2024河池十校联盟体高一下学期5月月考试题数学含解析

这是一份2024河池十校联盟体高一下学期5月月考试题数学含解析，共13页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，在中，为边上的点且，则，已知中，点在边上，等内容，欢迎下载使用。

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米，黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.2 B. C.4 D.
3.梯形（如图）是一水平放置的平面图形的直观图（斜二测），若轴，轴，，则平面图形的面积是（ ）
A. B. C.20 D.10
4.已知向量满足，则为（ ）
A. B. C. D.
5.若为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
6.在中，为边上的点且，则（ ）
A. B.
C. D.
7.已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知中，点在边上，.当取得最小值时，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，则平面的图形是（ ）
A. B.
C. D.
10.初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（ ）
A.舰艇所需的时间为2小时
B.舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里
C.
D.舰艇与舰艇对接时距离处为50公里
11.已知圆锥的顶点为，底面圆心为为底面直径，，点在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为2
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设，其中是实数，则__________.
13.底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为__________.
14.在中，已知角所对的边分别为，若，则角的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知棱长为1的正方体中.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角.
16.（15分）已知中三个内角所对的边为，且.
（1）若，求的值；
（2）若时，求的周长.
17.（15分）如图，在正方体中，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由.
18.（17分）如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点.将，分别沿折起，使三点重合于点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求二面角的正弦值.
19.（17分）在中，角的对边分别是，满足.
（1）求角的大小；
（2）若点在边上，且是的角平分线，且，求的最小值.
2024年春季学期高一年级校联体第二次联考
数学科参考答案及评分标准
1.【答案】A
【详解】因为，故，故，即为第一象限，故选：A.
2.【答案】D
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，故选：D.
3.【答案】C
【详解】根据题意还原成平面图形，则为直角梯形，，，所以面积为，故选：C.
4.【答案】C
【详解】：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.故选C.
5.【答案】B
【详解】选项有可能在平面内，故A错误；
选项B，因，则，使得.因，
则，使得，即，故B正确；
选项C，有可能在平面内，故C错误；
选项D，有可能在平面内，故错误.故选：B.
6.【答案】B
【详解】由题意得，，所以，
所以.故选：B.
7.【答案】C
【详解】因为三棱锥的所有棱长均为，故可把已知
三棱锥放置在正方体上，如图所示，
设正方体的棱长为，则，解得，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，故球的半径，
所以球的体积，故选C.
8.【答案】D
【详解】设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
所以.故选D.
9.【答案】AD
【详解】对于A：连接，如图①所示.由，可知平面平面，所以平面.故选A；
对于B：连接交于，连接，如图②所示.由于是的中点，不是的中点，所以在平面内与相交，所以直线与平面相交，故不选B；
对于C：连接，如图③所示.则，而与相交，即与平面相交，所以直线与平面相交，故不选C；
对于D：连接，如图④所示.
则，由线面平行的判定定理可知平面.综上所述，平面的图形是A和D.
故选：AD
10.【答案】BCD
【详解】如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则
.
根据余弦定理得，
解得或（舍去），
故.由正弦定理得，
解得.
故选：BCD.
11.【答案】BD
【详解】依题意，，所以，
A选项，圆锥的体积为A选项错误；
B选项，圆锥的侧面积为B选项正确；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角
的平面角，则，所以，
故，则C选项错误；
D选项，，所以D选项正确.
故选：BD.
12.【答案】
【解析】由，即，可得，所以.故答案为：.
13.【答案】56
【详解】方法一（割补法）：由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以原正四棱锥的
体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
方法二：（台体的体积公式）棱台的体积为.故答案为：56.
14.【答案】
【详解】由余弦定理，代入，得，整理得：，
则，
当且仅当时取“，因为，所以，所以角的最大值为.
15.【详解】如图，
（1）连接，在正方体中，因为平面
平面则，
因为，
，
所以平面，
又平面，
所以
（2）连接，设，连接，
因为平面平面，则，
因为，
所以平面，
所以为直线在平面上的射影，为直线与平面所成的角，
因为正方体棱长为1，则，
所以，
故直线与平面所成的角为
16.【详解】（1）在中，由正弦定理得，
，
，
（2），
又因为，所以
由余弦定理得，
，即
的周长为.
17.【详解】（1）如图，连接交于，连接.
因为为正方体，底面为正方形，对角线交于点，所以为的中点，又因为为的中点，
所以在中，是的中位线，
所以，
又因为平面平面，
所以平面
（2）当上的点为中点时，即满足平面平面，
理由如下：
连接，因为为的中点，为的中点，所以
，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，
所以平面
由（1）知平面，
又因为平面，
所以平面平面
18.【详解】（1）证明：折叠前，因为在正方形中，，折叠后即有，
又平面，
所以平面，
（2）由（1）得平面，所以，
由题意知，故，
故；
（3）取线段的中点，连接，因为，
所以有平面平面，
所以即为二面角的平面角，
又由（1）得平面平面，故，
而，
，
故，
即二面角的正弦值为.
19.（1）【详解】因为，所以由正弦定理得，
因为，
所以，整理得
...
因为为三角形内角，
所以，所以，
所以，即.
又因为，所以.
（2）因为是的角平分线，所以，
因为，
所以，
化简得，所以，
即.
当且仅当`，即时，等号成立，
因此的最小值为