数学：湖北省孝感高新区2024年中考二模试题（解析版）

这是一份数学：湖北省孝感高新区2024年中考二模试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. “龙行麟，欣欣家国”， 2024年是龙年， 请问2024的相反数是（ ）
A. B. C. 2024D.
【答案】B
【解析】根据相反数的定义，“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”．
2024的相反数是.
故选：B．
2. 下面四幅作品分别代表“谷雨”、“小暑”、“立秋”、“小寒”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】B、C、D均不能找到一条直线，使B、C、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B、C、D不是轴对称图形，不符合题意；
A能找到一条直线，使A沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形，符合题意；
故选：A．
3. 下列运算中，正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是正确的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是错误的；
故选：B．
4. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
5. 已知实数a＜b，则下列事件中是随机事件的是（ ）
A. 3a＞3bB. a﹣b＜0C. a＋3＞b＋3D. a2＞b2
【答案】D
【解析】A．由a＜b，可得3a＜3b，故3a＞3b是不可能事件，不合题意；
B．由a＜b，可得a﹣b＜0，故a﹣b＜0是必然事件，不合题意；
C．由a＜b，可得a＋3＜b＋3，故a＋3＞b＋3是不可能事件，不合题意；
D．若a＜b，则a2＞b2不一定成立，故a2＞b2是随机事件，符合题意；
故选：D．
6. 一杆古秤在称物时，挂砝码的细绳与挂托盘的细绳是竖直向下的，我们可以抽象出如图的几何图形，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
故选：D．
7. 五边形的外角和等于（）
A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°
【答案】B
【解析】五边形的外角和是360°．
故选B．
8. 如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（ ）
A. cmB. cmC. cmD. cm
【答案】B
【解析】根据题意，重物上升的高度为．
故选：B．
9. 中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，若，则正方形与正方形的面积的比值为（ ）．
A. B. C. 5D.
【答案】D
【解析】设，
∵，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，，
∴正方形的面积为，
∴正方形与正方形的面积的比值为，
故选：D．
10. 知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ②③⑤D. ②③④⑤
【答案】D
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线，即，∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴，所以②正确；
∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，而b=2a，
∴3a+c＞0，∵a＞0，∴4a+c＞0，所以③正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），
即，所以④正确；
∵图象经过点时，方程的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为，
即x1=，x2=，
∴，所以⑤正确．
综上所述，正确的是：②③④⑤，
故选：D．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 分解因式：_______.
【答案】．
【解析】，
故答案为：．
12. 当时，关于的方程根的情况是__________．
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】关于的方程，
∴，
∵，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
13. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的 4张无差别的卡片 A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的概率是________．
【答案】
【解析】画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的结果有：，，共2种，
所抽取的2张卡片刚好都是化学变化的概率为．
故答案为：．
14. 图1是临安区一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图所示，它是一个轴对称图形，，，则双翼边缘端点与之间的距离为__________．（参考数据：，，）．
【答案】
【解析】如图，作直线，交双翼闸机于点、，由轴对称图形的性质得，，
由题意可得，，
在中，
∵，
∴，
∴．
故答案：．
15. 如图，在矩形中，，，点M为的中点，E是上的一点，连接，作点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F．当最大时，点到的距离是________．

【答案】
【解析】如图，由题意可得：在上，过作于，
∵点B关于直线的对称点，
∴，，，，
当与切于点时，最大，此时，

∴，
∴，重合，
∴，
∵矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离是．
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：.
解：.
17. 如图，已知为的对角线．的垂直平分线分别交于点E，F，O，连接，求证：四边形为菱形．
证明：∵垂直平分，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
18. 本学期我区各校开展“秋游活动”，到处都留下了同学们的欢声笑语．某校组织全校师生乘坐大巴到“发现王国”，已知“发现王国”与该校的距离是90千米，大巴车队伍从学校出发，一名教师因为有事从学校自驾小轿车前往，小轿车的速度是大巴车的倍，结果比大巴车队伍提前15分钟到达，求大巴车的平均速度是多少？
解：设大巴车的平均速度是，
根据题意得，，
方程两边乘得，解得，
检验：当时，，且符合题意，
所以原分式方程的解是，
答：大巴车的平均速度是．
19. 【数据的收集、整理与描述】
新修订的体育法明确国家实行青少年和学校体育活动促进计划，学校要保障学生每天一小时体育锻炼．某学校启动了阳光体育锻炼活动并对九年级学生肺活量进行测试，小敏随机抽取了 20名同学的肺活量（单位：）并制成下表：经过2个月的体育锻炼，学校第二次对所有九年级学生的肺活量进行测试．小敏对这 20名同学第二次的肺活量进行整理并绘制出如下条形统计图．
【数据的分析】
小敏对这 20 名学生两次肺活量测试情况进行分析得到下表：根据信息，解答下列问题：
（1）表中 ， ， ，
（2）该校九年级共有360名学生，估计第二次测试肺活量为的人数；
（3）你认为两个月的体育锻炼是否促进该校九年级学生肺活量的提升？请你从表格中选择两个统计量进行说明．
解：依题意，第一次九年级学生的肺活量的众数，
第二次九年级学生的肺活量的中位数，众数；
故答案为：3000，3100，3200；
（2）依题意， （人，
答：估计第二次测试肺活量为的人数为90人；
（3）该校两个月的体育锻炼促进了该校九年级学生肺活量的提升，
理由：从平均数来看，第二次测试的平均数大于第一次测试的平均数，说明这20名同学整体的肺活量得到提升；从中位数来看，第二次测试的中位数大于第一次测试的中位数，说明这20名同学整体的肺活量得到提升（答案不唯一，合理即可）．
20. 如图，一次函数与函数为的图象交于，两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）结合图象直接比较：当时，根据自变量的取值范围比较和的大小；
解：（1）∵在函数为的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
∴，
∵一次函数过，，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：．
（2）由函数图象得：当或时，；当时，
21. 如图1，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠C+∠D＝90°，BF∥CD．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）延长AC交直线FB于点P（如图2），若点E为OB中点，CD＝6，求PC的长．
（1）证明：∵∠A=∠D，∠C+∠D=90°，
∴∠BEC=∠A+∠C=90°，
∵BFCD，
∴∠ABF=∠BEC=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O切线；
（2）解：连接OD，
∵∠BEC=90°，
∴AB⊥CD，
∵点E为OB中点，CD=6，
∴CE=DE=3，OD=BD，
∴OB=OD=BD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD=60°，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，∠A=∠BDE=30°，
在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，
∴（2BE）2=BE2+32，解得BE=，
∵点E为OB中点，
∴OB=2，AB=4，
∴AE=3，
在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2=32+（3）2=36，
∴AC=6=2CE，
∵AB=4，
∴BP=4，AP=8，
∴PC=8-6=2．
22. “我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词，所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋人米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋．
（1）求出y与x的函数关系式：
（2）设“东方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？
解：（1）由题意得：，
整理得：；
∴；
（2）由题意得：，
整理得：，
∵，
∴当时，有最大值：4500；
∴销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元．
（3）由题意得：，
即：，
整理得：，
，
∴；
∵让消费者获得最大的利益，
∴；
∴此时大米的销售单价是65元．
23. 综合与实践∶
【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究．
【探究发现】如图 1，在 中，
（1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）；
（2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ．
【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形．
（3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长．
（1）解：根据折叠可知．
，
；
根据折叠可知，，，
，
，
，
．
故答案为：72，；
（2）证明：，，
．
由折叠知，
，
又，
，
，
即，
整理得：，
解得：（舍去），
；
拓展应用：解：菱形较长对角线．
如图3，在上截取，连接，
得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，
根据黄金三角形的底与腰的比值为，由，
可得，
．
，，
，
．
，
，
，
，
．
24. 如图，抛物线：经过点和点．已知直线的解析式为．．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图1，若直线将线段AB分成1：3两部分，求k的值；
（3）如图2，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为．
①直接写出新图象，当y随x的增大而增大时x的取值范围；
②直接写出直线与图象有四个交点时k的取值范围．
解：（1）直线的解析式为，
，
经过点和点，
，，
抛物线的解析式为；
（2）设直线与轴的交点为，
点和点，
，
直线将线段分成两部分，
或，
或，代入得或；
（3）①的对称轴是直线，点和点，
当或时新图象随的增大而增大；
②如图所示，当直线夹在两条虚线之间时直线与图象有四个交点，把代入得；
的顶点是，
将抛物线在轴上方的部分沿轴折叠到轴下方后，顶点变为，
折叠后的抛物线表达式为，
联立和得，
，即，
△，
或，
，
，
．A
冰化成水
B
酒精燃烧
C
牛奶变质
D
衣服晾干
样本学生的肺活量
2500
2200
3000
2500
3500
3000
3300
2800
2000
3000
3000
2800
3000
2200
2500
2800
3600
3000
2500
2800

平均数
中位数
众数
方差
第一次
2800
2800
a
167000
第二次
3065
b
c
159275