压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）（原卷版）

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这是一份压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）（原卷版），共19页。

01函数导数与数列结合
1.（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数fx满足fx=f1-x,f'x为fx的导函数，gx=f'x+13,x∈R.若an=gn2024，则数列an的前2023项和为 .
2. （2024·安徽芜湖·二模）在数列an中，Sn为其前n项和，首项a1=1，且函数fx=x3-an+1sinx+2an+1x+1的导函数有唯一零点，则S5=（）
A．26B．63C．57D．25
3. （2024·浙江·二模）已知函数fx满足对任意的x,y∈1,+∞且xA．f253385B．f253380C．f253765D．f253760
4. （2024·上海闵行·二模）已知定义在（0,+∞）上的函数y=f(x)的表达式为fx=sinx-xcsx，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列xn（n≥1,n∈N）.
(1)求函数y=fx在区间0,π上的值域；
(2)求证：函数y=fx在区间nπ,n+1π（n≥1,n∈N）上有且仅有一个零点；
(3)求证：π5. （2024·四川成都·三模）已知函数fx=lnx，若数列an的各项由以下算法得到：
①任取ai=a（其中a>0），并令正整数i=1；
②求函数fx图象在ai,fai处的切线在y轴上的截距ai+1；
③判断ai+1>0是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令i=i+1，返回第②步；
⑤结束算法，确定数列an的项依次为a1,a2,⋅⋅⋅,ai+1．
根据以上信息回答下列问题：
(1)求证：ai+1=lnai-1；
(2)是否存在实数a使得an为等差数列，若存在，求出数列an的项数n；若不存在，请说明理由．参考数据：e1e2+1≈3.11．
02构造法比较函数的大小
6.（2024·浙江台州·二模）已知x，y为正实数，则可成为“xA．1x<1yB．x+lnyC．sinx7. （2024·吉林延边·一模）已知α，β均为锐角，且lnα-lnπ2-β=csα-sinβ+lnπ2，则（）
A．sinαC．csα8. （多选）（23-24高三上·江西赣州·期末）若正数a，b满足a+b=1，则（）
A．lg2a+lg2b≥-2B．2a+2b≥22
C．a+lnb<0D．sinasinb<14
9. （2024·陕西商洛·模拟预测）设a=sin0.2,b=0.16,c=12ln32，则（）
A．a>c>bB．b>a>c
C．c>b>aD．c>a>b
10. （23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数fx=(1+x)α-1-αx，其中x>-1,α>1.
(1)讨论fx的单调性；
(2)若003抽象函数问题
11.（多选）（2024·浙江台州·二模）已知fx是定义域为xx≠0的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有fxfy=fxy+fxy，则下列结论正确的是（）
A．f1=2B．fx的值域为2,+∞
C．fx=f1xD．fx是奇函数
12. （2024·四川泸州·二模）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意x，y满足fx-y=fxgy-gxfy，且f-2=f1≠0，则下列说法正确的是（）
A．g0=-1B．若f1=2024，则n=12024f(n)=2024
C．函数f2x-1的图像关于直线x=12对称D．g1+g-1=-1
13. （2024·四川泸州·二模）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意x，y满足fx-y=fxgy-gxfy，且f-2=f1≠0，则下列说法正确的是（）
A．g0=0B．若f1=2024，则n=12024fn=2024
C．函数f2x-1的图象关于直线x=12对称D．g1+g-1=-1
14. （2024·安徽·二模）已知函数y=fxx≠0满足fxy=fx+fy-1，当x>1时，fx<1，则（）
A．fx为奇函数B．若f2x+1>1，则-1C．若f2=12，则f1024=-4D．若f12=2，则f11024=10
15. （多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数fx及其导函数f'x的定义域均为R，若fx是奇函数，f2=-f1≠0，且对任意x，y∈R，fx+y=fxf'y+f'xfy，则（）
A．f'1=12B．f9=0
C．k=120fk=1D．k=120f'k=-1
04同构相关问题
16.（2024·浙江台州·二模）已知关于x的不等式lnx+1≤axeax-12恒成立，则实数a的取值范围是 .
17. （2024·全国·模拟预测）若关于x的不等式e-1lnx+ax≥xeax-1在x∈12,1内有解，则正实数a的取值范围是（）
A．0,2+2ln2B．1e,eC．0,4D．12e,e
18. （2024·全国·模拟预测）若关于x的不等式a(lnx+lna)≤2e2x在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．(0,e]B．0,e2
C．(0,e]D．(0,2e]
19. （23-24高三上·浙江宁波·期末）对任意x∈(1,+∞)，函数f(x)=axlna-aln(x-1)≥0(a>1)恒成立，则a的取值范围为．
20. （2024·河南信阳·模拟预测）已知正数a,b满足lnb+1b4≤lna-a4+ln(2e)，则a+b= .
05函数性质综合问题
21.（2024·浙江杭州·二模）设集合M={-1,1}，N={x|x>0且x≠1}，函数fx=ax+λa-x（a>0且a≠1），则（）
A．∀λ∈M,∃a∈N,fx为增函数B．∃λ∈M,∀a∈N,fx为减函数
C．∀λ∈M,∃a∈N,fx为奇函数D．∃λ∈M,∀a∈N,fx为偶函数
22. （多选）（2024·河南信阳·模拟预测）已知f(x)=esin2x+2csx，（参考数据ln13.4≈2.6），则下列说法正确的是（）
A．fx是周期为π的周期函数
B．fx在(-π,0)上单调递增
C．fx在(-2π,2π)内共有4个极值点
D．设gx=fx-x，则g(x)在-∞,29π6上共有5个零点
23. （2024·安徽芜湖·二模）已知函数fx的定义域为R，且fx+2-2为奇函数，f3x+1为偶函数，f1=0，则k=12024fk=（）
A．4036B．4040C．4044D．4048
24. （2023·江西南昌·三模）若实数m,n满足m3+6m2+13m=10n3+6n2+13n=-30，则m+n=（）
A．-4B．-3C．-2D．-1
25．（2024·陕西西安·一模）已知函数fx=2sin2π5x,-154≤x≤54lg2x-1,x>54，若存在实数x1,x2,x3,x4x1A．x32+x42<8B．x1+x2=-52C．x3x4-x3-x4=0D．006放缩与裂项相消法的运用
26.（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数fx=csx+λln1+x，且曲线y=fx在点0,f0处的切线斜率为1.
(1)求fx的表达式；
(2)若fx≤ax+1恒成立，求a的值.
(3)求证：k=n+12nfsin1k-127. （2024·广西·模拟预测）函数fx=alnx+12x2-a+1x+32(a>0).
(1)求函数fx的单调增区间；
(2)当a=1时，若fx1+fx2=0，求证：x1+x2≥2；
(3)求证：对于任意n∈N*都有2lnn+1+i=1ni-1i2>n.
28. （2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数f(x)=ln(x+1)-ax2-x．
(1)判断函数f(x)的单调性
(2)证明：①当a≥0时，f(x)≤0；
②sin1n+1+sin1n+2+⋯+sin12n29. （2024·贵州黔西·一模）已知函数f(x)=92x2-xlnx-2x.
(1)判断fx的单调性;
(2)证明:913+35+57+⋯+2n-12n+1>3n-ln(2n+1).
30. （23-24高二下·山东·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn且满足：f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．
（注：f″(x)=f'(x)'，f'''(x)=f″(x)'，f(4)(x)=f'''(x)'，…f(n)(x)=f(n-1)(x)的导数）
已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德近似为R(x)=ax1+bx．
(1)求实数a，b的值；
(2)当x>0，f(x)>kR(x)恒成立，求实数k的取值范围；
(3)证明：∀n∈N*，1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n07集合新定义问题
31.（2024·浙江台州·二模）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称f：A→B为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作A=B.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作A≠B.
例如：对于集合A=N*，B=2nn∈N*，存在一一对应关系y=2xx∈A,y∈B，因此A=B.
(1)已知集合C=x,yx2+y2=1，D=x,y|x24+y23=1，试判断C=D是否成立?请说明理由；
(2)证明：①0,1=-∞,+∞；
②N*≠xx⊆N*.
32. （多选）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意A,B⊆R，记A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B，并称A⊕B为集合A,B的对称差．例如：若A=1,2,3,B=2,3,4，则A⊕B=1,4．下列命题中，为真命题的是（）
A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅
B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=B
C．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B
D．存在A,B⊆R，使得A⊕B≠∁RA⊕∁RB
33. （2024·北京顺义·二模）已知点集Mn=x1,y1,x2,y2,⋯,xn,ynn≥3满足0≤xi，yi，xi+yi≤2i=1,2,⋯,n.对于任意点集Mn，若其非空子集A，B满足A∩B=∅，A∪B=Mn，则称集合对A,B为Mn的一个优划分.对任意点集Mn及其优划分A,B，记A中所有点的横坐标之和为XA，B中所有点的纵坐标之和为YB.
(1)写出M3=1,1,2,0,0,2的一个优划分A,B，使其满足XA+YB=3；
(2)对于任意点集M3，求证：存在M3的一个优划分A,B，满足XA+YB≤3；
(3)对于任意点集Mn，求证：存在Mn的一个优划分A,B，满足XA≤n+12且YB≤n+12.
34. （2024·北京丰台·一模）已知集合Mn=x∈N*x≤2n（n∈N，n≥4），若存在数阵T=a1a2⋯anb1b2⋯bn满足：
①a1,a2,⋯,an∪b1,b2,⋯,bn=Mn；
②ak-bk=kk=1,2,⋯,n．
则称集合Mn为“好集合”，并称数阵T为Mn的一个“好数阵”．
(1)已知数阵T=xyz67w12是M4的一个“好数阵”，试写出x，y，z，w的值；
(2)若集合Mn为“好集合”，证明：集合Mn的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断Mnn=5,6是否为“好集合”．若是，求出满足条件n∈a1,a2,⋯,an的所有“好数阵”；若不是，说明理由．
35. （2024·北京石景山·一模）已知集合Sn=XX=x1,x2,⋅⋅⋅,xn,xi∈0,1,i=1,2,⋅⋅⋅,nn≥2，对于A=a1,a2,⋅⋅⋅,an，B=b1,b2,⋅⋅⋅,bn∈Sn，定义A与B之间的距离为dA,B=i=1nai-bi．
(1)已知A=1,1,1,0∈S4，写出所有的B∈S4，使得dA,B=1；
(2)已知I=1,1,⋅⋅⋅,1∈Sn，若A,B∈Sn，并且dI,A=dI,B=p≤n，求dA,B的最大值；
(3)设集合P⊆Sn，P中有mm≥2个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值为t，求证：m≤2n-t+1．
08函数新定义问题
36.（2024·浙江宁波·二模）定义：对于定义在区间a,b上的函数，若存在实数c∈a,b，使得函数在区间a,c上单调递增（递减），在区间c,b上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称c为最优点.已知定义在区间a,b上的函数fx是以c为最优点的单峰函数，在区间a,b上选取关于区间的中心a+b2对称的两个试验点x1,x2，称使得fxi-fci=1,2较小的试验点xi为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点c与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间a,b分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为a1,b1，再对区间a1,b1重复以上操作，可以找到新的存优区间a2,b2，同理可依次找到存优区间a3,b3,a4,b4,⋯，满足a,b⊇a1,b1⊇a2,b2⊇a3,b3⊇a4,b4⊇⋯，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数ω，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，ω称为优美存优区间常数.对区间a,b进行n次“优美的”操作，最后得到优美存优区间an,bn，令εn=bn-anb-a，我们可任取区间an,bn内的一个实数作为最优点c的近似值，称之为fx在区间a,b上精度为εn的“合规近似值”，记作xεnf,a,b.已知函数fx=x+1csx-1,x∈0,π2，函数gx=sinx-ln1+π-x,x∈π2,π.
(1)求证：函数fx是单峰函数；
(2)已知c为函数fx的最优点，d为函数gx的最优点.
（i）求证：c+d<π；
（ii）求证：xε5g,π2,π-xε5f,0,π2>d-c-π10.
注：2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236,7≈2.646.
37. （2024·安徽池州·模拟预测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数fx，存在一个点x0，使得fx0=x0，那么我们称fx为“不动点”函数．若fx存在n个点xii=1,2,⋯,n，满足fxi=xi，则称fx为“n型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（）
A．fx=1-lnxB．fx=5-lnx-ex
C．fx=4ex-2xD．fx=2sinx+2csx
38. （多选）（2023·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α (0<α≤90°)后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“α旋转函数”.那么（）
A．存在90°旋转函数
B．80°旋转函数一定是70°旋转函数
C．若g(x)=ax+1x为45°旋转函数，则a=1
D．若h(x)=bxex为45°旋转函数，则-e2≤b≤0
39. （2024·浙江金华·模拟预测）设全集为U，定义域为D的函数y=fn(x)是关于x的函数“函数组”，当n取U中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为R的函数fn(x)=nx，当U=N*时，有f1(x)=x,f2(x)=2x⋯若存在非空集合A⊆U满足当且仅当n∈A时，函数fn(x)在D上存在零点，则称fn(x)是A上的“跳跃函数”．
(1)设U=Z,D=(-∞,2]，若函数fn(x)=2x-n2是A上的“跳跃函数”，求集合A;
(2)设fn(x)=4nx3-(6n+1)x2+2x,D=(1,+∞)，若不存在集合A使fn(x)为A上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合U的并集；
(3)设U=N*，fn(x)为A上的“跳跃函数”，D=(1,+∞)．已知f1(x)=2-1x，且对任意正整数n，均有fn+1(x)=fn(x)+(1-x)n+1．
（i）证明：A=nn=2k,k∈N*;
（ii）求实数a的最大值，使得对于任意n∈A，均有fn(x)的零点tn>a．
40. （2023·上海浦东新·二模）设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y=fx的图象．若过点P恰能作曲线Γ的k条切线k∈N，则称P是函数y=fx的“k度点”．
(1)判断点O0,0与点A2,0是否为函数y=lnx的1度点，不需要说明理由；
(2)已知0(3)求函数y=x3-x的全体2度点构成的集合．
09集合、函数与数列结合新定义问题
41.（2024·河北石家庄·二模）设集合M是一个非空数集，对任意x,y∈M，定义ρ(x,y)=|x-y|，称ρ为集合M的一个度量，称集合M为一个对于度量ρ而言的度量空间，该度量空间记为(M,ρ).
定义1：若f:M→M是度量空间(M,ρ)上的一个函数，且存在α∈(0,1)，使得对任意x,y∈M，均有：ρ(f(x),f(y))≤αρ(x,y)，则称f是度量空间(M,ρ)上的一个“压缩函数”.
定义2：记无穷数列a0,a1,a2,⋯为ann=0+∞，若ann=0+∞是度量空间(M,ρ)上的数列，且对任意正实数ε>0，都存在一个正整数N，使得对任意正整数m,n≥N，均有ρam,an<ε，则称ann=0+∞是度量空间(M,ρ)上的一个“基本数列”.
(1)设f(x)=sinx+12，证明：f是度量空间12,2,ρ上的一个“压缩函数”；
(2)已知f:R→R是度量空间(R,ρ)上的一个压缩函数，且a0∈R，定义an+1=fan，n=0,1,2,⋯，证明：ann=0+∞为度量空间(R,ρ)上的一个“基本数列”.
42. （2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在m1（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以m1是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记m1=123312；又如，R在l1（关于对称轴r1所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以l1也是R的一个对称变换，类似地，记l1=123132．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．∀a,b∈G，a∘b∈G；
II．∀a,b,c∈G，a∘b∘c=a∘b∘c；
Ⅲ．∃e∈G，∀a∈G，a∘e=e∘a=a；
Ⅳ．∀a∈G，∃a-1∈G，a∘a-1=a-1∘a=e．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的a-1为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算∘来说作成一个群．

(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如m1=123312=132321=213132=231123=312231=321213．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：a1a2a3b1b2b3*b1b2b3c1c2c3=a1a2a3c1c2c3，a1,a2,a3=b1,b2,b3=c1,c2,c3=1,2,3．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，e'分别是G，H的单位元，a∈H，a-1，a'分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，e'之间的关系以及a-1，a'之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
43. （22-23高三下·北京·开学考试）给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T=a-b∣a､b∈S,a≠b，如果minT=1，则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断A=-0.1,-1.1,2,2.5、B=-1.5,-0.5,0.5,1.5哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个n元规范数集S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：minS+maxS≥n-1；
(3)当S=a1,a2,⋯,a2023遍历所有2023元规范数集时，求范数f的最小值.
注：minX、maxX分别表示数集X中的最小数与最大数.
44. （2024·福建厦门·二模）设集合A=-1,0,1，B=x1,x2,x3,x4,x5xi∈A,i=1,2,3,4,5，那么集合B中满足1≤x1+x2+x3+x4+x5≤3的元素的个数为（）
A．60B．100C．120D．130
45. （2024·湖南益阳·模拟预测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组a1,a2表示；三维空间向盘可用三元有序数组a1,a2,a3表示．一般地，n维空间向量用n元有序数组a1,a2,⋯,an表示，其中akk=1,2,⋯,n称为空间向量的第k个分量，k为这个分量的下标．对于nn≥3维空间向量a1,a2,⋯,an，定义集合Am=k∣ak=m,k=1,2,⋯,n．记Am的元素的个数为Am（约定空集的元素个数为0）．
(1)若空间向量a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8=6,3,2,5,3,7,5,5，求A5及A5；
(2)对于空间向量a1,a2,⋯,an．若1Aa1+1Aa2+⋯+1Aan=n，求证：∀i,j∈1,2,⋯,n，若i≠j，则ai≠aj；
(3)若空间向量a1,a2,a3,⋯,an的坐标满足Aak-2+ak-1=k,a1=a2=1，当n≥3时，求证：a12+a22+⋯+an2>2an-1an．
10函数新考点问题
46.（2024·浙江宁波·二模）已知集合P=x,y|x4+ax-2024=0且xy=2024，若P中的点均在直线y=2024x的同一侧，则实数a的取值范围为（）
A．-∞,-2023∪2023,+∞B．2023,+∞
C．-∞,-2024∪2024,+∞D．2024,+∞
47. （2024·广西·二模）记函数y=fx的导函数为y'，y'的导函数为y″，则曲线y=fx的曲率K=y″1+y'232．若函数为y=lnx，则其曲率的最大值为（）
A．23B．22C．239D．233
48. （2024·山西吕梁·二模）已知函数fx的图象关于点1,0中心对称，也关于点0,-1中心对称，则f1,f2,f3,⋯,f2024的中位数为 .
49. （2024·贵州黔西·一模）已知f(x)=f'(1)eex+x2-f(0)x，若∀m∈R，均有不等式f(m)≥2n2+3n恒成立，则实数n的取值范围为 .
50. （2024·贵州遵义·一模）已知直线nx-y+2=0与函数f(x)=8πcsπ2x+x12的图象在x=1处的切线没有交点，则n=（）
A．6B．7C．8D．12
11多个函数数形结合问题
51.（21-22高三上·河南三门峡·阶段练习）已知函数y=axex与y=lnx+x的图象有两个交点，则实数a的取值范围为（）
A．(0,1e)B．(0,2e)C．(-∞,1e)D．(-∞,2e)
52. （多选）（2024·安徽池州·模拟预测）已知函数fx=1x+1+1x-x，设x1,x2,x3是曲线y=fx与直线y=a的三个交点的横坐标，且x1A．存在实数a，使得x2-x1>1B．对任意实数a，都有x3-x1>3
C．存在实数a，使得x3-x2>3D．对任意实数a，都有x3-x2>1
53. （2024·江苏扬州·模拟预测）设方程2x+x+3=0和方程lg2x+x+3=0的根分别为p,q，设函数fx=x+px+q，则（）
A．f2=f0f2
C．f354. （2023·湖北黄冈·模拟预测）已知函数fx=exa，gx=2x2，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围．
55. （2024·上海金山·二模）设f(x)=x3-3x，有如下两个命题：
①函数y=f(x)的图象与圆x2+y2=1有且只有两个公共点；
②存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数y=f(x)的图象上．
则下列说法正确的是（）．
A．①正确，②正确B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确D．①不正确，②不正确
12函数最值与取值范围问题
56.（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数fx=kx+xe-x+k2,x<0exx+1,x≥0（e为自然对数的底数），若关于x的方程f-x=-fx有且仅有四个不同的解，则实数k的取值范围是．
57. （2024·浙江·模拟预测）函数fx=x3e3x-3lnx-1x(x>0)的最小值是．
58. （2024·浙江金华·模拟预测）若对任意实数x>1,m(1+lnx-x)≥3ex-ex，则m的最大值为．
59. （2024·浙江杭州·二模）函数fx=-x2+3x+2x+1的最大值为．
60. （2023·全国·模拟预测）若对于∀m∈-e,e，∀y∈-1,+∞，使得不等式4x3+lnx+1+2023-mx-113三角函数与导数结合问题
61.（2024·安徽·二模）已知函数fx=x-1sinx+x+1csx，当0,π时fx的最大值与最小值的和为．
62. （多选）（2024·河南信阳·模拟预测）已知f(x)=esin2x+2csx，（参考数据ln13.4≈2.6），则下列说法正确的是（）
A．fx是周期为π的周期函数
B．fx在(-π,0)上单调递增
C．fx在(-2π,2π)内共有4个极值点
D．设gx=fx-x，则g(x)在-∞,29π6上共有5个零点
63. （23-24高三·广东广州·模拟）对于函数y=f(x),x∈D1,y=g(x),x∈D2及实数m，若存在x1∈D1,x2∈D2，使得fx1+gx2=m，则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质．
(1)若f(x)=sinx与g(x)=cs2x具有“m关联”性质，求m的取值范围；
(2)已知a>0，f(x)为定义在R上的奇函数，且满足；
①在[0,2a]上，当且仅当x=a2时，f(x)取得最大值1；
②对任意x∈R，有f(a+x)+f(a-x)=0．
求证：y1=sinπx+f(x)与y2=csπx-f(x)不具有“4关联”性．
64. （23-24高三下·重庆·开学考试）如果函数Fx的导数F'x=fx，可记为Fx=∫fxdx．若fx≥0，则abfxdx=Fb-Fa表示曲线y=fx，直线x=a,x=b以及x轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若Fx=∫1xdx，且F1=1，求Fx；
(2)已知0<α<π2，证明：αcsα<0acsxdx<α，并解释其几何意义；
(3)证明：1n1+csπn+1+cs2πn+1+cs3πn+⋯+1+csnπn<22π，n∈N*．
65. （2024·上海奉贤·二模）已知定义域为R的函数y=fx，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为R的导函数y=f'x.
(1)求函数fx=ex+e-x在点0,f0的切线方程；
(2)已知fx=acsx+bsinx，当a与b满足什么条件时，存在非零实数k，对任意的实数x使得f-x=-kf'x恒成立？
(3)若函数y=f(x)是奇函数，且满足fx+f2-x=3.试判断f'x+2=f'2-x对任意的实数x是否恒成立，请说明理由.
66. （2024·福建泉州·模拟预测）已知函数fx=x21-2ex+1，gx满足g1+3x+g3-3x=0，Gx=fx-2-gx，若Gx恰有2n+1n∈N*个零点，则这2n+1个零点之和为（）
A．2nB．2n+1C．4nD．4n+2
67. （2024·浙江嘉兴·二模）已知集合A=i=1m2ai∣0≤a1(1)写出b(2)5,b(2)6，并求S(2)10；
(2)判断88是否为数列b(3)n中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若2024是数列b(t)n中的某一项bt0n0，求t0,n0及St0n0的值.
68．（2024·湖南·模拟预测）已知函数fx满足fx+8=fx，fx+f8-x=0，当x∈0,4时，fx=ln1+sinπ4x，则函数Fx=f3x-fx在0,8内的零点个数为（）
A．3B．4C．5D．6
69. （2024·上海虹口·二模）已知定义在R上的函数fx,gx的导数满足f'x≤g'x，给出两个命题：
①对任意x1,x2∈R，都有fx1-fx2≤gx1-gx2；②若gx的值域为m,M,f-1=m,f1=M，则对任意x∈R都有fx=gx.
则下列判断正确的是（）
A．①②都是假命题B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是真命题，②是假命题
70. （2024·上海闵行·二模）已知f(x)=sinx，集合D=[-π2,π2]，Γ={(x,y)|2f(x)+f(y)=0,x,y∈D}，Ω={(x,y)|2f(x)+f(y)≥0,x,y∈D}. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）
命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形；
命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于5π212.
A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题
命题预测
本专题考查类型主要涉及点为集合、函数、导数的综合类型，尤其以性定义为主，同时包含了多个知识点的综合问题
预计2024年后命题会再新定义以及知识点的综合方面进行考察。
高频考法
题型01函数导数与数列结合
题型02构造法比较函数的大小
题型03抽象函数问题
题型04同构相关问题
题型05函数性质综合问题
题型06放缩与裂项相消法的运用
题型07集合新定义问题
题型08函数新定义问题
题型09集合、函数与数列结合新定义问题
题型10函数新考点问题
题型11多个函数数形结合问题
题型12函数最值与取值范围问题
题型13三角函数与导数结合问题
数列与导函数结合的题目，关键是找到两者间的递推关系或通项关系，理解数列的规律，即研究透通项，利用数列的求和方法求出对应数列的和即可。
构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.
对于含有x,y的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有x,y双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
同构几技巧：与ex和lnx相关的常见同构模型
①aea≤blnb⇔ealnea≤blnb，构造函数fx=xlnx或gx=xex；
②eaa③ea±a>b±lnb⇔ea±lnea>b±lnb，构造函数fx=x±lnx或gx=ex±x.
导函数证明与整数n相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质.
针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.