广东实验中学2024年高一下学期6月第二次段考数学试题

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 复数，（，）为实数充要条件是（ ）
A. B. 且
C. 且D. 且
2. 点P满足向量，则点P与AB位置关系是（ ）
A. 点P在线段AB上
B. 点P在线段AB延长线上
C. 点P在线段AB反向延长线上
D. 点P在直线AB外
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，则大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
7. 已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（ ）

A. B.
C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 在空间中，下列命题正确的是（ ）
A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C. 若点既在平面内，又在平面内，且与相交于直线，则点在上
D. 用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C D.
11. 如图，在棱长为2正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 若，，，四点共面，则
C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D. 若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是虚数单位，则________.
13. 在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则______
14. 定义在R上的两个函数和，已知，．若图象关于点对称，则___，___________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3）
（1）试问该箱中有多少个这样的陀螺？
（2）如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？
16. 已知函数.
（1）若函数的图象关于直线对称，求实数的值；
（2）当时，
①求函数的单调增区间；
②若，求的值.
17. 如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.
（1）若，，求的面积；
（2）若，求的最大值.
18. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．
（1）证明：三棱锥为鳖臑；
（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为．
①证明：直线平面；
②判断与的位置关系，并证明你的结论．
19. 若是定义在上的增函数，其中，存在函数，，且函数图像上存在两点，图像上存在两点，其中两点横坐标相等，两点横坐标相等，且，则称在上可以对进行“型平行追逐”，即是在上的“型平行追逐函数”. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数．
（1）求满足的的值；
（2）设函数，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数是在上的“型平行追逐函数”，求正数的取值范围．