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    安徽省马鞍山市2024届高三下学期教学质量监测数学试卷(含答案)

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    这是一份安徽省马鞍山市2024届高三下学期教学质量监测数学试卷(含答案),共19页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    2.已知平面向量,不共线,,,且,则( )
    A.B.0C.1D.
    3.已知数列是公差为2的等差数列,若,,成等比数列,则( )
    A.9B.12C.18D.27
    4.已知角,则数据,,,,的中位数为( )
    A.B.C.D.
    5.已知函数的大致图象如图所示,则的解析式可能为( )
    A.B.C.D.
    6.甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务,每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位,每个岗位至少有一名志愿者,则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为( )
    A.B.C.D.
    7.已知函数的一个零点是,且在上单调,则( )
    A.B.C.D.
    8.已知点A,B,C,D,P,Q都在同一个球面上,为正方形,若直线经过球心,且平面.则异面直线,所成的角最小为( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.已知四棱锥,平面ABCD,则( )
    A.若,则B.若,则
    C.若,则D.若,则
    10.已知点P,A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,线段AB,PA,PB的中点分别为D,M,N,线段M,N的中点为E,若直线PA,PB的斜率之和为0,则( )
    A.点M,N不在x轴上B.点E在x轴上
    C.点D与点P的横坐标相等D.点D与点P的纵坐标互为相反数
    11.已知函数,是定义在R上的可导函数,其导函数分别为,,其中的图象关于点对称,的图象关于直线对称,,,则( )
    A.B.C.D.
    三、填空题
    12.已知复数z满足,若z在复平面内对应的点不在第一象限,则______.
    13.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的直线与的右支交于A,B两点,若,则______.
    14.已知不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是______.
    四、解答题
    15.已知函数,直线l在y轴上的截距为3,且与曲线相切于点.
    (1)求实数a的值;
    (2)求函数的单调区间与极值.
    16.如图,在四面体中,,,两两垂直,,M是线段的中点,P是线段的中点,点Q在线段上,且.
    (1)求证:平面;
    (2)若点G在平面内,且平面,求直线与平面所成角的正弦值.
    17.如果X,Y是两个离散型随机变量,X的所有可能取值为:,,…,,则称为X在事件下的条件期望.已知甲每次投篮的命中率均为p,其中,设随机变量X是甲第一次命中时的投篮次数,随机变量Y是甲第二次命中时的投篮次数.
    (1)若,求,;
    (2)已知,,求.
    18.已知椭圆的离心率为,点在椭圆C上,过点的直线l与椭圆C交于A,B两点,直线PA,PB与直线分别交于点M,N
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)若T为椭圆C的上焦点,求面积取得最大值时直线l的方程;
    (3)若的外接圆经过原点O,求t的值.
    19.已知S是全体复数集C的一个非空子集,如果,总有,,,则称S是数环.设F是数环,如果①F内含有一个非零复数;②,且,有,则称F是数域.由定义知有理数集Q是数域.
    (1)求元素个数最小的数环;
    (2)证明:记,证明:是数域;
    (3)若,是数域,判断是否是数域,请说明理由.
    参考答案
    1.答案:C
    解析:因为集合或,

    所以,

    故选:C.
    2.答案:A
    解析:因为,且,
    所以,即,
    又,不共线,
    所以,解得.
    故选:A
    3.答案:D
    解析:由,,成等比数列,得,
    所以,解得,
    所以.
    故选:D
    4.答案:A
    解析:因为角,
    所以,,,
    ,,
    所以,,
    按照从小到大的顺序排列时,前3个数为,,,
    则中位数为(或).
    其中当时的证明过程如下:
    构造单位圆,如图所示:
    则,设,则,
    过点A作直线垂直于x轴,交所在直线于点T,
    由,得,所以,
    由图可知,
    即,
    即.
    故选:A.
    5.答案:D
    解析:对于选项A:因为,与图象不符,故A错误;
    对于选项B:因为,与图象不符,故B错误;
    对于选项C:因为,与图象不符,故C错误;
    故选:D.
    6.答案:C
    解析:若人数配比为时,则有种不同安排方法;
    若人数配比时,则有种不同安排方法;
    所以共有种不同安排方法.
    若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时,则有种不同安排方法;
    若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时,则有种不同安排方法;
    所以共有种不同安排方法.
    所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为.
    故选:C.
    7.答案:B
    解析:因为,
    ,且时,
    可得,且,
    若在上单调,则,解得,
    又因为的一个零点是,则,,解得,,
    所以,.
    故选:B.
    8.答案:C
    解析:设球的半径为,记中心为O,
    因为为正方形,直线经过球心,且平面,
    所以过点O且的中点为球心,设球心为G,
    以O为原点,、、分别为x,y,z轴正半轴,建立空间直角坐标系,
    设,,
    则,,,,
    所以,,
    所以,
    所以,,
    又,即,
    所以
    ,当且仅当时等号成立,
    设直线,所成的角为,则,
    又,所以.
    故选:C
    9.答案:AC
    解析:对于选项AD:若,且,平面PAC,
    可得平面PAC,且平面PAC,所以,
    同理:若,可得,
    即等价于,
    由不能推出,即不能推出,
    故A正确;故D错误;
    对于选项BC:若,可知,所以,
    反之,,可知,所以,
    即等价于,
    由不能推出,即不能推出,
    故B错误,故C正确;
    故选:BC.
    10.答案:ABD
    解析:如图所示:
    令,,,且,
    则,
    又,则,,
    而,,
    所以,,
    则,
    故,而,则B选项正确;
    若点M或N在x轴上,则,即,
    故与题设矛盾,
    所以点M或N不在x轴上,A选项正确;
    由上,
    则点D与点P的纵坐标互为相反数,D选项正确;
    显然D不可能在抛物线上,点D与点P的横坐标不相等,C选项错误.
    故选:ABD.
    11.答案:ACD
    解析:由的图象关于点对称,则,
    即,所以,又的图象关于直线对称,
    则,又,所以,
    所以,两边同时求导得,即,故A正确;
    由,可得,即,
    所以,所以函数的周期为4,
    又,,,结合,,
    得,,又函数的周期为4,所以,,
    所以,则,故D正确;
    再,所以,
    结合得,即,所以函数的周期为4,
    所以,
    又,所以,故C正确;
    由A选项知:,所以,即,
    再,所以,所以,,即,又,所以,
    所以,故B错误.
    故选:ACD
    12.答案:
    解析:设,,则,
    因为,则,
    解得或,
    又因为z在复平面内对应的点不在第一象限,可知,可知,
    所以.
    故答案为:.
    13.答案:或
    解析:依题意过点的直线与的右支交于A,B两点,
    且,,,
    则,,,
    所以,
    可得,
    解得或(舍去).
    故答案为:.
    14.答案:
    解析:因为,且,
    可得对任意恒成立,
    令,则,
    若,则,可得,
    若,则,可得

    由对勾函数可知或,
    则或,可得,
    则;
    综上所述:,
    即的最大值为,则,
    所以实数的取值范围是.
    故答案为:.
    15.答案:(1)
    (2)单调递增区间为,,单调递减区间为,,
    解析:(1)因为,则,
    所以,,
    故直线,
    又直线l在y轴上的截距为3,所以,解得.
    (2)由(1)得,的定义域为,
    又,
    由,解得或;由,解得,
    所以函数的单调递增区间为,;单调递减区间为,
    所以在处取得极大值,即,
    在处取得极小值,即.
    16.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)作,交于点E,作,交于点F,
    因为M是线段的中点,P是线段的中点,,
    所以且,
    ,,所以且,
    且,所以四边形为平行四边形,
    ,又平面,平面,平面.
    (2)以D为原点,分别以,,为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,
    不妨设,则,,,,
    设,则,,,
    平面,可设,,,
    即,
    则,即,则,
    平面,又,,
    ,即,解得,所以点G坐标为,

    设平面的法向量为,
    则,令,则,得,
    所以,
    故直线与平面所成角的正弦值为.
    17.答案:(1),;
    (2).
    解析:(1)时,前三次投篮都不中,且第四次投篮命中,
    所以;
    时,前三次投篮命中一次,且第四次投篮命中,
    所以;
    (2)在的条件下X的所有可能取值为1,2,3,…,,
    ,时,第i次和第n次命中,其余次均未命中,
    所以,,
    时,第n次命中,前次只有一次命中,
    所以,
    所以,1,2,3,…,,
    故有.
    18.答案:(1);
    (2);
    (3)
    解析:(1)由题意可知:,,则,,
    所以椭圆C的方程为.
    (2)由题意可知:直线l的斜率存在,设,,,
    由(1)可知:,则,且直线与椭圆C必相交,
    联立方程,消去y得,
    则,,
    可得

    当且仅当,即时,等号成立,
    所以面积取得最大值时直线的方程为.
    (3)设直线,直线,则,,
    联立方程,消去y得,
    则,
    可得,,


    又因为,,,,
    若的外接圆经过原点O,则,
    可得,
    且,则,可得,解得,
    检验可知满足,
    所以t的值为.
    19.答案:(1);
    (2)证明见详解;
    (3)不一定数域,证明见详解
    解析:(1)因为为数环,可知不是空集,即中至少有一个元素,
    若,则,可知为数环;
    若,则,可知中不止一个元素,不是元素个数最小的数环;
    综上所述:元素个数最小的数环为.
    (2)设,,,可知,则有:



    因为,则,,,,,,
    可知,,,所以是数环;
    若,可知,满足①;
    若,则,
    因为,则,
    可知,满足②;
    综上所述:是数域.
    (3)不一定是数域,理由如下:
    ①若,,显然,均为数域,且是数域;
    ②设,,,可知,则有:



    因为,则,,,,,,
    可知,,,所以是数环;
    若,可知,满足①;
    若,则,
    因为,则,,
    可知,满足②;
    综上所述:是数域.
    例如:,,例如,,
    但,
    所以不是数域;
    综上所述:不一定数域.
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