垂直，垂足分别为、，且.
（1）证明：直线、与平面所成角之和为定值；
（2）若，令（），求点到平面距离的最大值关于的函数.
21.梅内克缪斯在研究著名的“倍立方问题”时，第一次提出圆锥曲线的概念并加以研究，研究发现，一个平面以不同方式与圆锥相截时，得到的截口曲线不一样.如图，已知两个底面半径2，高为的圆锥按如图放置，用一个与圆锥轴平行的经过母线中点的平面去截两个圆锥，得截口曲线是双曲线的一部分.以双曲线的实轴为轴，对称中心为原点建立平面直角坐标系.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若为双曲线的右顶点，且关于原点的对称点为，过点的直线与曲线交于，两点，直线与的交点为，证明：点在定直线上.
（二）选作题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线的方程是：，且与、轴正半轴交于、两点.点为曲线上任意一点，将绕原点逆时针旋转，且长度变为原来的一半，得到点，点的轨迹为曲线.射线：与曲线交于点，与曲线交于点.以极点为原点，极轴为轴建立直角坐标系.
（1）求直线的一个参数方程及曲线的极坐标方程；
（2）求线段的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.
（1）请画出函数的图象，并求的解集；
（2），，求的最大值.
绵阳南山中学高2021级高三下期高考仿真演练（二）
数学（文科）参考答案
1.解答A.因为，所以，故选择A.
2.解答B.，故选择B.
3.解答C.由图可知2020-2023年旅游收入不是逐年递增，故A选项错误；2016-2023年旅游收入的中位数为4.255亿元，故B选项错误；从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元；2016-2019年旅游收入的平均数为4.8425亿元，故D选项错误.故选择C.
4.解答D.因为是假命题，是真命题，所以是真命题，故选择D.
5.解答C.，A正确；，B正确；函数的定义域为，C错误；，当时，等号成立，D正确；故选择C.
6.解答B.由题意可知：的定义域为，且，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除A；
当时，，所以，排除D；当时，，所以，排除C.故选择B.
7.解答D.因为是等腰三角形，所以，当且仅当为锐角时，该三角形是锐角三角形.所以，只需，所以到的距离满足：，即，所以，所以是三角形为锐角三角形的既不充分也不必要条件，故选择D.
8.解答C.直观图如图所示，外接球的球心为的中点，于是，
球心到平面的距离等于，到平面与平面的距离都是2，所以球心到各个面距离的最大值等于2，于是外接球表面上的点到各个面的最大距离等于.故选择C.
9.解答A.令，在准线上的投影分别为，，设，，则，.
所以，因为，所以.
所以，则，
所以，故选择A.
10.解答B.由图象可知，则，所以，所以，由，得，，即，，因为，所以，则，则，因为，，，所以，解得（负根舍去），所以，所以.故选择B.
11.解答D.对于A作出函数与的图象，知满足条件的有无数多个；对于B作出函数与的图象，这样的不存在；对于C作出函数与的图象，这样的不存在；对于D作出函数与的图象，这样的只有一个即.故选择D.
12.解答C.由知直线为曲线的对称轴，①正确；
由为奇函数有，令得，则的图象关于点对称，②错误；
因为，所以是周期为4的周期函数，③正确；
令，则，所以，在中，令，则.
于是，，，，则，所以，④正确；
因为的图象关于点对称，因为周期为4，所以，所以为奇函数，⑤错误.故选择C.
13.解答，由得，解得.
14.解答求导得，由得，，解得，所以.
15.解答.由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点.由椭圆方程可知：，当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，
即，所以，所以椭圆离心率，所以.
16.解答求导得，只需在上有解即可.
令，求导得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，且当时，，于是，所以的取值范围是.
17.解答（1）依题意，.
（2）得分低于74的概率为，得分高于74分的概率为0.48.
因此，方案一所需充值费用为：元；
方案二所需充值费用为：元.
所以方案一小区居民所得的奖励更多.
18.解答（1）已知.
当时，，
两式相减得：，，
显然，所以.
于是可能是等差数列，若又是等比数列，则必为非零常数数列，则，
因，故不可能是等比数列.
（2）由（1）知，且，即，.
，所以当时，.
当，，.
而当时，，所以，，且.
19.解答（1）时，，，因为，
所以，于是函数在上是单调递增的函数.
（2）解法一等价于，.因为，所以，
于是.令，则.
当时，，
于是，所以在上是增函数，，所以.
解法二令，.
当时，，在上是增函数，.当时，，而，不满足条件；
当时，在上恒成立；当时，在上恒成立.综上：.
解法三令，由得.
下证当时，.因为且，
所以.所以.
20.解答（1）如图所示，过作直线交平面于点，联结、.
因为直线，过的平面与交于，于是，且.
因为与、都垂直，可得，，于是直线垂直平面，进而平面.所以就是直线与平面所成的角，同理是直线与平面所成的角.
因为、互相垂直，所以为直角，故.
所以直线、与平面所成角之和为定值.
（2）在直角三角形中，.
过作交于，因为平面，所以，即是到平面的距离.
令，，在直角三角形中，，解得.
又，所以.
故，即.
21.解答（1）如图，可知，点在曲线上，所以，且，
所以，故曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，代入曲线的方程，整理得：.
由题知：，设，.
则，，所以.
因为，，直线的方程为：，
直线的方程为：，联立两直线方程，得：.
因为
，
所以，解得.故点在定直线上.
22.解答（1）在中令，得，所以.
令，得，所以.
直线的一个参数方程为：（答案不唯一，如：等）
令，由条件知点的坐标为.因为点在上，
所以，化简得曲线的极坐标方程为.
（2）当时，，其中.
所以当时，有最大值.
23.解答（1）如图，；（2）.
（1）∵，∴.
函数图象如右所示：
由图可知的解集为.
（2）由（1）知，的图象与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最小值为，故当且仅当，时，恒成立，此时有最大值.
于是的最大值是.
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