2024 河北数学中考备考重难专题：函数的实际应用题实物模型（课后练）

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典例精讲
例题 (2022河北逆袭卷复诊卷)如图1是小明做“探究拉力F与斜面高度h的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为0.1 m，两个相同弹簧测力计分别拉着质量不同的木块，图2是电脑软件显示的拉力F与斜面高度h的关系图象．
例题图1 例题图2
(1)通过计算分析弹簧测力计1与弹簧测力计2所拉木块的质量之比；
(2)分别求AC和BC段的函数关系式，并说明点C的意义；
(3)当两个弹簧测力计的拉力相差0.5 N时，求斜面h的高度．
课堂练兵
练习 (2022河北定心卷)中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，划出一条漂亮的抛物线，足球在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距地面的高度为k米，球在D点落地后又一次弹起落在点E处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
练习题图
(1)当k＝3时，求足球从飞出到第一次落地时形成的抛物线的函数解析式；
(2)在(1)的条件下，求足球第二次落地点E到点O的距离(结果保留根号)；
(3)在第一次落球点D的左右分别取点G，H，且OG＝6，OH＝9，若第一次球落在GH区域内(包括点G，H)，求k的取值范围．
练习题图
课后小练
练习 (2022河北原创卷)如图所示为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段AB是一段平行于x轴的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段抛物线，最低点为C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是与滑道B－C－D的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为E，点F在x轴上，FO＝12.
练习题图
(1)求抛物线B－C－D的解析式及线段AB的长；
(2)求抛物线D－E－F的解析式，当小车(看成点)沿滑道从A运动到F的过程中，小车距离x轴的垂直距离为2.5时，它到出发点A的水平距离是多少？
(3)现在需要对滑道E－F部分进行加固，过E作支架EK⊥x轴于点K，然后建造如图所示的水平支架PS和竖直支架PM.求所有支架(虚线部分)长度之和L的最大值及此时点M的坐标．
答案
典例精讲
例 解：(1)设弹簧测力计1所拉木块质量为m，弹簧测力计2所拉木块质量为n，
由题图可知，初始时弹簧测力计1的拉力为1N，弹簧测力计2的拉力为2N，
∴eq \f(m,n)＝eq \f(1,2)，
∴弹簧测力计1与弹簧测力计2所拉木块的质量之比为eq \f(1,2)；
(2)由题图可知，点A(0.1，1)，C(0.3，3)，
设AC段的函数关系式为F1＝kh＋d(k≠0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.1k＋d＝1,0.3k＋d＝3))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝10,d＝0))，
∴AC段的函数关系式为F＝10h；
由题图可知B(0.1，2)，
设BC段的函数关系式为F2＝ah＋b(a≠0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.1a＋b＝2,0.3a＋b＝3))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5,b＝1.5))，
∴BC段的函数关系式为F2＝5h＋1.5，
点C表示当斜面高度为0.3 m时，两个弹簧测力计的拉力相同；
(3)∵两个弹簧测力计的拉力相差0.5 N，
∴|5h＋1.5－10h|＝0.5，
即5h＋1.5－10h＝0.5或10h－5h－1.5＝0.5，
解得h＝0.2或h＝0.4，
∴当两个弹簧测力计的拉力相差0.5 N时，斜面h的高度为0.2 m或0.4 m．
课堂练兵
练习 解：(1)当k＝3时，依题意得A(0，1)，C(4，3)，
设抛物线解析式为y＝a(x－4)2＋3，把A(0，1)代入得，a(0－4)2＋3＝1，
解得 a＝－eq \f(1,8)，
∴该抛物线的函数解析式为y＝－eq \f(1,8)(x－4)2＋3；
(2)令y＝0，则－eq \f(1,8)(x－4)2＋3＝0，
解得x1＝4＋2eq \r(6)，x2＝4－2eq \r(6)(舍去)，
∴足球第一次落地点D距O点的距离为(4＋2eq \r(6))米，
如解图，∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半，
∴过点D，E所在抛物线的顶点作BC的垂直平分线，交抛物线y＝－eq \f(1,8)(x－4)2＋3于点M，N，
∴DE＝MN，
∴令y＝eq \f(3,2)，则－eq \f(1,8)(x－4)2＋3＝eq \f(3,2)，
解得x1＝4＋2eq \r(3)，x2＝4－2eq \r(3)，
则DE＝MN＝x1－x2＝4eq \r(3)，
∴OE＝OD＋DE＝4＋2eq \r(6)＋4eq \r(3)，
∴足球第二次落地点E到点O的距离为(4＋2eq \r(6)＋4eq \r(3))米；
练习题解图
(3)设球从A点飞出到落到D点的抛物线的解析式为y＝a(x－4)2＋k，
∵抛物线过A(0，1)，
∴a(0－4)2＋k＝1，解得a＝eq \f(1－k,16)，
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(1－k,16)(x－4)2＋k，
又∵抛物线开口向下，∴a＜0，即eq \f(1－k,16)＜0，∴k＞1.
若球落在GH区域内(含点G，H)，∵OG＝6，OH＝9，∴点G(6，0)，点H(9，0)，
当x＝6时，eq \f(1－k,16)(6－4)2＋k≥0，解得k≥－eq \f(1,3)，
当x＝9时，eq \f(1－k,16)(9－4)2＋k≤0，解得k≥eq \f(25,9)，
∴k≥eq \f(25,9).
课后小练
练习 解：(1)∵抛物线B－C－D的顶点为C(4，2)，
∴设抛物线B－C－D的解析式为y＝a(x－4)2＋2，代入点D(6，3)得3＝a(6－4)2＋2，解得a＝14，
∴抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2.
∵AB∥x轴，且OA＝3，∴点B的纵坐标为3，令14(x－4)2＋2＝3，解得x1＝2，x2＝6，
∵点D(6，3)，∴点B的坐标为(2，3)，
∵点A在y轴上，∴AB＝2；
(2)∵抛物线D－E－F与抛物线B－C－D的形状完全相同，由(1)得抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2，
∴设抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－h)2＋k，
∵FO＝12，∴F(12，0)，
将点D(6，3)，F(12，0)代入，可得－14（6－ℎ）2＋k＝3－14（12－ℎ）2＋k＝0，解得ℎ＝8k＝4.
∴抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－8)2＋4.
当小车距离x轴的垂直距离是2.5时，
则2.5＝14(x－4)2＋2，解得x＝4±2，或2.5＝－14(x－8)2＋4，解得x1＝8＋6，x2＝8－6(不合题意，舍去)，
∴小车到出发点A的水平距离为4＋2或4－2或8＋6；
(3)由抛物线y＝－14(x－8)2＋4，可得E(8，4)，∴EK＝4，K(8，0)，
设M(d，0)(8＜d＜12)，
∴点P(d，－14(d－8)2＋4)，则SP＝d－8，PM＝－14(d－8)2＋4，
∴所有支架的长度和L＝d－8＋[－14(d－8)2＋4]＋4，化简得L＝－14(d－10)2＋9，
∵8＜d＜12，－14＜0，
∴当d＝10时，L有最大值，最大值为9.此时点M的坐标为(10，0).
年份
题号
题型
分值
函数类型
实际背景
解题关键点
2021
23
解
答
题
9
一次函数
机场监控屏中飞机的飞行图象
(1)爬坡速度为正比例函数k的值；
(2)着陆点即为BC段与x轴的交点坐标；
(3)在直线x=2上方部分的时长（交点问题）
2023
26
11
反比例函数+二次函数
轮滑场地截面示意图
(1)由题干信息得h=at2
(2)直线y=13与滑行轨迹（抛物线）的交点，交点与滑道（反比例函数）间的距离（横坐标相等）
(3)与x轴距离转化为二次函数函数值，水平距离转化为一次函数对应的函数值