2024成都石室中学高三下学期高考适应性考试（二）数学（文）含解析

这是一份2024成都石室中学高三下学期高考适应性考试（二）数学（文）含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，，则
A．，B．，C．，D．，
2．在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计折线图如图，记甲、乙二人成绩的平均数为，，标准差为，，则
A．，B．，
C．，D．，
4．若、为不垂直的异面直线，是一个平面，则、在上的射影有可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及直线外一点．
其中，正确结论的序号是
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
5．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，，，输出，，则
A．和分别是，，，中最小的数和最大的数
B．和分别是，，，中最大的数和最小的数
C．为，，，的算术平均数
D．为，，，的和
6．成都石室中学选派甲、乙、丙、丁4位同学在星期六、星期日参加公益活动，每人一天，每天有2人参加，甲和乙安排在同一天的概率是
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，质点在圆心为半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴的距离关于时间的函数的图象大致为
A.B．C．D．
8.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则
A．1B．C．D．
9．某随机模拟的步骤为：①利用计算器或计算机产生两组区间的均匀随机数，，；②进行平移和伸缩变换，，；③共做了次试验，数出满足条件的点的个数．则
A．B．C．D．
10．已知，则的值为
A．1B．C．2D．
11．一边长为4的正方形，为的中点，将，分别沿，折起，使，重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为
A．B．C．D．
12．已知圆在椭圆的内部，点为上一动点．过作圆的一条切线，交于另一点，切点为，当为的中点时，直线的斜率为，则的离心率为
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13．已知向量满足，且是单位向量，若，则 ．
14．关于双曲线，四位同学给出了四个说法：
小明：双曲线的实轴长为8；
小红：双曲线的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线的离心率为；
小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 ．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）
15．已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则则公共点坐标为 .
16．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，．分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的最大值是___________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，证明．
18. (本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，，为的中点，于，，已知，，，．
（1）证明：平面；
（2）在线段上存在点，使得，求点到平面的距离．
19. (本小题满分12分)
某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间，内，并按，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的值，并估计居民网购消费金额的中位数；
（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全列联表，并判断是否有的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系？说明理由．
下面的临界值表仅供参考：
（参考公式：，其中
20．（本小题满分12分）
已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．
21．（本小题满分12分）
已知直线过定点，动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点，，为上的两个动点，若，，恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在上，记平行四边形的面积为，求证：.
（二）选考题:共10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数）．
(1)写出及的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若的最小值为，正实数a，b，c满足，求证:男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
47
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
成都石室中学2023-2024学年高2024届高考适应性考试（二）
数学（文科）答案
D
2．解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A．
3.解：由表中折线图可知，甲组数据总体比乙组数据高，且甲组数据比乙组数据的振动幅度要小，
故，．故选：．
4.解：不妨以正方体为例，与在平面上的射影互相平行，①正确；
与在平面上的射影互相垂直，②正确；
如果、在上的射影是同一条直线，那么、共面，③不正确；
与在平面上的射影是一条直线及其外一点，④正确．
正确结论的序号是①②④．故选：．
5.解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出，，，中最大的数和最小的数
其中为，，，中最大的数，为，，，中最小的数故选：．
6.C
7.解：通过分析可知当 时，点到轴距离为，于是可以排除答案，；
再根据当时，可知点在轴上，此时点到轴距离为0，排除答案；故选：．
8．【解答】解：根据题意，函数满足，则，即是周期为4的周期函数，
（1），，又由函数为定义在上的奇函数，则，（1），
当时，，则，则（1），，则；
故选：．
9.【解答】解：把，，代入，得到
，如图：
坐标为，该圆半径为，该圆的面积为，则落在该圆的概率为，故选．
10．解：，则
，
故选：．
11．【解答】解：如图所示，
由图可知在四面体中，由正方形，为的中点，
可得，，，故平面，
将图形旋转得到如图所示的三棱锥，其中为等边三角形，
过的中心作平面的垂线，过线段的中点作平面的垂线，
由球内截面的性质可得直线与相交，记，则即为三棱锥外接球的球心，
设外接球的半径为，连接，，可得，
在△中，，
故该外接球的表面积．
故选：．
12.解：如图，
设，，，，，，
则，，两式作差，可得，
，则，
当为的中点时，直线的斜率为，
，即，则，
设为椭圆的左顶点，连接，则，
得，解得或（舍去）．
可得，则，，
椭圆的离心率．
故选：．
13．已知向量满足，且是单位向量，若，则 ．
【答案】
所以，，又因为，
所以，即，解得，
所以.
14．关于双曲线，四位同学给出了四个说法：
小明：双曲线的实轴长为8；
小红：双曲线的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线的离心率为；
小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 ．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）
【答案】小强
【详解】假设小明说法正确，则，即，
又小红说法正确，则双曲线的焦点到渐近线的距离为，
则此时双曲线为，则，双曲线的离心率为，
双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，
综上，小明、小红、小同的说法正确的，小强的说法错误.
故答案为：小强.
【答案】
16．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，．分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的最大值是___________．
【答案】.
【详解】如图，F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线，
设P，Q分别为、上任意一点，，
，
即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时取等，
同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，因此区域D的“直径”为的周长l的一半，
由正弦定理得：，，，
则，
由为锐角三角形，得，即，
则，，于是，
17.【解答】解：（1），当时，，
两式相减，得，即，又………………………………4分
，满足上式，………………………………5分
即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；………………………………6分
证明：（2）
，………………………………8分
………………………………11分
．………………………………12分
18.【解答】解：（1），为的中点，
，
，，
平面，……………………………2分
平面，
，……………………………4分
，，
平面；……………………………6分
（2）.设点到平面的距离为。
……………………………8分
……………………………10分
点到平面的距离为。……………………………12分
19.【解答】解：（1）根据频率分布直方图得：，
解得，……………………3分
直方图中从左到右6组的频率分别为：0.05，0.1，0.2，0.3，0.2，0.15，
可得网购金额的中位数位于，区间内，设为，
故，解得：（千元）；……………………6分
（2）根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为，
列联表如下：
解得．
有的把握认为样本数据中的网购迷与性质有关系．……………………12分
20．（本小题满分12分）
已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．
20．（1）因为，所以．
令，解得．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以． ……………………2分
因为，，所以．
令，解得．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以． ……………………4分
由题意可得，解得． ……………………5分
（2）证明：方法一 当时，，，则．
要证，即证，．……………………6分
令，，则．
令，，则，
所以当时，，所以在上单调递增．
因为，，
所以在上存在唯一零点，且当时，；当时，．
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以． ……………………9分
由，得，所以．……………………10分
两边取对数，得，所以，……………………11分
所以，即．
因为，所以，即． ……………………12分
方法二 要证，即证，即证． ……………………6分
令，，，．
易得，则令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以． ……………………8分
易得．
令，得；令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以， ……………………11分
所以，故．……………………12分
21．已知直线过定点，动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点，，为上的两个动点，若，，恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在上，记平行四边形的面积为，求证：.
【详解】（1）设圆心坐标为过定点，依题意，，
…………………2分
化简得，所以曲线的方程为.…………………4分
（2）显然点不在曲线上，设，直线PQ的斜率为，线段PQ的中点为，
由平行四边形PAQB对角线的交点在上，得线段PQ的中点在直线上，
设，显然，两式相减得，
又，即，
设直线PQ的方程为，即，…………………6分
由消去x并整理得，，
则，解得，…………………7分
则，
又点到直线PQ的距离为，…………………8分
所以，，
…………………9分
记，由，得，则，
令，求导得，令，得，
当时，在区间内单调递增，
所以当，即时，取得最大值，即，
所以. …………………12分
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数）．
(1)写出及的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标．
【详解】（1）由消去得，
即的普通方程为. …………………2分
由消去得，
即的普通方程为.…………………5分
（2）联立方程消元得，…………………6分
解得或或，…………………7分
转化为极坐标得或或.…………………10分
即与交点的极坐标为或或.
23．已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若的最小值为，正实数a，b，c满足，求证:
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）借助零点分段法分类讨论即可得；
（2）借助柯西不等式计算即可得.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
故的最小值为；…………………5分
（2）由（1）可知，，即，即，
则有，
即，即，
当且仅当时，等号成立.…………………10分

男
女
合计
网购迷
15
20
35
非网购迷
47
18
65
合计
62
38
100