2024成都石室中学高三下学期高考适应性考试（二）数学（理）含解析

这是一份2024成都石室中学高三下学期高考适应性考试（二）数学（理）含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，星期六，填空题，解答题，星期日参加活动，有种情况，等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，，则
A．，B．，C．，D．，
2．已知复数，，为虚数单位），其在复平面内对应向量的模为2，则的最大值为
A．2B．3C．D．
3．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计折线图如图，记甲、乙二人成绩的平均数为，，标准差为，，则
A．，B．，
C．，D．，
4．若、为不垂直的异面直线，是一个平面，则、在上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及直线外一点．
其中，正确结论的序号是
A．①②③ B．②③④ C．①③④D．①②④
5．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，，，输出，，则
A．和分别是，，，中最小的数和最大的数
B．和分别是，，，中最大的数和最小的数
C．为，，，的算术平均数
D．为，，，的和
6.成都石室中学从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有
A．40种 B．60种C．100种D．120种
7．在平面直角坐标系中，质点在圆心为半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴的距离关于时间的函数的图象大致为
A．B．C．D．
8．某随机模拟的步骤为：①利用计算器或计算机产生两组区间的均匀随机数，，；②进行平移和伸缩变换，，；③共做了次试验，数出满足条件的点的个数．则
A．B．C．D．
9．一边长为4的正方形，为的中点，将，分别沿，折起，使，重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为
A．B．C．D．
10．已知，则的值为
A．1B．C．2D．
11．已知圆在椭圆的内部，点为上一动点．过作圆的一条切线，交于另一点，切点为，当为的中点时，直线的斜率为，则的离心率为
A．B．C．D．
12．已知函数的定义域为，且，若，则下列错误的是
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13．已知向量满足，且是单位向量，若，则 ．
14．关于双曲线，四位同学给出了四个说法：
小明：双曲线的实轴长为8；小红：双曲线的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线的离心率为；小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 ．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）
15．已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 .
16．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，．分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的取值范围是___________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，证明．
18. (本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，，为的中点，于，，已知，，，．
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19. (本小题满分12分)
某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间，内，并按，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的值；
（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全列联表，并判断是否有的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系？说明理由．
（3）若甲、乙两位网购迷网购时支付方式采用软件支付分概率分别为，采用其它支付方式的概率分别为，且甲、乙两人网购时采用支付方式相互独立．在甲、乙各自独立完成的2次网购中，记甲、乙两人支付方式采用支付的次数分别为，，令，求的分布列和数学期望
下面的临界值表仅供参考：
（参考公式：，其中
20．（本小题满分12分）
已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知直线过定点，动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点，，为上的两个动点，若，，恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在上，记平行四边形的面积为，求证：.
（二）选考题:共10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数）．
(1)写出及的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若的最小值为，正实数a，b，c满足，求证:男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
47
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
成都石室中学2023-2024学年高2024届高考适应性考试（二）
数学（理科）答案
1.D
2．已知复数，，为虚数单位），其在复平面内对应向量的模为2，则的最大值为
A．2B．3C．D．
【解答】解：且，，即，
故点在以为圆心，2为半径的圆上，又，它表示点与原点的距离，
则的最大值为3．故选：．
3.解：由表中折线图可知，甲组数据总体比乙组数据高，且甲组数据比乙组数据的振动幅度要小，
故，．故选：．
4.解：不妨以正方体为例，与在平面上的射影互相平行，①正确；
与在平面上的射影互相垂直，②正确；
如果、在上的射影是同一条直线，那么、共面，③不正确；
与在平面上的射影是一条直线及其外一点，④正确．
正确结论的序号是①②④．故选：．
5.解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出，，，中最大的数和最小的数
其中为，，，中最大的数，为，，，中最小的数故选：．
6.解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，
再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，
则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种，故选：．
7.解：通过分析可知当 时，点到轴距离为，于是可以排除答案，；
再根据当时，可知点在轴上，此时点到轴距离为0，排除答案；故选：．
8.【解答】解：把，，代入，得到
，如图：
坐标为，该圆半径为，该圆的面积为，则落在该圆的概率为，故选．
9．【解答】解：如图所示，
由图可知在四面体中，由正方形，为的中点，
可得，，，故平面，
将图形旋转得到如图所示的三棱锥，其中为等边三角形，
过的中心作平面的垂线，过线段的中点作平面的垂线，
由球内截面的性质可得直线与相交，记，则即为三棱锥外接球的球心，
设外接球的半径为，连接，，可得，
在△中，，
故该外接球的表面积．
故选：．
10．解：，则
，
故选：．
11.解：如图，
设，，，，，，
则，，两式作差，可得，
，则，
当为的中点时，直线的斜率为，
，即，则，
设为椭圆的左顶点，连接，则，
得，解得或（舍去）．
可得，则，，
椭圆的离心率．
故选：．
12.解：令，，则有，
又，故，即，
令，，则有，
即，由，可得，
又，故，故正确；
令，则有，
即，故函数是奇函数，
有，即，
即函数是减函数，
令，有，故正确、错误、正确．
故选：．
13．已知向量满足，且是单位向量，若，则 ．
【答案】
所以，，又因为，
所以，即，解得，
所以.
14．关于双曲线，四位同学给出了四个说法：
小明：双曲线的实轴长为8；
小红：双曲线的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线的离心率为；
小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 ．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）
【答案】小强
【详解】假设小明说法正确，则，即，
又小红说法正确，则双曲线的焦点到渐近线的距离为，
则此时双曲线为，则，双曲线的离心率为，
双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，
综上，小明、小红、小同的说法正确的，小强的说法错误.
故答案为：小强.
15．已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则切线方程为 .
【答案】
【分析】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程.
【详解】设公共点为，则，即，所以，
所以，
由，，所以，，
又在公共点处有相同的切线，所以，即，所以，则，，
故答案为：
16．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，．分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的取值范围是___________．
【答案】.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求出.
（2）利用向量线性运算，结合向量的三角不等式求出区域D的“直径”关系式，再利用三角恒等变换结合正弦函数性质求出范围即得.
【详解】如图，F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线，
设P，Q分别为、上任意一点，，
，
即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时取等，
同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，因此区域D的“直径”为的周长l的一半，
由正弦定理得：，，，
则，
由为锐角三角形，得，即，
则，，于是，
所以平面区域D的“直径”的取值范围是.
17.解：（1），当时，，
两式相减，得，即，又………………………………4分
，满足上式，………………………………5分
即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；………………………………6分
证明：（2）
，………………………………8分
………………………………11分
．………………………………12分
18.【解答】解：（1），为的中点，
，，，平面，平面，，
，，平面；……………………5分
（2）以为原点，以方向为轴正方向，以射线的方向为轴正方向，建立空间坐标系，则，0，，，，，，2，，，2，，，0，
设，，则，，，，，，，，，
，0，设平面的法向量，，则
令，则，1，平面的法向量，，，
，5，，，，
令，则，4，……………………9分
由二面角的大小为，得
，方程无解，不存在点使得二面角的大小为．……………………12分
19.某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间，内，并按，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的值；
（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全列联表，并判断是否有的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系？说明理由．
（3）若甲、乙两位网购迷网购时支付方式采用软件支付分概率分别为，采用其它支付方式的概率分别为，且甲、乙两人网购时采用支付方式相互独立．在甲、乙各自独立完成的2次网购中，记甲、乙两人支付方式采用支付的次数分别为，，令，求的分布列和数学期望
下面的临界值表仅供参考：
（参考公式：，其中
【解答】解：（1）根据频率分布直方图得：，
解得．……………………2分
（2）根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为，
列联表如下：
解得．……………………6分
有的把握认为样本数据中的网购迷与性质有关系．
（3）根据题意，的可能取值为0，1，2，
，
，
．……………………9分
的分布列为：
．……………………12分
20．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
【详解】（1）当时，，
则，……………………1分
设，则恒成立，又，…………………2分
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的减区间为，增区间为；…………………4分
（2），
设，则，所以在上单调递增，…………………5分
又，，
所以存在，使得，即，…………………6分
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，…………………7分
所以，…………………9分
所以，即，
设，易知单调递增，且，
所以，解得，综上，.…………………12分
21．已知直线过定点，动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点，，为上的两个动点，若，，恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在上，记平行四边形的面积为，求证：.
【详解】（1）设圆心坐标为过定点，依题意，，
…………………2分
化简得，所以曲线的方程为.…………………4分
（2）显然点不在曲线上，设，直线PQ的斜率为，线段PQ的中点为，
由平行四边形PAQB对角线的交点在上，得线段PQ的中点在直线上，
设，显然，两式相减得，
又，即，
设直线PQ的方程为，即，…………………6分
由消去x并整理得，，
则，解得，…………………7分
则，
又点到直线PQ的距离为，…………………8分
所以，，
…………………9分
记，由，得，则，
令，求导得，令，得，
当时，在区间内单调递增，
所以当，即时，取得最大值，即，
所以. …………………12分
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数）．
(1)写出及的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标．
【详解】（1）由消去得，
即的普通方程为. …………………2分
由消去得，
即的普通方程为.…………………5分
（2）联立方程消元得，…………………6分
解得或或，…………………7分
转化为极坐标得或或.…………………10分
即与交点的极坐标为或或.
23．已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若的最小值为，正实数a，b，c满足，求证:
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）借助零点分段法分类讨论即可得；
（2）借助柯西不等式计算即可得.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
故的最小值为；…………………5分
（2）由（1）可知，，即，即，
则有，
即，即，
当且仅当时，等号成立.…………………10分男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
47
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

男
女
合计
网购迷
15
20
35
非网购迷
47
18
65
合计
62
38
100

0
1
2