2024自治区包头高三下学期适应性考试（二）数学（文）含答案

这是一份2024自治区包头高三下学期适应性考试（二）数学（文）含答案，共13页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，若复数为纯虚数，则，已知数列的前项和为，且，若实数满足不等式，则的概率为等内容，欢迎下载使用。
文科数学
注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间150分钟.
2做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上的答案无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上的答案无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则子集的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若复数为纯虚数，则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A. B. C. D.
4.函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A.2 B.3 C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ）
A. B.1 C.-1 D.
7.已知数列的前项和为，且.若，则正整数的最小值为（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
8.已知是球表面上的不同点，平面，若球的表面积为，则（ ）
A. B.1 C. D.
9.若实数满足不等式，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ）
A. B. C. D.
11.己知函数，若存在实数满足，则以下选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
12.若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在锐角中，若，且，则的取值范围是__________.
14.点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是__________.
15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点满足，则的最小值为__________.
16.已知关于的不等式在上恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
己知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.（12分）
如图，在正四棱锥中，点为的中点.
（1）若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的正弦值.
19.（12分）
环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域I､II､III､IV，落入对应区域的样本点的个数依次为.
（1）完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆"有关；
（2）
（2）经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差.
①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值；
②若这50天的汽车日流量满足，试推算这50天的日均浓度的平均数.（精确到0.1）
参考公式：，其中.
回归方程，其中.
相关系数若，则认为与有较强的线性相关性.
20.（12分）
已知函数.
（1）若的零点也是其极值点，求；
（2）若对所有成立，求的取值范围.
21.（12分）
已知椭圆的长轴长为4，离心率为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的切线，交轴于点，直线过点且垂直于，交轴于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断以为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若为曲线上到直线的距离最小的点，求点在平面直角坐标系中的坐标.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数的最小值是.
（1）求的值；
（2）若，且，证明：.
文科数学预测卷（二）答案
参考答案：
1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.A 7.C 8.B 9.A 10.A 11.A 12.A
13. 14. 15.-3 16.
17.（1），
两式相减得，
又当时，，满足上式，
所以；
（2）由（1）得，
18.（1）相交
由分别为侧棱的中点，
且，
又且，故且，
四边形是梯形，因此直线与相交.
（2）由为的中点，得点到平面的距离为正四棱锥高的一半，
设，连接，则平面，
由正四棱锥的各棱长均为，
则，即正四面体的高为，
点到平面的距离为，又，
设直线与底面所成角为，则，
故直线与底面所成角的正弦值为.
19.【详解】（1）列联表如下：
零假设：“平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆”无关，
因为，
所以至少有的把握（但还不能有的把握）认为“平均浓度不小于”，与“汽车日流量不小于1500辆有关”.
（2）①因为回归方程为，所以
，
又因为，
所以.
与有较强的相关性，该回归方程有价值.
②解得
而样本中心点位于回归直线上，
因此可推算.
20.（1），
若，则在单调递减，无极值点，不合题意；
若，则；
故在上单调递减，在上单调递增，
故
因为的零点也是其极值点，则，
设，
则；故在上单调递增，在上单调递减，
且易知，故有唯一解
此时的零点和极值点均为0，符合题意；故
首先注意到，.
，
①若，则在时恒成立，故单调递减，
则对所有，不满足题意，故舍去；
②若，则；
故在上单调递减，在上单调递增，
则，不满足题意，故舍去；
③若，则在时恒成立
所以在上单调递增，则对所有，
符合题意，该情况成立.
综上所述，的取值范围是.
21.（1）因为，
所以.
所以椭圆的方程为.
（2）解法一：设点，直线的方程为，
代入，整理得，
因为是方程的两个相等实根，所以，解得.
所以直线的方程为，
令，得点的坐标为.
又因为，所以.
所以点的坐标为.
又直线的方程为，
令，得点的坐标为.
所以以为直径的圆的方程为.
整理得.
令，得，
所以以为直径的圆恒过定点和.
解法二：设点，
根据切线方程可知直线的方程为，所以点的坐标为.
又直线的方程为，令，得点坐标为，
所以以为直径的圆方程为
整理得，令，得，
所以以为直径的圆恒过定点和.
22.（1）对于直线的参数方程（为参数），
消去参数得，
即直线的普通方程为；
对于曲线的极坐标方程为，
利用变形得，
即曲线的直角坐标方程为；
（2）设与直线平行的直线方程为，
联立，消去得
令得或，
当时，直线与的交点为曲线上到直线的距离最小的点，
解方程得，此时
即点在平面直角坐标系中的坐标为
23.（1）当时，，
此时；
当时，，
此时；
当时，，
此时；
综上所述，函数的最小值是2，即
（2）要证，
即证
即证
因为，且，
故只需证，
由基本不等式可知，，
当且仅当时，等号成立，
故命题得证.汽车日流量
汽车日流量
合计
的平均浓度
的平均浓度
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
汽车日流量
汽车日流量
合计
的平均浓度
16
8
24
的平均浓度
6
20
26
合计
22
28
50