2024成都中考数学二轮复习专题 代数最值专项训练（含答案）

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题 代数最值专项训练（含答案），共47页。试卷主要包含了数转形，反比例函数中的最值问题，二次函数中的最值问题等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课中讲解
一. 函数最值
内容讲解
题型特征： （1）线段最值（2）代数式最值（3）面积最值
解题策略： （1）设元
（2）建方程表示出线段及面积的代数式（勾股，铅锤法等）
（3）通过配方，基本不等式性质求出最值
题型一 数转形
例1．问题情境：
在平面直角坐标系中，已知、，如果要求、两点之间的距离，可以构造如图1所示的直角三角形，则、两点之间的距离为 ．
探究1：求代数式的最小值．
探究2：求代数式的最小值．
探究3：代数式的最小值为 ．
过关检测
1．求代数式 的最小值
2. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）请问点满足什么条件时，的值最小，求出这个最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式的最小值．
3.背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，
，．请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
，
，
，
则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图2中作出点的位置并求出的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值
题型二 反比例函数中的最值问题
例1.如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
（3）当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
过关检测
1.如图，函数的图象与函数的图象交于、两点，已知，
（1）求的值及、的函数表达式；
（2）不等式的解集是 或 ；
（3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，求的面积的取值范围．
2．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当时不等式的解集；
（3）直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
3．已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的，，两点，与轴交于点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）为线段上一点，且轴于，求的面积最大值及对应的点坐标．
题型三 二次函数中的最值问题
例1.在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
例2. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点．
（1）求该抛物线的一般式；
（2）若点为该抛物线上第一象限内一动点，且点在对称轴的右侧，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
例3.将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点在边上，绕点旋转，腰和底边分别交的两腰，于，两点，若，，，则的最小值为 ．
过关检测
1. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，点在点的左侧．
（1）如图1，当时，直接写出，两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），在直线上是否存在唯一一点，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
2.如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，二次函数的图象经过，，三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，已知点在抛物线上，作射线，点为线段上一点，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴交于点，交抛物线于点，当的值最大时，求的长；
3. 如图，一次函数的图象与坐标轴交于、两点，点的坐标为，二次函数的图象经过、、三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，已知点在抛物线上，作射线，点为线段上一点，过点作轴于点，作于点，过作轴交抛物线于点，当与的积最大时，求点的坐标；
学习任务
1. 如图，，，且，，，是线段上的一个动点，连接，
（1）设，用二次根式表示线段，的长；
（2）设，求当点在线段上运动时，的最小值；
（3）利用（2）的结论，试求代数式的最小值．
2. 如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，已知，．
（1）直接写出不等式的解集；
（2）求直线的解析式；
（3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，求的面积的最大值．
3. 如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若是抛物线上且位于直线上方的一动点，求的面积的最大值及此时点的坐标；
4. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，顶点坐标为．
（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）如图1，点为抛物线上一点，点不与点重合，当时，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，作轴与点，得到矩形，求矩形的周长的最大值；
2024成都中考数学二轮复习专题 代数最值专项训练（解析版）
目标层级图
考点分析：在A18的第二三问考察，在B25的第二问进行考察
思路分析：数转形是求代数最值，通过转化到几何图形求解，反比例函数和二次函数最值通过列出二次函数代数式，通过配方法求得最值。
重难点：培养学生列二次函数且配方的思想求解
备注：题型三的例三使用均值不等式求最值，证明过程如教师版
课中讲解
一. 函数最值
内容讲解
题型特征： （1）线段最值（2）代数式最值（3）面积最值
解题策略： （1）设元
（2）建方程表示出线段及面积的代数式（勾股，铅锤法等）
（3）通过配方，基本不等式性质求出最值
题型一 数转形
例1．问题情境：
在平面直角坐标系中，已知、，如果要求、两点之间的距离，可以构造如图1所示的直角三角形，则、两点之间的距离为 13 ．
探究1：求代数式的最小值．
探究2：求代数式的最小值．
探究3：代数式的最小值为 ．
【解答】解：如图1，、两点之间的距离；
探究2：求代数式的最小值．
解：，
所以的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，
点关于轴的对称点为，则，
所以 的最小值为；
探究，
所以的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，
而点关于轴的对称点为，则．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/6/17 11:30:07；用户：cdxdfcs1v11；邮箱：cdxdfcs1v11@xyh.cm；学号：27972458
过关检测
1．求代数式 的最小值
答案：
2. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）请问点满足什么条件时，的值最小，求出这个最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，构图求出代数式的最小值．
解：（1）；
（2）当、、三点共线时，的值最小；
（3）如右图所示，作，过点作，过点作，使，，连接交于点，设，则的长即为代数式的最小值．
过点作交的延长线于点，得矩形，
则，，，
所以，
即的最小值为17．
3.背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，
，．请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
，
，
，
则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图2中作出点的位置并求出的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值
【解答】解：【小试牛刀】，
，
，
则它们满足的关系式为：
故答案为：，，，．
【知识运用】（1）如图2①，连接，作于点，
，，
，，
千米，
（千米），
两个村庄相距41千米．
故答案为：41．
（2）如图2②所示：
设千米，则千米，
在中，，
在中，，
，
，
解得，
即千米．
【知识迁移】：如图3，
代数式的最小值为：．
【点评】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．
题型二 反比例函数中的最值问题
例1.如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
（3）当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）结合函数图象找到直线在双曲线下方对应的的取值范围；
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）直线经过点，
，
，
反比例函数经过点，
，
反比例函数的解析式为；
（2）不等式的解集为；
（3）由题意，点，的坐标为，，，，
，
，
，
时，的面积最大，最大值为．
过关检测
1.如图，函数的图象与函数的图象交于、两点，已知，
（1）求的值及、的函数表达式；
（2）不等式的解集是 或 ；
（3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，求的面积的取值范围．
【分析】（1）由点的坐标可得反比例函数解析式，继而求得的值可得点的坐标，根据、坐标可得直线解析式；
（2）根据图象和、的坐标即可得出答案．
（3）设点，，由可得关于的函数解析式，结合的范围及二次函数的性质求得的最大、最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）将代入，得，
，
，
将代入，得，
分别将，代入，得
，
解得，
；
（2）由函数图象知当或时，双曲线在直线上方，
所以不等式的解集是或，
故答案为：或；
（3）设点，，
点在线段上，
且，
，
，
，
当时，，
当或2时，，
的面积的取值范围是．
2．如图，反比例函数与直线交于点，，点是反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线交直线于点，连接，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点在反比例函数图象上运动，且点在的上方，当面积最大时，求点坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）则面积，利用函数增减性即可求解．
【解答】解：（1）将点的坐标代入一次函数表达式得：，
故点，，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，
故反比例函数表达式为；
（2）设点，则点，
则面积，
，故面积有最大值，此时，
故点．
3．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当时不等式的解集；
（3）直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）结合函数图象找到直线在双曲线下方对应的的取值范围；
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）直线经过点，
，
，
反比例函数经过点，
，
反比例函数的解析式为．
（2）不等式的解集为．
（3）由题意，点，的坐标为，，，，
，
，
，
时，的面积最大，最大值为．
4．已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的，，两点，与轴交于点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）为线段上一点，且轴于，求的面积最大值及对应的点坐标．
【分析】（1）根据根据，可得反比例函数解析式，根据，，两点可得一次函数解析式；
（2）根据图象性质可以解得；
（3）设，可用表示，根据二次函数的最值可解的面积最大值及对应的点坐标．
【解答】解：（1）点，在反比例函数图象上
反比例函数的表达式为：
一次函数与反比例函数的图象交于，
解得：
一次函数的表达式为；
（2）由图象得：当或时，．
（3）设
，
当时，面积最大值为，
即，
题型三 二次函数中的最值问题
例1.在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明，得出，则，求出直线的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为．
将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即．
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是．
例2. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点．
（1）求该抛物线的一般式；
（2）若点为该抛物线上第一象限内一动点，且点在对称轴的右侧，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
【分析】（1）将，，三点的坐标直接代入解析式即可求出、，的值；
（2）过点作轴的平行线交于点，设点，求出直线的解析式为，可设，则，根据可得出的表达式，由二次函数的性质可求出答案．
【解答】解：（1）把，，，代入抛物线解析式得：
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）抛物线解析式为，
抛物线的顶点的坐标为，对称轴为，，
过点作轴的平行线交于点，设点，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
可设，
，
，
．
当时，取得最大值，．
此时．
，．
例3.将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点在边上，绕点旋转，腰和底边分别交的两腰，于，两点，若，，，则的最小值为 ．
（均值不等式，证明过程如上）
【分析】先求出，，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后求出，从而得到和相似，根据相似三角形对应边成比例可得，求出，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．
【解答】解：，，
，，
和是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，
，
由三角形的外角性质得，，
，
，
，
，
，
，
，即，
如图，
连接，过点作于，
，，
，，
，
在中，根据勾股定理得，
当点和点重合时，最大，即：最大
当时，最小，过点作于，即：最小，
在中，，
在中，，
，
，
时，有最小值为．
故答案为：．
过关检测
1. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，点在点的左侧．
（1）如图1，当时，直接写出，两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），在直线上是否存在唯一一点，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【分析】方法一：
（1）当时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点、的坐标；
（2）如答图2，作辅助线，求出面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点的坐标；
（3）“存在唯一一点，使得”的含义是，以为直径的圆与直线相切于点，由圆周角定理可知，此时且点为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得的值．需要另外注意一点是考虑直线是否与抛物线交于点，此时亦存在唯一一点，使得．
方法二：
（1）联立直线与抛物线方程求出点，坐标．
（2）利用面积公式求出点坐标．
（3）列出定点坐标，用参数表示，点坐标，利用两直线垂直的性质构建方程求出的值．
【解答】方法一：
解：（1）当时，抛物线解析式为，直线解析式为．
联立两个解析式，得：，
解得：或，
当时，；当时，，
，．
（2）设．
如答图2所示，过点作轴，交直线于点，则．
．
当时，．
面积最大值为，此时点坐标为，．
2.如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，二次函数的图象经过，，三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，已知点在抛物线上，作射线，点为线段上一点，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴交于点，交抛物线于点，当的值最大时，求的长；
（3）在（2）的条件下，连接，若点为抛物线上一点，且满足，求点的坐标．
【分析】（1）二次函数经过，，可以假设二次函数的解析式为，把代入得到即可解决问题．
（2）如图1中，设，，且，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）在中，当时，，当时，，
，，
二次函数经过，，
可以假设二次函数的解析式为，
把代入得到，
二次函数的解析式为．
（2）如图1中，设，，且，
轴于，
，
在抛物线上，
，
，
直线的解析式为，
轴交于，
，，则，
由直线都是解析式，轴交于，可得，
于，
，
，
，，
当时，的值最大，此时，，
．
3. 如图，一次函数的图象与坐标轴交于、两点，点的坐标为，二次函数的图象经过、、三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，已知点在抛物线上，作射线，点为线段上一点，过点作轴于点，作于点，过作轴交抛物线于点，当与的积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接，若点为抛物线上一点，且满足，求点的坐标．
【分析】（1）一次函数的图象与坐标轴交于、两点，则点、的坐标分别为：、，即可求解；
（2）即直线的倾斜角为，则，，，即可求解；
（3）分在下方、在上方两种情况，利用解直角三角形的方法，分别求解即可．
【解答】解：（1）一次函数的图象与坐标轴交于、两点，则点、的坐标分别为：、，
则抛物线的表达式为：，
即，解得：，
则抛物线的表达式为：①；
（2）点，点，则所在的函数表达式为：；
即直线的倾斜角为，则，，
设点，则点，
，
当时，与的积最大，则点；
三. 授课内容3
内容讲解
过关检测
1.
学习任务
1. 如图，，，且，，，是线段上的一个动点，连接，
（1）设，用二次根式表示线段，的长；
（2）设，求当点在线段上运动时，的最小值；
（3）利用（2）的结论，试求代数式的最小值．
【解答】解：（1）在直角中，，，，
；
在直角中，，，，
；
（2）如右图．作点关于的对称点，连接，交于，则，，即为的最小值．
过作的平行线，交的延长线于．
在中，，，，
由勾股定理，得，
故的最小值为13；
（3）如右图．构造图形，，，，，，，
，，
由对称性可知，的最小值为．
故代数式的最小值为25．
2. 如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，已知，．
（1）直接写出不等式的解集；
（2）求直线的解析式；
（3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，求的面积的最大值．
【分析】（1）直接利用函数图象得出结论；
（2）先求出反比例函数解析式，进而求出点坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（3）先设出点坐标，进而表示出的面积，即可得出结论．
【解答】解：（1），．
根据函数图象得，不等式的解集为或；
（2）点在双曲线上，
，
双曲线的解析式为，
在双曲线上，
，
，
直线过、两点，
，
，
直线的解析式为：；
（3）设点，且，
则
当时，有最大值，最大值为．
3. 如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若是抛物线上且位于直线上方的一动点，求的面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在线段上是否存在一点，使的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1），则点，抛物线的表达式为：，即可求解；
（2）的面积，即可求解；
（3）故当、、三点共线时，最小，即可求解．
【解答】解：（1），则点，
抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）过点作轴的平行线交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：
的面积，
当时，的面积的最大，最大值为：，此时点，；
4. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，顶点坐标为．
（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）如图1，点为抛物线上一点，点不与点重合，当时，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，作轴与点，得到矩形，求矩形的周长的最大值；
（3）如图2，点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为已知抛物线与轴两交点，故用交点法即能求抛物线解析式，再用配方法求顶点．
（2）用表示、的长，用周长公式即能求出矩形周长与的函数关系并求最大值．由于不确定点在的左侧还是右侧，故长度的表示需要分类讨论，每种情况下求得的最大值要考虑是否在对应的自变量取值范围内．
（3）三个点均有可能为直角顶点，需要分三种情况讨论．其中以点或点为直角顶点时，则直线或与直线垂直，易求直线与轴夹角为，解析式的值为1，所以直线或与轴夹角也为，解析式对应的，进而求得直线或解析式，再求时的值即求出；以为直角顶点时，为斜边，取中点和设点坐标，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，列得方程，求解得的坐标．
【解答】解：（1）抛物线轴交于，两点
抛物线表达式为：，顶点坐标．
（2）点为抛物线上一点，且
对称轴为直线，轴
①当时，在左边，
当时，最大值
②当时，在右边，
当时，最大值
综上所述，矩形周长的最大值是
家长签字：____________