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初中数学苏科版七年级下册12.2 证明课堂检测
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这是一份初中数学苏科版七年级下册12.2 证明课堂检测，共14页。
2．了解命题的结构，会区分命题的条件（题设）和结论，并能初步对命题的真假性作出判断．
3．能在观察、实验、操作的基础上，对所作的猜想加以证实；
4．通过积极参与，获得正确的数学推理方法，理解数学的严谨、严密性，并培养与他人合作的意识．
5．引导学生通过具体实例，了解原命题及其逆命题的概念；
6．会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；
7．通过具体的例子了解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的．
知识点一：常见的概念
定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是定义。
命题：判断一件事情的句子叫命题。
真命题：如果条件成立，那么结论就成立的命题叫真命题。
假命题：如果条件成立，不能保证结论总是正确的，结论不成立。
证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫证明，经过证明的真命题称为定理。
知识点二：互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题的是另一个命题的逆命题。
命题与定理
1．（2024春•玄武区校级期中）下列命题中，真命题的个数是
①若，则是直角三角形；
③若三条线段的长、、满足，则以、、为边一定能组成三角形；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④三角形的三条高至少有一条在三角形内部；
⑤在平移过程中，对应线段一定是平行的．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2024春•玄武区校级月考）下列命题中，假命题的个数是
（1）平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）三角形的一个外角大于任何一个内角；
（3）不相交的两条线段必平行；
（4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（5）若，则．
A．2B．3C．4D．5
3．（2024春•泰兴市期中）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， （请你填一个符合要求的值）
4．（2024春•雨花台区校级月考）“两直线平行，内错角相等”的条件是 ；结论是 ．
二、命题的证明
5．（2024春•防城区月考）已知①，②，③，④，请选2个作为题设，1个作为结论，构成一个真命题，并证明．
题设： ，结论 ．
证明： ．
6．（2023春•苍溪县期中）如图，已知：点、点和点分别在、和上，于．给出下面三个条件：
①；②；③．
请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果，那么；（2）．选证明如下：
7．（2023秋•惠民县期末）如图，点，，分别是三角形的边，，边上的点，有下列三个条件：
①；
②；
③．
（1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题；
（2）判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明．
8．（2023春•淮安期末）已知的两边与的两边分别垂直，即，，垂足分别为点和，试探究：
（1）如图1，与的关系是 ；
（2）如图2，写出与的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
9．（2023春•沭阳县期末）（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．
求证：；
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
10．（2023春•连江县期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，点在的延长线上，请从①；②；③中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题．
证明：
，
（等量代换）
（1）请帮助小明补全证明过程及推理依据；
（2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明．
11．（2024春•泰兴市期中）在中，，点在边上，点在的延长线上，射线与射线相交于点，是的外角．
有以下三个选项：①，②，③平分．从中选两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
条件 ，结论 （填序号）
证明：
12．（2023春•清江浦区期末）探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ；图2中与数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请直接写出这两个角的度数．
13．（2023春•泰兴市校级月考）已知：如图，中，点、是边上的两点，点是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．从以下：①平分，②，③，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．
条件： ，结论： ．（填序号）
证明：．
14．（2023秋•淮阳区期末）如图，有如下三个论断：
①；②；③，以其中两个作为条件，另一个论断作为结论，组成一个真命题，并证明．
15．（2024春•朝阳区校级月考）如图， 直线和直线、直线和直线都被直线所截 ． 在下面三个式子中， 请你选择其中两个作为题设， 剩下的一个作为结论， 组成一个真命题并证明 ．
①、，②，③．
题设 （已 知） ．
结论 （求 证） ．
证明： ．
16．（2023春•泰兴市期中）已知：如图，在中，，点、分别在、上，、相交于点．有以下三个选项：①，②平分，③．从中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的命题，并加以证明．
条件 ，结论 ．（填序号）
证明： ．
17．（2024春•玄武区校级期中）如图，从①；②；③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中．
（1）真命题的个数为 ；
（2）选择一个真命题写出理由．
18．（2023春•宿迁期末）如图，点、在的边上，点、分别在、上．请你从三个选项：①，②，③中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
三．推理与论证
19．（2023春•邗江区校级期末）甲、乙、丙和丁四名同学参加了江苏省“时代杯”初中数学应用与创新选拔赛，乙和丁两个同学的得分和等于丙和甲的得分和；甲与乙的得分和大于丙和丁的得分和，丁的得分超过丙与乙的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是
A．甲，丁，丙，乙B．丁，甲，乙，丙C．丁，甲，丙，乙D．甲，丁，乙，丙
20．（2024•鼓楼区模拟）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则的最小值是
A．3B．4C．5D．6
四．逆命题（共3小题）
21．（2023春•溧阳市期末）命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
22．（2003•无锡）命题“如果，那么”的逆命题是 ．
23．（2023•滨湖区一模）命题“如，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”
五．证明的依据
24．（2023春•海安市期中）如图，，，，求的度数．
解：，
．
又， ．
．
．
，
．
25．（2022春•玄武区校级期中）在括号内填写理由．
已知：如图，，，，．求证：
证明：，
即．
一．选择题（共4小题）
1．（2024春•玄武区校级月考）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是
A．B．C．D．
2．（2023春•南京期中）对于下列命题：①同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③若，则．
是真命题的有
A．①②③B．①③C．②③D．②
3．（2024春•雨花台区校级期中）要说明命题“若，则”是假命题，下列，的值能作为反例的是
A．，B．．C．，D．，
4．（2023春•海陵区校级期中）下列命题是真命题的是
A．对顶角相等
B．三角形三条高的交点在三角形的内部
C．同旁内角互补
D．三角形的一个外角等于两个内角的和
二．填空题（共4小题）
5．（2024春•江都区月考）如图，点、分别在线段、上，连接、．若，，，则的度数为 ．
6．（2024春•雨花台区校级月考）命题“同位角相等”的逆命题是 ；逆命题是 命题（填“真”或“假” ．
7．（2024春•高新区校级月考）下列命题中，①同位角相等；②三角形的高相交于三角形的内部；③三角形的一个外角大于任意一个内角；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤两个角的两边分别平行，则这两个角相等．真命题的有 个．
8．（2024•宁乡市模拟）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第三局的裁判是 ．
三．解答题（共6小题）
9．（2023春•西华县期末）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
（1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式： ．
（2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．
已知：如图，， ．
求证： ．
10．（2023春•潜江月考）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，写出这个真命题（写一个即可），并给予证明．
11．（2023春•安次区校级期中）数学课上，老师在黑板上画出如图所示的图形，并写出三个条件：①；②平分，平分；③；要求同学们以其中两个条件作为题设，另一个条件作为结论，构造一个真命题，并给予证明．
你选择的题设： ，结论： （填序号）．
12．（2023春•宁乡市期末）定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“好友数”，点、为“好友点”．
（1）若为“好友点”，则 ；
（2）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“”，假命题在括号内打“”．
①与4是互为“好友数”的；
②若点为“好友点”，则点也一定为“好友点”；
③若与互为相反数，则一定不是“好友点”；
④存在与1互为“好友数”的实数；
（3）已知、是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于，的二元一次方程组的解，请判断点是否能成为“好友点”？若能，请求出的值和点的坐标；若不能，请说明理由．
13．（2023春•合江县期中）如图1，已知，．
（1）观察猜想：若，，则的度数为 ；
（2）探究问题：请在图1中探究，与之间有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时，与又有怎样的数量关系呢？请写出结论并说明理由．
14．（2023春•清丰县期中）【问题提出】
课堂上，李老师提出了这样一个问题：“已知一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角是什么关系？”
【问题探索】
为了解答李老师问题，小明与小颖分别画出了下面图形，请你根据这两位同学画的图形，解答下列问题：
（1）如图，，，则下列结论正确的是
．
．
．或
．以上答案都不对
（2）请你选择其中一位同学所画的图形，给出你的结论并证明．
我用 画的图形，证明如下：
已知：如图，，，
求证： ．
证明：
（3）结合李老师提出的问题，请你总结出一个结论（请你用语言文字概括写出来，要求按命题的叙事方式表达： ；
【结论应用】
若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角的比另一个角的2倍少，求这两个角分别是多少度？
2．了解命题的结构，会区分命题的条件（题设）和结论，并能初步对命题的真假性作出判断．
3．能在观察、实验、操作的基础上，对所作的猜想加以证实；
4．通过积极参与，获得正确的数学推理方法，理解数学的严谨、严密性，并培养与他人合作的意识．
5．引导学生通过具体实例，了解原命题及其逆命题的概念；
6．会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；
7．通过具体的例子了解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的．
知识点一：常见的概念
定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是定义。
命题：判断一件事情的句子叫命题。
真命题：如果条件成立，那么结论就成立的命题叫真命题。
假命题：如果条件成立，不能保证结论总是正确的，结论不成立。
证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫证明，经过证明的真命题称为定理。
知识点二：互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题的是另一个命题的逆命题。
命题与定理
1．（2024春•玄武区校级期中）下列命题中，真命题的个数是
①若，则是直角三角形；
③若三条线段的长、、满足，则以、、为边一定能组成三角形；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④三角形的三条高至少有一条在三角形内部；
⑤在平移过程中，对应线段一定是平行的．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2024春•玄武区校级月考）下列命题中，假命题的个数是
（1）平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）三角形的一个外角大于任何一个内角；
（3）不相交的两条线段必平行；
（4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（5）若，则．
A．2B．3C．4D．5
3．（2024春•泰兴市期中）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， （请你填一个符合要求的值）
4．（2024春•雨花台区校级月考）“两直线平行，内错角相等”的条件是 ；结论是 ．
二、命题的证明
5．（2024春•防城区月考）已知①，②，③，④，请选2个作为题设，1个作为结论，构成一个真命题，并证明．
题设： ，结论 ．
证明： ．
6．（2023春•苍溪县期中）如图，已知：点、点和点分别在、和上，于．给出下面三个条件：
①；②；③．
请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果，那么；（2）．选证明如下：
7．（2023秋•惠民县期末）如图，点，，分别是三角形的边，，边上的点，有下列三个条件：
①；
②；
③．
（1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题；
（2）判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明．
8．（2023春•淮安期末）已知的两边与的两边分别垂直，即，，垂足分别为点和，试探究：
（1）如图1，与的关系是 ；
（2）如图2，写出与的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
9．（2023春•沭阳县期末）（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．
求证：；
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
10．（2023春•连江县期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，点在的延长线上，请从①；②；③中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题．
证明：
，
（等量代换）
（1）请帮助小明补全证明过程及推理依据；
（2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明．
11．（2024春•泰兴市期中）在中，，点在边上，点在的延长线上，射线与射线相交于点，是的外角．
有以下三个选项：①，②，③平分．从中选两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
条件 ，结论 （填序号）
证明：
12．（2023春•清江浦区期末）探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ；图2中与数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请直接写出这两个角的度数．
13．（2023春•泰兴市校级月考）已知：如图，中，点、是边上的两点，点是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．从以下：①平分，②，③，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．
条件： ，结论： ．（填序号）
证明：．
14．（2023秋•淮阳区期末）如图，有如下三个论断：
①；②；③，以其中两个作为条件，另一个论断作为结论，组成一个真命题，并证明．
15．（2024春•朝阳区校级月考）如图， 直线和直线、直线和直线都被直线所截 ． 在下面三个式子中， 请你选择其中两个作为题设， 剩下的一个作为结论， 组成一个真命题并证明 ．
①、，②，③．
题设 （已 知） ．
结论 （求 证） ．
证明： ．
16．（2023春•泰兴市期中）已知：如图，在中，，点、分别在、上，、相交于点．有以下三个选项：①，②平分，③．从中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的命题，并加以证明．
条件 ，结论 ．（填序号）
证明： ．
17．（2024春•玄武区校级期中）如图，从①；②；③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中．
（1）真命题的个数为 ；
（2）选择一个真命题写出理由．
18．（2023春•宿迁期末）如图，点、在的边上，点、分别在、上．请你从三个选项：①，②，③中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
三．推理与论证
19．（2023春•邗江区校级期末）甲、乙、丙和丁四名同学参加了江苏省“时代杯”初中数学应用与创新选拔赛，乙和丁两个同学的得分和等于丙和甲的得分和；甲与乙的得分和大于丙和丁的得分和，丁的得分超过丙与乙的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是
A．甲，丁，丙，乙B．丁，甲，乙，丙C．丁，甲，丙，乙D．甲，丁，乙，丙
20．（2024•鼓楼区模拟）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则的最小值是
A．3B．4C．5D．6
四．逆命题（共3小题）
21．（2023春•溧阳市期末）命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
22．（2003•无锡）命题“如果，那么”的逆命题是 ．
23．（2023•滨湖区一模）命题“如，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”
五．证明的依据
24．（2023春•海安市期中）如图，，，，求的度数．
解：，
．
又， ．
．
．
，
．
25．（2022春•玄武区校级期中）在括号内填写理由．
已知：如图，，，，．求证：
证明：，
即．
一．选择题（共4小题）
1．（2024春•玄武区校级月考）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是
A．B．C．D．
2．（2023春•南京期中）对于下列命题：①同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③若，则．
是真命题的有
A．①②③B．①③C．②③D．②
3．（2024春•雨花台区校级期中）要说明命题“若，则”是假命题，下列，的值能作为反例的是
A．，B．．C．，D．，
4．（2023春•海陵区校级期中）下列命题是真命题的是
A．对顶角相等
B．三角形三条高的交点在三角形的内部
C．同旁内角互补
D．三角形的一个外角等于两个内角的和
二．填空题（共4小题）
5．（2024春•江都区月考）如图，点、分别在线段、上，连接、．若，，，则的度数为 ．
6．（2024春•雨花台区校级月考）命题“同位角相等”的逆命题是 ；逆命题是 命题（填“真”或“假” ．
7．（2024春•高新区校级月考）下列命题中，①同位角相等；②三角形的高相交于三角形的内部；③三角形的一个外角大于任意一个内角；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤两个角的两边分别平行，则这两个角相等．真命题的有 个．
8．（2024•宁乡市模拟）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第三局的裁判是 ．
三．解答题（共6小题）
9．（2023春•西华县期末）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
（1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式： ．
（2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．
已知：如图，， ．
求证： ．
10．（2023春•潜江月考）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，写出这个真命题（写一个即可），并给予证明．
11．（2023春•安次区校级期中）数学课上，老师在黑板上画出如图所示的图形，并写出三个条件：①；②平分，平分；③；要求同学们以其中两个条件作为题设，另一个条件作为结论，构造一个真命题，并给予证明．
你选择的题设： ，结论： （填序号）．
12．（2023春•宁乡市期末）定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“好友数”，点、为“好友点”．
（1）若为“好友点”，则 ；
（2）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“”，假命题在括号内打“”．
①与4是互为“好友数”的；
②若点为“好友点”，则点也一定为“好友点”；
③若与互为相反数，则一定不是“好友点”；
④存在与1互为“好友数”的实数；
（3）已知、是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于，的二元一次方程组的解，请判断点是否能成为“好友点”？若能，请求出的值和点的坐标；若不能，请说明理由．
13．（2023春•合江县期中）如图1，已知，．
（1）观察猜想：若，，则的度数为 ；
（2）探究问题：请在图1中探究，与之间有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时，与又有怎样的数量关系呢？请写出结论并说明理由．
14．（2023春•清丰县期中）【问题提出】
课堂上，李老师提出了这样一个问题：“已知一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角是什么关系？”
【问题探索】
为了解答李老师问题，小明与小颖分别画出了下面图形，请你根据这两位同学画的图形，解答下列问题：
（1）如图，，，则下列结论正确的是
．
．
．或
．以上答案都不对
（2）请你选择其中一位同学所画的图形，给出你的结论并证明．
我用 画的图形，证明如下：
已知：如图，，，
求证： ．
证明：
（3）结合李老师提出的问题，请你总结出一个结论（请你用语言文字概括写出来，要求按命题的叙事方式表达： ；
【结论应用】
若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角的比另一个角的2倍少，求这两个角分别是多少度？
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