2024年福建省三明市尤溪县九年级中考三模数学试题（含答案与解析）

这是一份2024年福建省三明市尤溪县九年级中考三模数学试题（含答案与解析），共15页。试卷主要包含了考试结束，考生必须将答题卡交回，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ卷 (非选择题)两部分，共8页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核对答题卡上的"准考证号、姓名"与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.
3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.
4.考试结束，考生必须将答题卡交回.
第 Ⅰ 卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂.
1.下列四个数中，最小的数是
A. 5 B. -1 C. 0 D. 1
2.下列立体图形中，主视图是圆的是
3. 不等式x+1<-1 的解集是
A. x>-2 B. x<-2 C. x>2 D. x<0
4.一杆古秤在称物时的状态如图所示(手提的方向与重物下垂的方向都是垂直于地面), 已知∠1=85°, 则∠2的度数等于
A. 85° B. 105°
C. 95° D. 115°
数学试题 第 1页 (共8页)5.下列运算正确的是
A.a³²=a⁵ B.a−1=−1a C. 2a +a =3a D.a+1²=a²+1
6. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为(单位:元):30,40,50, 60,60.若捐款最少的员工又多捐了30元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是
A. 众数 B. 中位数 C.平均数 D. 极差
7.《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完.问：有多少户人家?若设有x户人家，则下列方程正确的是
A.x+13x=100 B.x+13=100 C. 3x+1=100 D.x+1x=100
8.如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，若△ABC的顶点都在格点上, 则 sin∠ABC的值是
A. 12 B. 13 C.55 D.255
9. 如图, 正六边形ABCDEF 的外接圆OO的半径为4, 过圆心O的两条直线l₁、l₂的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积和为
A.163π−43 B.163π−23
C.83π−43 D.83π−23
10. 已知点 A(1,y₁), B(2,y₂), C(3,y₃), D(4,a²+c)都在二次函数 y=ax²+bx+c(a,b,c为常数, 且a≠0) 的图象上, 若. y₁ A. a<-8或a>4 B. a<-8或a>8
C. a<-4或a>8 D. a<-4或a>4
数学试题 第 2页 (共8页)第Ⅱ卷
注意事项：
1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11.若在记账本上把收入6元记为+6元，则支出3元应记为 ▲ 元.
12. 因式分解:x²- 4x= ▲ .
13.在直角坐标系中，点A的坐标为(2， -1)，将点A向上平移2个单位后，得到点A₁, 则点A₁的坐标为 ▲ .
14.有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙都不能打开这两把锁.从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，则取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率等于 ▲ .
15.如图,点 A 在反比例函数 y=−2x第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上, 若AB=AO, 则△ABO的面积为 ▲ .
16. 如图,在正方形ABCD中,点E为边CD的中点, 连接AE,过点 B 作BF⊥AE于点F,连接BD交AE于点G, FH平分. ∠BFG交BD于点H.则下列结论中: ①AD²= BF·DE;②3S△ABG = 4S△ADE;③若 DM⊥AE,则 4FM=3(AF+ME); ④当AB=a 时, BD²−BD⋅HD=a².其中正确的是 ▲ (填所有正确的序号).
数学试题 第 3页 (共8页)三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分8分)
解二元一次方程组： x+y=1,2x−y=5.①②
18.(本小题满分8分)
先化简，再求值： 2xx2−1−1x−1,其中 x=2−1.
19. (本小题满分8分)
如图, 点B, E, C, F四点共线,. AB=DF,AC=DE,BE=CF.
求证： △ABC≅△DFE.
数学试题 第 4页 (共8页)20. (本小题满分8分)
“吃粽子，赛龙舟”是端午节的习俗，一直保留至今，某校为了解学生对端午节习俗的喜爱程度，随机抽取了部分学生进行调查，通过调查统计，将该校学生对端午节习俗的喜爱程度分为五个等级：A.非常喜爱；B. 比较喜爱；C.一般喜爱；D.无所谓；E.不喜爱，并绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机抽取了 名学生，补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；
(2)扇形统计图中 A 所对应的圆心角= 度；
(3)该校共有2000名学生，请通过计算估计该校非常喜爱和比较喜爱的学生共有多少名.
数学试题 第 5页 (共8页)21. (本小题满分10分)
如图， △ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径.
(1)尺规作图：过点B 作⊙O的切线PB(要求：保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1) 的条件下,延长AC交PB于点 D, 若 BC=3,AC=4,, 求 DB的长.
22. (本小题满分10分)
某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用.
(1)如果超市在进价的基础上提高10%作为售价，请你通过计算说明，在这一次销售中，该超市是盈利还是亏本；(5分)
(2)如果超市至少要获得20%的利润，那么这种水果的售价最低应提高百分之几?(结果精确到0.1%)(5分)
数学试题 第 6页 (共8页)23. (本小题满分10分)
综合实践：阅读下列材料，解答问题.
任务：如图1，现要测量某校旗杆的高度(系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段).
工具：一把皮尺(测量长度达不到旗杆长一半).
李明学习小组测量过程和部分求解过程如下 (如图2)：
测量过程：
步骤1：测得多出一小段绳子的长度为 a(m)；
步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A，测得 A点到旗杆底部 C点距离AC=b(m).
部分求解过程：
设旗杆高度BC=h,
∵在Rt△ABC中, ∠ACB=90° ,
∴BC²+AC²=AB².
∵AC=b, AB=h+a,
∴ℎ²+b²=ℎ+a².
(1)根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度 ℎ=(用含a, b的代数式表示);(2分)
(2)李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是 ；(2分)
(3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程.(测量得到的长度用字母m，n表示) (6分)
数学试题 第 7页 (共8页)24. (本小题满分12分)
如图1, 四边形ABCD为菱形, ∠BAD=60°,，将边AB绕点 A 逆时针旋转a (0°(1)求 ∠BED的度数;(4分)
(2)如图2, 延长DE交BC于点 F, 连接CE, 当CE=FC时, 求a的值;(4分)
(3)如图3, 延长BE交DC于点G, 连接CE, 当CE⊥BG时, 求 GCDG的值.(4分)
25.(本小题满分 14分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax²−x−2a0)交y轴于点A, 点P,B在抛物线上，已知AB∥x轴，且△OAB为等腰直角三角形，设AB中点为F，点P的纵坐标为t.
(1)求抛物线的函数表达式；(4分)
(2)是否存在常数m，使得PF=t-m恒成立?若存在求出m的值，若不存在请说明理由;(5分)
(3)已知M(0,-3),设PM=d,求d-t的最大值,并求当d-t取最大值时点P的坐标.(6分)
数学试题 第 8页 (共8页)2023-2024学年初中毕业班第二次教学质量监测
数学参考答案
一、选择题：每小题4分，共40分.
1. B 2. D 3. B 4. C 5. C 6. A 7. A 8. D 9. C 10. D
二、填空题：每小题4分，共24分.
11.-3 12. x(x-4) 13.(2,1) 14. 1315.2 16.②④
三、解答题：本题共9小题，共86分.
17. (本题满分8分)
解二元一次方程组： x+y=1,2x−y=5.9②
解: 由①+②得, 3x=6,解得x=2, .4分
把x=2代入①得, y=-1,. .7分
则方程组的解为 x=2y=−1 8分
18. (本题满分8分)
解: =2xx−1x+1−x+1x−1x+13分
=2x−x−1x−1x+1 .4分
=x−1x−1x+1 5分
=1x+1 6分
把 x=2−1代入，原式 =12−1+1=12=22 8分
19. (本题满分8分)
∵BE=CF,
∴ BE+EC=CF+EC, 即 BC=EF,在△ABC和 △DFE中, AB=DF,AC=DE,BC=分
..3分
1∴△ABC≌△DFE(sss)………………………………………………………………………………8分
20. (本题满分8分)
(1)_200_名学生,补全条形统计图如图;…70.
(2))_126°_;………………………………………60
330+70200×2000=1000(人)……………………………40·
21. (本题满分8分)
(1)如图所示,直线PB为所求.………………………………………………………………………4分
(2) ∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=∠DCB=90°.
∴∠ABC+∠CAB=90°.
∵BC=3, AC=4,
∴AB=5. …………………………………………………………………………………………5分
由(1) 可知, 直线PB 是⊙O 的切线,
∴∠ABD=90°.
∴∠ABC+∠CBD=90°.
∴∠CAB=∠CBD.
∴△ABC∽△BDC. . ……… ……………………………………………………………7分
∴BDAB=BCAC.
2 ∴BD5=34.
∴BD=154.…………………………………………………8分
22. (本题满分10分)
(1)解：设超市购进这批水果的质量共a千克，进价为 y元/千克.
根据题意得,a(1-10%)y(1+10%)=99%ay……………………………………………………3分
∵99%ay∴超市是亏本的…………………………………………………………………………………5分
(2)解：设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为(1+x)y元/千克, 由题意得:
a(1-10%)y×(1+x)≥(1+20%)ay,…………………………………………………………8分
解得:x≥33.33,…………………………………………………………………………………9分
∵超市要想至少获得20%的利润，
∴这种水果的售价最低应提高33.4%.…………………………………………………………10分
23. (本题满分10分)
(1)请直接写出旗杆高度 ℎ=b2−a22a (用含 a,b的代数式表示); 2分
(2)所用到的几何知识是_勾股定理_；………………………………………………4分
(3)如图,测量过程:
步骤1：先在旗杆底端的绳子打一小结(或做一标记)，然后举起绳结把绳子拉直，拉到点 D处, 测得 FC =m(m);
步骤2:测得绳结到地面距离FD=n(m).…………………………………………………………6分
求解过程：
设旗杆高度 BC=h, ∴BD=h
过点 D作 DE⊥BC
∵DF⊥FC,EC⊥FC,
∴四边形DFCE是矩形………………………………… 7分
∴DE =m,EC=n
∵在Rt△BDE中, ∠DEB = 90° ,
∴BE²+DE=BD.…………………………………………………………………………8分
∵BD=h, BE=h-n, DE=m,
3 ∴ℎ−n²+m=ℎ². ………………………………………9分
∴ℎ=m2+n22n. 分
24. (本小题满分 12分)
(1) ∵四边形ABCD 为菱形,
∴AB=AD.. ……1分
∵AB=AE, ∠BAE=α, ∠BAD=60°,
∴∠AEB=180∘−α2,∠EAD=60∘−a,AE=AD …2分
……3分
∴∠BED=∠AEB+∠AED=150° C ……4分
(2) ∵AE=AD,
∴∠AED=∠ADE,
又∵CE=FC,
∴∠CEF=∠CFE, .. …5分
∵四边形ABCD为菱形,
∴AD∥BC,
∴∠ADE=∠CFE,
∴∠AED=∠CEF,
∴A,E,C三点共线, 7分
又∵四边形ABCD为菱形, ∠BAD=60°,
∴∠BAC=30° ,
∴α=30° . 8分
(3)解法一:
延长DE到T, 使得 ET=EC, 连接BT,CT,
∵∠DEG=180°-∠BED=∠BET=30° ,
∴∠TEC=60°,
∴△ETC 为等边三角形, ∠DEC=120°,
∴EC=ET=TC, ∠ETC=∠ECT=60°,
又∵四边形ABCD为菱形, ∠BAD=60°,
∴∠BCD=60° , DC=BC,
∴∠DCE=∠BCT,
∴△DCE≌△BCT, 10分
∴∠DEC=∠BTC=120°, BT=DE
4∴∠BTE=60° ,
∴∠EBT=90° ,
∴EC=ET=2BT=2DE,
过T作TS∥DC, 交BG于点S,
∴STDG=ETDE=2,
∴ST=2DG, …………………………11分
又∵△BST∽△EGC,
∴GcST=ECBT=2,
∴GC=2ST,
∴GC=4DG,
∴DGGC=14, .12分
解法二：
设BC中点为O,连接OE, OA,
∵CE⊥BG
∴OB=OE.
∵AE=AB,
∴AO⊥BE, BN=NE.
过点A作AM⊥BC交 BC于点M,
设菱形ABCD的边长为2a, 则 AM=3a,BM=a,OB=a.
∴OA=7a,SΔOAB=32a2. 9分
∴S四边形ABOE=32a2×2=12OA×BE.
∴BE=2217a.
∴BN=217a,EC=477a.
∴ON=277a.
∴AN=577a. 10分
∵△ABN∽△CGE,
∴GCAB=ECAN=477a577a=45. .11分
∴GcDG=4. 12分
525.(本题满分14分)
解: (1)如图1,在函数 y=ax²−x−2中,当x=0时,y=-2,故A(0,-2).……………1分
∵直线AB ∥x轴,
∴AB⊥OA.
又∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2.2分
∴B(2,-2)或B(-2,-2).
若B(2,-2), 则4a-2-2=-2, 解得 a=12;3分
若B(-2,-2), 则4a+2-2=-2, 解得 a=−12,与a>0矛盾.
∴a=12,
∴抛物线的函数表达式为 y=12x2−x−2. 4分
(2) ∵F为AB中点,
∴AF=AB2=1,∴F1−2. 5分
过P作AB的垂线, 垂足为H, 连接PH, FH, 如图2.
设P(s,t).
则PH=|t+2|, FH=|s-1|. 6分
∵点P在抛物线上，
∴t=12s2−s−2=12s−12−52.
化为 s−1²=2t+5.
∵∠PHF=90°,
.7分 ∴PF=FH2+PH2
=s−12+t+22
=2t+5+t+22
=t2+6t+9
=t+32
=|t+3|. ……8分
:t=12s−12−52≥−52,
6∴t+3>0.
∴PF=t+3.
即: 存在m=-3, 使得PF=t+m恒成立. .9分
(3) 由(2) 知, PF=t+3, 即t=PF-3.
∴d−t=PM−PF−3
=PM-PF+3
≤MF+3. …………………………………………………10分
当P在MF延长线上时，上式等号成立，如图3.
∵A0−2,M0−3,
∴AM=−2−−3=1.
又∵AF=1, 且AF⊥AM ,
∴MF=2,且 ∠AMF=45°.
∴d-t的最大值为 MF+3=2+3. 11分
设d-t取最大值时P的位置为点. P₀x₀y₀.
过P₀作y轴的垂线，垂足为Q.
则 P₀Q=x₀,MQ=y₀−−3=y₀+3.
∵P₀Q⊥QM,∠QMP₀=45°,
∴MQ=P₀Q,即 x₀=y₀+3. 12分
∵P₀在抛物线上， ∴y0=12x02−x0−2,
∴x0=12x02−x0−2+3,
整理得 x02−4x0+2=0.
解得 x0=2±2. 13分
∵P₀在MF的延长线上, 故 x₀>1,
∴x0=2+2,
则 y0=x0−3=2−1.
即当d-t取得最大值时，点P的坐标为 2+22−1.…14分
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