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专题03 整式乘法与因式分解（重点+难点）（原卷版）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）
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这是一份专题03 整式乘法与因式分解（重点+难点）（原卷版）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．计算的结果（ ）
A．B．C．D．
2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若，则m、n的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
6．若是一个完全平方式，则m为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则代数式的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
8．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若的积中不含的一次项，则的值为（ ）
A．3B．0C．D．1
10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“奇妙数”，如：因为，所以称16为“奇妙数”，下面4个数中为“奇妙数”的是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
二、填空题
11． ．
12．计算 ．
13．多项式分解因式时所提取的公因式是 ．
14．分解因式： ．
15．长方形的面积为，若它的一边长为，则它的周长为 ．
16．已知，，则 .
17．若，，则 ．
18．（多项式乘多项式）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片 张．
19．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：
，展开式有两项，系数分别为1，1；
，展开式有三项，系数分别为1，2，1；
，展开式有四项，系数分别为1，3，3，1；
…
根据以上规律，（a＋b）4展开式共有五项，系数分别为 ．
三、解答题
20．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．化简求值：，其中，
23．（1）若的展开式中不含和项，求m、n的值．
（2）求的值．
24．已知，．求：
(1)的值：
(2)的值．
25．如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
(1)多项式为______，多项式为______，例题的化简结果为______；
(2)求多项式与的积．
26．阅读材料：若，求、的值．
解：，
．
，，．
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求______ ；
(2)已知三边长、、都是正整数，且满足，求的周长．
27．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
(1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1： ，图2： ，图3： ；
(2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式之间的等量关系；_____．
(3)根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：
①已知，求代数式的值；
②已知，求的值．
一、单选题
1．化简的结果是( )
A．B．C．D．
2．若，则代数式的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．已知，，则（ ）
A．B．3C．D．1
4．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．有个依次排列的整式：第1个整式是，第2个整式是，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为，记；将第2个整式与相加作为第3个整式，记，将第3个整式与相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：①；②当时，第3个整式的值为25；③若第5个整式与第4个整式之差为15，则；④第2024个整式为；⑤当时，；以上正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
6．若，则 ．
7．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）
①小长方形C的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
三、解答题
8．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：
(1)由图2可以得到：_____
(2)利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足，，求的值；
②若实数x，y，z满足，，求的值．
9．阅读以下材料：
目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：
第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到；
第二步，去括号，和对比发现，
二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）；
第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了．
请使用上述方法回答下列问题：
(1)因式分解：
①；
②；
(2)对关于的多项式因式分解：．
10．方法探究：
已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
(1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立；
(2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；
(3)对于多项式，用“试根法”分解因式．
11．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．
(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______．
(3)若x满足，则的值为______；
(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______；
(5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
一、单选题
1．计算的结果（ ）
A．B．C．D．
2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若，则m、n的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
6．若是一个完全平方式，则m为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则代数式的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
8．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若的积中不含的一次项，则的值为（ ）
A．3B．0C．D．1
10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“奇妙数”，如：因为，所以称16为“奇妙数”，下面4个数中为“奇妙数”的是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
二、填空题
11． ．
12．计算 ．
13．多项式分解因式时所提取的公因式是 ．
14．分解因式： ．
15．长方形的面积为，若它的一边长为，则它的周长为 ．
16．已知，，则 .
17．若，，则 ．
18．（多项式乘多项式）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片 张．
19．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：
，展开式有两项，系数分别为1，1；
，展开式有三项，系数分别为1，2，1；
，展开式有四项，系数分别为1，3，3，1；
…
根据以上规律，（a＋b）4展开式共有五项，系数分别为 ．
三、解答题
20．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．化简求值：，其中，
23．（1）若的展开式中不含和项，求m、n的值．
（2）求的值．
24．已知，．求：
(1)的值：
(2)的值．
25．如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
(1)多项式为______，多项式为______，例题的化简结果为______；
(2)求多项式与的积．
26．阅读材料：若，求、的值．
解：，
．
，，．
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求______ ；
(2)已知三边长、、都是正整数，且满足，求的周长．
27．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
(1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1： ，图2： ，图3： ；
(2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式之间的等量关系；_____．
(3)根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：
①已知，求代数式的值；
②已知，求的值．
一、单选题
1．化简的结果是( )
A．B．C．D．
2．若，则代数式的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．已知，，则（ ）
A．B．3C．D．1
4．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．有个依次排列的整式：第1个整式是，第2个整式是，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为，记；将第2个整式与相加作为第3个整式，记，将第3个整式与相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：①；②当时，第3个整式的值为25；③若第5个整式与第4个整式之差为15，则；④第2024个整式为；⑤当时，；以上正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
6．若，则 ．
7．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填写序号）
①小长方形C的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
三、解答题
8．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：
(1)由图2可以得到：_____
(2)利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足，，求的值；
②若实数x，y，z满足，，求的值．
9．阅读以下材料：
目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：
第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到；
第二步，去括号，和对比发现，
二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）；
第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了．
请使用上述方法回答下列问题：
(1)因式分解：
①；
②；
(2)对关于的多项式因式分解：．
10．方法探究：
已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
(1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立；
(2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；
(3)对于多项式，用“试根法”分解因式．
11．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．
(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______．
(3)若x满足，则的值为______；
(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______；
(5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
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