2024年广东省惠州市惠城区九年级中考数学学业水平考试

这是一份2024年广东省惠州市惠城区九年级中考数学学业水平考试，共26页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 6 页，25 小题，满分 120 分。考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 沿笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答来，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的.
1．在0、、、这四个数中，最大的数是（ ）
A．0B．C．D．
2．地球绕太阳公转的轨道半径约是千米，用科学记数法表示这个数为（ ）
A．B．C．D．
3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．在校田径运动会上，小明和其他三名选手参加100米预赛，赛场共设置1，2，3，4，四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若小明先抽签，他抽到2号跑道的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则m的值为（ ）
A．B．4C．2D．
7．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是x元，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子，猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图．∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动试程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝﹣；⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3+10．
其中，正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．因式分解 ．
12．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n= ．
13．如图，在中，，，分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ．
14．如图，在中，D，E分别是边的中点，则与的面积比 ．
15．如图，边长为4的正方形ABCD内接于，则的长是 （结果保留）
三、解答题（一）：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
16．计算：．
17．解不等式组：
18．如图，已知AB∥DE，AB = DE，B，E，C，F在同一条直线上，且BE = CF．
求证∶△ABC≌△DEF．
19．哈市某校计划购买一批篮球和排球，对学生们加强体能训练．已知一个篮球的单价比一个排球的单价贵16元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个排球．
(1)求篮球和排球的单价分别是多少元？
(2)由于近期篮球涨价（排球未涨价），若此时购买篮球3个，排球2个，则花费资金至少元，求涨价后篮球的价格至少为多少元？
20．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E．
（1）作CF平分∠BCD交AD于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：△ABE≌△CDF．
四、解答题（二）：本大题共3小题，第21、22题各8分，第23题10分，共26分.
21．【发现问题】
某公园在一个扇形草坪的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子，在A处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状．
【提出问题】
喷出的水距地面的高度与喷出的水与池中心的水平距㐫之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与O点的水平距离处达到最高点B，点B距离地面．于是小腾以所在直线为y轴，垂直于的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A、点B的坐标，从而得到y与x的函数关系式．
【解决问题】
（1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为，水流的最高点B的坐标为，求抛物线水流对应的函数关系式．
（2）当喷头绕立柱旋转时，这个草坪刚好被水覆盖，求扇形草坪的面积．（结果用含的式子表示）
（3）现要在扇形内的一块三角形区域地块中建造一个矩形花坛，如图2的设计方案是使G，H分别在，上，在上，设，当x为多少米时，矩形花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？
22．如图，为的直径，点C，点D在上，且点C是的中点，是的切线且交的延长线于点E，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
23．我校积极落实“双减”政策，全面推进课后服务，开发了丰富多彩的特色课程，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次随机调查的学生人数为______人；
(2)请补全条形统计图；
(3)扇形统计图中m的值为______；
(4)若该校七年级共有800名学生，请估计我校七年级学生选择“编织”劳动课的人数．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；
（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
25．类比探究
【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则把绕着A逆时针方向旋转，连接和．
①如图2，找出图中的另外一组相似三角形
__________
②若，，，则__________．
【迁移应用】在中，，，D、E、M分别是、、中点，连接和．
①如图3，写出和的数量关系__________；
②如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，当D落在上时，连接和，取中点N，连接，若，求的长．

【创新应用】如图5：，，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，且，连接，请直接写出的取值范围．

参考答案：
1．D
【分析】根据实数比较大小的方法解答即可得.
【详解】解：因为，
所以，最大的数是，
故选：D.
【点睛】本题考查了比较实数的大小，正数大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
2．B
【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故答案为：B．
【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
3．B
【分析】根据轴对称和中心对称的定义判断选项作答；
【详解】该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判定，判定轴对称图像关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴对折后可重合；判定中心对称图形是寻找对称中心，图形旋转180度后与原形重合．掌握这两个概念是关键．
4．B
【分析】本题考查合并同类项．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案．
【详解】解：不能计算，故A选项不正确；
，故B选项正确；
，故C选项不正确；
，故D选项不正确，
故选：B．
5．C
【分析】由设1、2、3、4四个跑道，甲抽到2号跑道的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：只设1、2、3、4四个跑道，甲抽到2号跑道的只有1种情况，
甲抽到2号跑道的概率是：．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，注意概率＝所求情况数与总情况数之比是解题关键．
6．C
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴．
解得：
故选：C．
【点睛】此题考查了直角坐标系的的对称问题，解题的关键是记住关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．
7．B
【分析】文学类图书平均每本书的价格是x元，则科普类图书的价格为1.2x元，则1200元能购买文学类书的数量为：，购买科普类书籍的数量为，据此列出分式方程即可．
【详解】文学类图书平均每本书的价格是x元，则科普类图书的价格为1.2x元，则1200元能购买文学类书的数量为：，购买科普类书籍的数量为，
则依据题意有：，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．
8．C
【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，判断得出点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，据此求解即可．
【详解】解：如图，连接BE，BD．
由题意BD==，
∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE，
∴BE=MN=2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为-2．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．C
【分析】根据二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，两点之间线段最短一一判断即可．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），
∴a+b+c＝0，故②正确；
对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，故①正确；
由图象可知，当x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，
∵m≠﹣1，
∴a﹣b+c＞am2+bm+c，
∴a﹣b＞am2+bm，故③正确，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
∵△ABC是等腰直角三角形时，
∴C（﹣1，2），
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，
把（1，0）代入得到a＝﹣，故④正确，
如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，
∵AD＝＝3，BD＝＝，
∴△PBD周长最小值为3，故⑤错误．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想，属于中考常考题型．
10．A
【分析】将顺时针旋转，使得AB与AD重合，此时得，将逆时针旋转，使得AD与AB重合，此时得，根据，即可求得，①正确；根据可得，即可求，即可得③正确；根据如图正方形构造直角坐标系，求出直线AE、AF、BD的解析式，再联立解析式，即可求得M、N两点的坐标，再根据坐标求出DN、MN、BM、AN、NE，即可知，则有，则有，，②正确；根据DN、MN、BM长度可知，④错误．
【详解】将顺时针旋转，使得AB与AD重合，此时得，将逆时针旋转，使得AD与AB重合，此时得，链接EF，如图所示：
为了方便计算，设正方形的边长为6，则有AB=BC=CD=AD=6，
则有BE=EC=3=DG，CF=4，DF=2=BH，，
则有：HE=5=FG，
利用勾股定理，易求得：AH=AF=，AE=AG=，EF=5，BD=，
根据图形的旋转，可知，，
∴，
∵ AH=AF，HE=5=FG，AE=AE，
∴，同理可证得，
∴，
又∵，
∴，故①正确；
∵，，
∴，同理可证，
∴，
∴，故③正确；
以B为坐标原点O，AB所在的直线为y轴，以BC所在的直线为x轴，构建直角坐标系，则有A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为，D点坐标为，F点坐标为，E点坐标为，
则直线AF的解析式为：，BD的解析式为，AE的解析式为，
联立：，得到N点坐标为：，
同理的M点坐标为，
过M点作MP垂直于BC，交BC于P点，过N点作NQ垂直于DC，交DC于Q点，
则有MP=2，，
则有，，
则有，
则有：，
故④错误；
根据N点坐标为：，A点坐标为：，E点坐标为：，
可得，
则在中，，
∴，
∴，
故②正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了直角坐标系的构建、相似三角形以及坐标系中求解两点间距离等知识．准确作出辅助线并构建直角坐标系是解答本题的关键．
11．
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【详解】解：（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12．-2
【详解】把x=1代入+3mx+n=0得：1+3m+n=0，
∴3m+n=﹣1，
∴6m+2n=2（3m+n）=2×（-1）=﹣2，
故答案为：-2
【点睛】考点：整体思想求代数式的值.
13．5
【分析】
根据三角形中位线的性质可得，根据勾股定理求得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵，分别是，的中点，
∴，
在中，，
∵是的中点，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．
【分析】根据中位线点性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案．
【详解】∵D，E分别是边的中点，
∴DE是三角形的中位线，
∴，
∴∽，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的性质及中位线性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
15．
【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：连接OA、OB．
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO，
∴，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16，
解得：AO＝2，
∴的长＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
16．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值分别代入化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、化简绝对值，正确化简各数是解题关键．
17．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解法，正确的计算是解题的关键．
18．见解析
【分析】根据SAS证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】证明：∵ABDE
∴∠ABC=∠DEF，
∵B，E，C，F在同一直线上，且 BE＝CF
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
又∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．
19．(1)排球的单价为32元/个，篮球的单价为48元/个
(2)涨价后篮球的价格至少为55元/个
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总价单价数量，列出关于的一元一次不等式．
（1）设排球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，根据一个篮球的单价比一个排球的单价贵16元以及2个篮球的价格等于3个排球的价格，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设涨价后篮球的单价为元/个，根据总价涨价后篮球的单价结合花费资金至少为229元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其内的最小值即可．
【详解】（1）解：设排球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：排球的单价为32元/个，篮球的单价为48元/个．
（2）解：设涨价后篮球的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：涨价后篮球的价格至少为55元/个．
20．见解析
【分析】（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧，交CD，BC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，在平行四边形内交于一点，过点C以及这个交点作射线，交AD于点F即可；
（2）根据ASA即可证明：△ABE≌△CDF．
【详解】（1）如图所示：CF即为所求作；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、尺规作图—作角平分线，熟练掌握尺规作图的方法以及全等三角形的判定方法是解题的关键.
21．（1）；（2）；（3），．
【分析】本题考查了扇形面积计算、二次函数的实际应用、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，关键是掌握扇形面积公式．
（1）设抛物线顶点式，代入、两点，可得；
（2）令，求得，即为草坪半径，用扇形面积公式可得；
（3）已知，借助辅助线和相似三角形对应边成比例，表示出，求得矩形花坛的面积表示，可得当为多少米时，矩形花坛的面积最大，最大面积是多少平方米．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，
水流的最高点的坐标为，
，
代入点坐标，得，
解得：，
；
（2）令，则，解得或（舍去），
扇形草坪的面积．
（3）解：由矩形可得，，，，
，
过作，交于点，
，，
，
，
，，
同理可得，，
，，
∽，
，
同理可得，，
，，
，
，
，，
矩形花坛的面积，
时，矩形花坛的面积最大为平方米．
22．（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）连接OD，根据点C是的中点得到∠AOC=∠COD，再根据是的切线且得到OD∥AE，得到∠ACO=∠COD=∠AOC, 再由OA=OC，得到∠ACO=∠CAO=∠AOC即可证明；
（2）连接CD，由（1）证得三角形OAC为等边三角形，同理也可证明三角形COD为等边三角形，从而得到∠CDE=30°，再根据三角函数求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，连接OD
∵点C是的中点
∴∠AOC=∠COD
又∵是的切线且
∴OD⊥DE，AE∥OD
∴∠ACO=∠COD=∠AOC
∵OA=OC
∴∠ACO=∠CAO=∠AOC
即三角形AOC为等边三角形．
（2）如图所示，连接CD
由（1）证得三角形AOC是等边三角形
∴∠ACO=∠COD=∠AOC=60°
又∵OD=OC
∴三角形COD为等边三角形
∴∠CDO=60°
又∵∠ODE=90°
∴∠CDE=30°
∴
【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，平行线的性质，等边三角形的性质与判定，三角函数等；解题的关键在于能够熟练的掌握和应用相关知识进行解题．
23．(1)60；
(2)见解析；
(3)25；
(4)160人．
【分析】（1）根据总人数=选择“园艺”活动课的学生人数÷“园艺”活动课人数占总人数的百分比进行求解即可；
（2）根据选择“电工”劳动课的人数=总人数-选择其他活动课的人数进行求解，从而补全条形统计图；
（3）根据选择“厨艺”劳动课学生所占百分比=选择“厨艺”劳动课学生的人数÷总人数×100%进行计算即可；
（4）根据七年级总人数×选择“编织”劳动课的人数所占调查人数的比=七年级学生选择“编织”劳动课的人数进行求解即可．
【详解】（1）本次调查学生人数为：18÷30%=60（人），
故答案为：60；
（2）选择“电工”劳动课的人数：60-15-18-6-12=9（人），
条形统计图如下：
（3）选择“厨艺”劳动课学生所占百分比为：×100%=25%，
∴m=25，
故答案为：25；
（4）800×=160（人），
答：若该校七年级共有800名学生，我校七年级学生选择“编织”劳动课的人数大约为160人．
【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体及扇形统计图，应充分理解部分与整体之间的关系，注意运用数形结合的思想方法，从条形统计图和扇形统计图中给出的信息寻找突破口．
24．（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）的面积的最大值为，．（3）的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，-m2+m+3），则E（m，m+1）．因为S△PAD=•（xD-xA）•PE=3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可．
（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点T′（1，-6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．
【详解】解：（1）抛物线与轴交于、两点，
设抛物线的解析式为，
解得，，或，
在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为，
直线经过、，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
直线的解析式为；
（2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．
，
的值最大值时，的面积最大，
，
，
时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，．
（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，
设交轴于点，则，
，
直线的解析式为，
，
作点关于的对称点，
则直线的解析式为，
设交轴于点，则，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题．
25．【问题背景】①，②；【迁移应用】①，②3；【创新应用】
【问题背景】①根据相似三角形的性质可得，根据相似三角形的判定即可证明；
②利用相似三角形的性质求解；
【迁移应用】①根据正切的定义求得，即可得结论；
②连接，根据相似三角形的性质和判定，求出，根据三角形的中位线定理即可求得；
【创新应用】过点A作于点K，过点C作于点J，连接,
根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式求得，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求得，，通过，即可可得结论．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
②∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
①如图3中，在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
②如图4中，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
如图5中，过点A作于点K，过点C作于点J，连接．

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切的定义，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质等，添加常用辅助线，构造平行线是解题的关键．