2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--角度问题专项训练（含答案）

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--角度问题专项训练（含答案），共144页。试卷主要包含了如图1，已知直线与抛物线交于点等内容，欢迎下载使用。

目标层级图
课中讲解
一．角度定值（等值）问题
例1．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是抛物线上对称轴左侧一点，连接，若，求点的坐标；
（3）是直线上一点，是抛物线上一点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
例2．如图，抛物线交轴于，两点在的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为，过点作的垂线交抛物线于点．
（1）若点的坐标为，点的坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，求点到直线的距离；
（3）连接，若点的坐标为，，轴，则在轴上方的抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
例3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的负半轴上，顶点在轴的负半轴上，边交轴的正半轴于点，抛物线经过点，且与直线只有一个公共点，点是抛物线与轴正半轴的交点．已知，，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若是抛物线上的一点，使得锐角，求点的横坐标的取值范围；
（3）将沿所在直线进行翻折，使点落在点处，过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴向下平移，使抛物线与线段总有两个公共点，则抛物线向下最多可平移多少个单位长度？
例4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．
①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；
②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标．
例5．如图1，已知直线与抛物线交于点．
（1）求的值；
（2）点为抛物线第一象限内的动点，过点作直线，交轴于点（点、不重合），交直线于点，再过点作直线的垂线，交轴于点．试探究：线段与线段的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点为抛物线上对称轴右侧的点，点在线段上（与点、不重合），点是轴正半轴上的动点，且满足．继续探究：在什么范围时，符合条件的点的个数分别是1个、2个？
过关检测
1．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，二次函数的图象经过，，三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，已知点在抛物线上，作射线，点为线段上一点，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴交于点，交抛物线于点，当的值最大时，求的长；
（3）在（2）的条件下，连接，若点为抛物线上一点，且满足，求点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，抛物线，动直线与抛物线交于点，与抛物线交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，求的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线与轴交于点，点在轴右侧的抛物线上，连接交轴于点，连接，在平面内有一点，连接和，当且时，请直接写出点的坐标．
3．如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴分别交于点，其中点，点，且
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是线段一动点，过作交于，当面积最大时，求点的坐标．
（3）点是位于线段上方的抛物线上一点，当恰好等于中的某个角时，求点的坐标．
二．角度关系问题
例1． 如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与相交于点，与轴相交于点．
（1）求线段的长；
（2）设过的直线与抛物线相交于点，，，，试判断当的值最小时，直线与轴的位置关系，并说明理由；
（3）设为轴上的一点，，当时，求点的坐标．
例2．如图1所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点．
①如图2所示，直线交线段于点，求的最小值；
②如图3所示，连接过点作于，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
例3．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，线段的两个端点，分别在轴和轴的正半轴上，点为线段的中点，现将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点．
（1）如图1，若该抛物线经过原点，且．
①求点的坐标及该抛物线的解析式；
②连结，问：在抛物线上是否存在点，使得与互余？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线经过点，点在抛物线上，且满足与互余．若符合条件的点的个数是4个，请直接写出的取值范围．
例4．如图，在平面直角坐标中，点为坐标原点，直线与轴交于点，过点的抛物线与直线交于另一点，且点的横坐标为1．
（1）求，的值；
（2）点是线段上一动点（点不与点、重合），过点作交第一象限内的抛物线于点，过点作轴于点，交于点，过点作于点，设的长为，的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，连接，点在线段上，过点作交于点，连接、，当时，求点的坐标．
过关检测
1．如图，经过点的抛物线与轴相交于，两点，为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点在内，求的取值范围；
（3）设点在轴上，，求的长．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线上方抛物线上一动点；
①的面积记为，的横坐标记为，求出与的函数关系式，并写出取最大值时点的坐标．
②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点的坐标为，直线恰好经过，两点
（1）写出点的坐标；
（2）求出抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和点的坐标；
（3）点在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为且，求点的坐标．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，且．
（1）求的值；
（2）点是对称轴右侧抛物线上的点，连接，轴于点，点是线段上的点，过点作于点，交直线于点，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，连接、、，当，时，作交对称轴左侧的抛物线于点，求点的坐标．
三．特殊角问题
题型一：考虑将角度与圆联系起来，通过定弦定角构造辅助圆来解决问题
例1.如图，抛物线过点，且与直线交于、两点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；
（3）设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
过关检测
1.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点，与轴交于点，抛物线的顶点的坐标是．
（1）分别求该直线和抛物线的函数表达式；
（2）是抛物线上位于对称轴左侧的点，若的面积为，求点的坐标；
（3）在轴上是否存在一点，使？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
例2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与轴交于点
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若为轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ；
（3）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有 个；
②连接，，若不小于，求的取值范围．
过关检测
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，与轴交于点，其对称轴与轴交于点
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）为抛物线对称轴上的一个动点，
①若平面内存在点，使得、、、为顶点的四边形为矩形，直接写出点的坐标；
②连接、，若不小于，求的取值范围．
例3．如图，在平面直角坐标系中，以直线对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标；
（3）若在轴上有且仅有一点，使，求的值．
过关检测
1.在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，点在点的左侧．
（1）如图1，当时，直接写出，两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），在直线上是否存在唯一一点，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
题型二 利用角度的相似或三角函数解决特殊角问题
例1.如图，直线与抛物线交于、两点，其中点在轴上，点的坐标为，点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．
（1）求一次函数和抛物线的解析式；
（2）若点的横坐标为，当为何值时，四边形是平行四边形？请说明理由；
（3）在上方是否存在点，使？若存在，求出相应的点的坐标；若不存在，试说明理由．
过关检测
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴交于点，，．动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点出发，沿线段以某一速度向点移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过秒的移动，线段被垂直平分，求此时的值；
（3）在第一象限的抛物线上取一点，使得，再在抛物线上找点（不与点、、重合），使得，求点的坐标．
2．如图，抛物线与直线交于点、两点，其中点在轴上，点的坐标为，点从点出发，沿射线运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三 将特殊角与一次函数的K值结合，求出解析式解决问题
例1 如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．
求点的坐标；
（Ⅱ）求二次函数的解析式；
（Ⅲ）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
过关检测
1. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴直线上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）如图2，点为直线上方抛物线上一点，若，请求出点坐标．
学习任务
1. 抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点．
（1）求点及点的坐标．
（2）连结，，抛物线的对称轴与轴交于点．
①若线段上一点，使，求点的坐标．
②若抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标．
2. 已知抛物线经过，，三点，其对称轴交轴于点，一次函数的图象经过点，与抛物线交于另一点（点在点的左边），与抛物线的对称轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当时，求一次函数的解析式；
（3）如图2，设，，当时，直接写出的取值范围．
3. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线及二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为．点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；
（3）连接，求与两角和的度数．
4. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接，，设的面积为，求的最大值；
（3）如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
5. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式及点的坐标；
（2）点为坐标平面内一点，若，求点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
6. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其中对称轴与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点在抛物线的对称轴上，若为等腰三角形，则符合题意的点有 5 个；
（3）点是直线上的一个动点，若不小于，求点的纵坐标的取值范围．
7. 如图，在平面直角坐标系中，经过的抛物线顶点为，与轴正半轴交于，两点．
（1）如图1，连接，将线段绕点逆时针旋转使得落在轴的正半轴上，求线段过的面积；
（2）如图2，延长线段至，使得，若且，求抛物线的解析式；
（3）如图3，已知以直线为对称轴的抛物线交轴于，交直线于，两点，若在轴上有且仅有一点，使，求的值．
8. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．

2024成都中考数学二轮复习专题
二次函数--角度问题专项训练（解析版）
目标层级图
本节内容为二次函数角度问题专题，通常出现在压轴题B28第二问或第三问，难度较大，综合性较强。除了解析的答案，角度问题可以用高中的和角公式及夹角公式处理，公式说明如下，老师酌情补充：
1.和角公式
2.夹角公式
通过夹角公式或和角公式可以得到一次函数的K值，从而求交点。
我们把角度问题分为定值等值问题、角度关系问题和特殊角问题。
角度定值是指题目中给出某个角具体的三角函数值或者某个角的三角函数值是确定的可以求出来的。角度等值问题是指题目告诉我们某两个角相等的题型。其中还包括某个角大于或小于另一个角时的情况。讲义中例1是定值问题；例2是等值问题，也可以算作定值问题；例3为等值问题的变形，属于角度比较大小的题型。例4属于角度等值问题，和前面不同的是这两个角都是动角，难度偏大一些。例5是角度等值问题问题与存在性问题的综合偏难。
角度关系问题中，例1为角度和问题，例2为角度倍值问题（二倍角问题），例3为角度互余问题，例4为角度差角问题，难度较大。
特殊角度题型一是利用定弦定角构造辅助圆处理问题，例1，例2，例3分别是45，60，90°的特殊角度。题型二和题型三通过相似或者三角函数来处理特殊角问题。
课中讲解
一. 角度定值（等值）问题
例1．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是抛物线上对称轴左侧一点，连接，若，求点的坐标；
（3）是直线上一点，是抛物线上一点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点，代入，
则有，
，
抛物线的解析式为；
（2）由题可求，，
设直线的解析式为，
将，代入可得
，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入可得
，
，
，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
，
①如图1：过点作轴交抛物线于点，交轴于点，
当时，，
解得或（舍，
，；
②在①中，点坐标为，作点关于的对称点，连接，，
则，，
过点作轴于点，过点作于点，
，
，
，
△，
，
设，则，，，
，
，
，
，，
，，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或（舍，
，；
综上所述：点的坐标为，或，；
（3）是直线上一点，是抛物线上一点，
设，，
，，
①当时，的中点为，，的中点为，，
，，
，
或；
②当时，的中点为，的中点为，，
，，
，
，或，；
综上所述：满足条件的点坐标为或或，或，．
例2．如图，抛物线交轴于，两点在的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为，过点作的垂线交抛物线于点．
（1）若点的坐标为，点的坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，求点到直线的距离；
（3）连接，若点的坐标为，，轴，则在轴上方的抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为
把代入，得，，
抛物线的解析式为，即；
（2）令，解得，，
，，
，，，
令，得，
，
，．
作于，
，
，
．
，
，
，
，
即点到直线的距离为；
（3）作轴于．
设，，，，
由抛物线的对称性可知，
轴，
，
，
．
，，
，
令，则，
，
．
由，，可设抛物线的解析式为，
令，得，
，
解得（舍去）或，
抛物线的解析式为，即，
易得，，，
，，，
设经过，，三点的圆的圆心为，连接，，，
作于，
则，，，
轴，
，
，
，
，，，．
设，其中，
则，
，
，，
，解得（舍去）或．
令，
解得，
，，，．
例3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的负半轴上，顶点在轴的负半轴上，边交轴的正半轴于点，抛物线经过点，且与直线只有一个公共点，点是抛物线与轴正半轴的交点．已知，，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若是抛物线上的一点，使得锐角，求点的横坐标的取值范围；
（3）将沿所在直线进行翻折，使点落在点处，过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴向下平移，使抛物线与线段总有两个公共点，则抛物线向下最多可平移多少个单位长度？
【解答】解：（1）在中，令，得，
点的坐标为，
设直线的表达式为，
则，
解得，
直线的表达式为，
令，得，
抛物线与直线只有一个公共点，
△，
，
抛物线过点，
，把代入，得，
所求抛物线的表达式为；
（2）抛物线与直线只有一个公共点，
轴左侧的抛物线上所有的点都满足，
此时，
当点在轴右侧的抛物线上时，在上取点，使，连结并延长交抛物线于点，则，，
易得直线的表达式为，
由，
解得（舍去）或，
显然，当时，，
综上所述，满足条件的点的横坐标的取值范围为或；
（3）根据题意，翻折后得到的四边形是正方形（如图，
易得直线的表达式为，
设抛物线沿其对称轴向下平移个单位，
则平移后抛物线的表达式为，
设直线交轴于点，
，，
易得，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
点的横坐标为4，把代入直线的表达式，得，
点的坐标为，
对于抛物线，
当时，；当时，，
要使抛物线与线段总两个有公共点，必须且．
即且，
．
抛物线向下最多可平移个单位长度．
例4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．
①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；
②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）将、、代入得，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）①将代入中，
得，解得或1（舍去），
，
、，
，，，
，
，
，
，
（Ⅰ）当时，
，
与点重合，
，
（Ⅱ）当时，
，
，
，
故：的长为或2；
②点的坐标为，或，，
（Ⅰ）过点作于点，过点作于点，
，
又，
，
，
，，
，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
又，
点的纵坐标为3，代入中，得：或0（舍去），
，
，，，
，
设，则，，
，
解得，，
点的橫坐标为，代入，得：，
点的坐标为，．
（Ⅱ）过点作，过点作于点，过点作于点，
，
，
由（Ⅰ）知：，则，
，
又，
，
，
，
，
由（Ⅰ）知：，
则，
设，则，
，，
，
，
，，又，
，代入中，得，或0（舍去），
，
点的橫坐标为，代入，得，．
点的坐标为．
综合以上可得点的坐标为，或．
例5．如图1，已知直线与抛物线交于点．
（1）求的值；
（2）点为抛物线第一象限内的动点，过点作直线，交轴于点（点、不重合），交直线于点，再过点作直线的垂线，交轴于点．试探究：线段与线段的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点为抛物线上对称轴右侧的点，点在线段上（与点、不重合），点是轴正半轴上的动点，且满足．继续探究：在什么范围时，符合条件的点的个数分别是1个、2个？
【解答】解：（1）把点代入 得；，即．（3分）；
（2）线段与线段的长度之比是一个定值，（4分）；
理由如下：
如图1，过点作轴于点，轴于点．
①当与重合时，显然与重合，
此时．（6分）；
②当与不重合时，
，不妨设点，分别在、轴的正半轴上，
．
又，
．
．
当点、在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．（8分）；
线段与线段的长度之比是一个定值．
（3）如图2，延长交轴于点，过点作于点，过点作轴于点．
，．
．
，，
．
．
．
点，．（9分）；
设点，过点作于点，则．
，即．
解得，（舍去）．点．（10分）；
，．．
在与中，，
．
．
，．
设，则 ，
由得，即．
．
顶点为
．如图3，当时，，此时点有1个；
当时，任取一个的值都对应着两个值，此时点有2个．（14分）；
当时，点只有1个，当时，点有2个．
过关检测
1．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，二次函数的图象经过，，三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，已知点在抛物线上，作射线，点为线段上一点，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴交于点，交抛物线于点，当的值最大时，求的长；
（3）在（2）的条件下，连接，若点为抛物线上一点，且满足，求点的坐标．
【解答】解：（1）在中，当时，，当时，，
，，
二次函数经过，，
可以假设二次函数的解析式为，
把代入得到，
二次函数的解析式为．
（2）如图1中，设，，且，
轴于，
，
在抛物线上，
，
，
直线的解析式为，
轴交于，
，，则，
由直线都是解析式，轴交于，可得，
于，
，
，
，，
当时，的值最大，此时，，
．
（3）如图2中，过点作于．
，
，
，
又，，可得，，，
设，则，解得或，
或，，
，
直线的解析式为或，
联立得或，
分别解方程组可得或或或，舍弃第二，第四组解，
满足条件的点的坐标为或，．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，抛物线，动直线与抛物线交于点，与抛物线交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，求的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线与轴交于点，点在轴右侧的抛物线上，连接交轴于点，连接，在平面内有一点，连接和，当且时，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线经过点和点
解得：
抛物线：解析式为
（2）动直线与抛物线交于点，与抛物线交于点
点的纵坐标为，点的纵坐标为
①当，时，由已知，
（舍去），
②当，时，由已知，
，
，（舍去）
故的值为1或0
（3）由（2）可知时位于轴右侧，根据题意画出示意图如图：
易得，、、三点共线
，，，
点、关于直线对称
设半径为1的与轴下方交点为，则其坐标为
与点关于直线对称
是满足条件．
则延长线与交点，、关于的对称点、也满足．
由图形易得
设点坐标为，由对称性可知，
由半径为1
解得，．
同理，设点坐标为，由对称性可知，
解得，．
满足条件的点坐标为：、、，、，
3．如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴分别交于点，其中点，点，且
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是线段一动点，过作交于，当面积最大时，求点的坐标．
（3）点是位于线段上方的抛物线上一点，当恰好等于中的某个角时，求点的坐标．
【解答】解：（1），，，，
，
由射影定理可得：，
，
点，
设抛物线的解析式为：，将点代入上式得：
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴的平行线交于点，设，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
，
直线的解析式为，
，
同样的方法可求得直线的解析式为，
可设直线的解析式为，把代入得，
联立，解得，．
．
．
故当时，最大，此时，．
（3）由题意知，，
当时，，如图2，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
；
当时，如图3，过作于，过作轴的平行线，交轴于，交过平行于轴的直线于，
，，
，
同理可证：，
，
．
设，则，
，，
，代入抛物线解析式可解得，
，（舍去）．
．
综合以上可得点的坐标为或．
二、角度关系问题
例1． 如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与相交于点，与轴相交于点．
（1）求线段的长；
（2）设过的直线与抛物线相交于点，，，，试判断当的值最小时，直线与轴的位置关系，并说明理由；
（3）设为轴上的一点，，当时，求点的坐标．
【解答】解：由抛物线可知，，
令，则，解得：，，
，；
顶点，，即；
设直线的解析式为，代入，得；
，解得，
解析式为；，
当时，，
，
，
．
（2）设直线的解析式为，
，
，
，
直线的解析式，
点、的坐标是的解，
整理得：，
，；
，
当时，最小值，
时，，
直线轴．
（3）如图2，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
同理，当点在原点左侧，．
，．
例2．如图1所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点．
①如图2所示，直线交线段于点，求的最小值；
②如图3所示，连接过点作于，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在直线，令，则，令，则，
、，
将、代入有，
解得：；
故抛物线的表达式为：；
（2）①如图1，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点．
则，
，
设点，
轴交直线于点，直线，故点，
则，
可求得，作轴交直线于点，
，，
，
当时，的最小值为；
②存在．理由如下：
；；．
，，，
，，
，
又，
．
有，又于，
，．
因此在只能是或．
在图2中，取中点，连接，可得，
，，
过作轴于，过作交其延长线于．
，，
，
又，
，，
又，，．
当时，则，当时，则，
设点，点，，
则点，点，
，，
，
当时，，
又，
，解得：或（舍去，
故点的坐标为，，
如图2，当时，，
又，
，
解得：或4（舍去，
故点；
综合得存在满足条件的点的坐标为，或．
例3．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，线段的两个端点，分别在轴和轴的正半轴上，点为线段的中点，现将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点．
（1）如图1，若该抛物线经过原点，且．
①求点的坐标及该抛物线的解析式；
②连结，问：在抛物线上是否存在点，使得与互余？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线经过点，点在抛物线上，且满足与互余．若符合条件的点的个数是4个，请直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）①过点作轴于点，如图1，
，，
，
又，，
在和中，
，
，，
的坐标是，
根据题意，得，，且，
，
该抛物线的解析式为；
②点，，点为线段的中点，
，，
、两点的纵坐标都为1，
轴，
，
与互余，
要使得与互余，则必须，
设的坐标为，
（Ⅰ）当在轴的上方时，过作轴于点，如图2，
则，即，
，解得（舍去），，
，
点的坐标为，；
（Ⅱ）当在轴的下方时，过作轴于点，如图3
则，即，
，解得（舍去），，
，
点的坐标为，；
综上，在抛物线上是否存在点，或，，使得与互余．
（2）如图3，，，
抛物线过点、，代入可得，解得，所以．
分两种情况：
①当抛物线开口向下时，若满足与互余且符合条件的点的个数是4个，则点在轴的上、下方各有两个．
当点在轴的下方时，直线与抛物线有两个交点，满足条件的有2个；
当点在轴的上方时，要使直线与抛物线有两个交点，抛物线与轴的交点必须在轴的正半轴上，与轴的交点在轴的负半轴，所以，解得；
②当抛物线开口向上时，点在轴的上、下方各有两个，
当点在轴的上方时，直线与抛物线有两个交点，符合条件的点有两个；
当点在轴的下方时，要使直线与抛物线有两个交点，符合条件的点才两个．
根据（2）可知，要使得与互余，则必须，
，此时直线的斜率为，则直线的解析式为，要使直线与抛物线有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根，所以△，即，解得，（舍去），
综上所示，的取值范围为或．
例4．如图，在平面直角坐标中，点为坐标原点，直线与轴交于点，过点的抛物线与直线交于另一点，且点的横坐标为1．
（1）求，的值；
（2）点是线段上一动点（点不与点、重合），过点作交第一象限内的抛物线于点，过点作轴于点，交于点，过点作于点，设的长为，的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，连接，点在线段上，过点作交于点，连接、，当时，求点的坐标．
【解答】方法一：
解：（1）与轴交于点，
，
点的横坐标为1，且直线经过点，
，
抛物线经过，，
，
解得：，
，；
（2）如图，作轴于点，延长交轴于点，
，，
，，，
，
，
，，
轴，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）如备用图，由（2）知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知抛物线的解析式为：，
将代入得：
，
解得：（舍，，
，，，，，，，
，
，
作于点，
，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得：，
的横坐标为：，的纵坐标为：，
，．
方法二：
（1）略．
（2）延长交轴于点，作交于，
延长交于，，△，
，，，
，
，
，则，设，则，
，把代入，，
，，
，把代入，
，
，，，
，
，
．
（3）设，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，（舍，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设，
，
，
，（舍，
，．
过关检测
1．如图，经过点的抛物线与轴相交于，两点，为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点在内，求的取值范围；
（3）设点在轴上，，求的长．
【解答】解：（1）将、代入抛物线中，得：
，
解得：
故抛物线的解析式：．
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：，即：；
它的顶点坐标；
由（1）的抛物线解析式可得：；
设直线的解析式为，把，代入，
，，
．
同理直线；
当点在直线上时，，解得：；
当点在直线上时，，解得：；
当点在内时，；
又，
符合条件的的取值范围：．
（3）由、得：，且是等腰直角三角形；
如图，在上取，则；
，即；
如图，在、△中，
，，
△，得：；
易得：，；
；
而，
，．
综上，的长为10或2．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线上方抛物线上一动点；
①的面积记为，的横坐标记为，求出与的函数关系式，并写出取最大值时点的坐标．
②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
时，，时，，
，，
抛物线经过．两点，
，
，
抛物线的函数表达式为；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，
设，则，
，
，
，
时，有最大值，此时．
（3），，，
，，，
，
是以为直角的直角三角形，
取的中点，
，，
，
，
，
过点作轴的平行线交轴于，交的延长线于，
情况一：如图2，，
，
，
即，
令，
，
，
（舍去），，
点的橫坐标为，
情况二：，
，
设，
，，
，
，
，，
，，
，
，
（舍去），，
综上所述：点的横坐标为或．
3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点的坐标为，直线恰好经过，两点
（1）写出点的坐标；
（2）求出抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和点的坐标；
（3）点在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为且，求点的坐标．
【解答】解：（1）与轴交于点，故．
（2）抛物线过点，，
，
解得，
抛物线的解析式为，
对称轴为，
点．
（3）由，
可得，，
，，，，
可得是等腰直角三角形，
，．
如图，设抛物线对称轴与轴交于点，
．
过点作于点．
度．
可得，．
在与中，，，
．
，
解得．
或者直接证明得出，
再得．
点在抛物线的对称轴上，
点的坐标为或．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，且．
（1）求的值；
（2）点是对称轴右侧抛物线上的点，连接，轴于点，点是线段上的点，过点作于点，交直线于点，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，连接、、，当，时，作交对称轴左侧的抛物线于点，求点的坐标．
【解答】解：（1）令，
，
，得或，
点，，
，
，
，
，
，
，得；
（2）如图1，过点作的垂线，交的延长线于点，
，
，
，
，
又轴，轴，
，
，
，
，
，
设点，
则，，
，
解得，；
（3）如图2，作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，，
，得，
，
点的纵坐标是：，
点，
，在中，，
，
解得，（舍去）或，
设点的坐标为，作轴于点，作于点，
则，，
，则，，
，，轴，
，
，
即，
解得，或（舍去），
点．
三. 特殊角问题
题型一：考虑将角度与圆联系起来，通过定弦定角构造辅助圆来解决问题
例1.如图，抛物线过点，且与直线交于、两点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；
（3）设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点的坐标为代入，
，
的坐标为，
将，代入，
解得，，
抛物线的解析式；
（2）设，则，
，
当时，有最大值为2，
此时，
作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点．
，此时最小，
，
，
，
即的最小值为；
（3）作对称轴于点，连接、、、、，
抛物线的解析式，
，
，
，
，
，
，
可知外接圆的圆心为，
设，
则，
或
符合题意的点的坐标：、，．
过关检测
1.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点，与轴交于点，抛物线的顶点的坐标是．
（1）分别求该直线和抛物线的函数表达式；
（2）是抛物线上位于对称轴左侧的点，若的面积为，求点的坐标；
（3）在轴上是否存在一点，使？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意把点代入，
得：，
一次函数的解析式为：；
抛物线的顶点的坐标是且过点，
，
解得：，
此抛物线解析式为：；
（2）如图，设点的横坐标为，
抛物线对称轴为：直线，
过点作轴的垂线交直线于点，
则，，
，
，
解得：或，
，
，，
，，，；
（3）在轴上存在一点，使，理由如下：
分别过点、作轴、轴的平行线，两线交于点，则，
、的坐标分别为，，
点的坐标为，
，
作以为圆心，5个单位长度为半径的圆，交轴于点，
连接、，此时，
，
设点的坐标为，过点作轴于点，
则，
在中，，
即，
解得：，，
，．
例2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与轴交于点
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若为轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ；
（3）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有 个；
②连接，，若不小于，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题意解得，
抛物线解析式为，
，
顶点坐标，．
（2）如图1中，连接，作于，交于，
此时最小．
理由：，，
，
，
，
，
此时最短（垂线段最短）．
在中，，，，
，
，
的最小值为．
故答案为．
（3）①以为圆心为半径画弧与对称轴有两个交点，
以为圆心为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点有5个，即满足条件的点也有5个，
故答案为5．
②如图，中，，
，
作的中垂线与轴交于点，连接，则，
以为圆心，为半径作圆，与抛物线对称轴交于点、．
则，从而线段上的点满足题意，
，
，
，，，
，
解得或，
故，，，，
的取值范围
过关检测
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，与轴交于点，其对称轴与轴交于点
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）为抛物线对称轴上的一个动点，
①若平面内存在点，使得、、、为顶点的四边形为矩形，直接写出点的坐标；
②连接、，若不小于，求的取值范围．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点、，
，得，
，
二次函数的表达式是，顶点坐标是，；
（2）①点的坐标为，，，或，，
理由：当时，如右图1所示，
点，点，
，，
，
，
，
，
解得，，
的坐标为，；
当时，
同理可得，，解得，，
的坐标为，；
当点到线段的中点的距离等于线段的一半时，
点，点，
线段中点的坐标为，线段的长度是2，
设点的坐标为，，
则，解得，，
即点的坐标为，；
由上可得，点的坐标为，，，或，；
②如图2所示，作的垂直平分线，于轴交于点，
由题意知，，，，
以为圆心，长为半径作圆交对称轴于点和点，
则，
，，
，，，
过点作于点，
，
，
又，，
，，，，
．
例3．如图，在平面直角坐标系中，以直线对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标；
（3）若在轴上有且仅有一点，使，求的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
解得，，；
二次函数的解析式为：，
（2）作轴，轴，垂足分别为，，设对称轴交轴于．
则，
，
，，；
，
解得，
，，
同理可求，，
，
①在下方），，
，
解得，，，
，
，
．
②在上方时，直线与关于对称，
，
，
解得，，
，
，
，，
综上所述点的坐标为，，．
（3）由题意可知：，
，
，
，
解得，，
，
如图，设中点为，
点有且只有一个，
以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点，
轴，
为的中点，
，，
，
，
，
，
，
．
过关检测
1.在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，点在点的左侧．
（1）如图1，当时，直接写出，两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），在直线上是否存在唯一一点，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【解答】方法一：
解：（1）当时，抛物线解析式为，直线解析式为．
联立两个解析式，得：，
解得：或，
当时，；当时，，
，．
（2）设．
如答图2所示，过点作轴，交直线于点，则．
．
当时，．
面积最大值为，此时点坐标为，．
（3）设直线与轴、轴分别交于点、，
则，，，，．
在中，由勾股定理得：．
令，即，解得：或．
，．
Ⅰ、假设存在唯一一点，使得，如答图3所示，
则以为直径的圆与直线相切于点，根据圆周角定理，此时．
设点为中点，连接，则，．
．
，，
，
，即：，
解得：，
，
．
存在唯一一点，使得，此时．
Ⅱ、若直线过点时，此时直线与圆的交点只有另一点点，故亦存在唯一一点，使得，
将代入中，
可得，（舍去），
故存在唯一一点，使得，此时．
综上所述，或1时，存在唯一一点，使得．
方法二：
（1）略．
（2）过点作轴垂线，叫直线于，
设，则
，
，
，
当时，有最大值，
．
（3），
，
当时，，，
，，
当点和点重合时，将代入中，
可得，（舍去），
故存在唯一一点，使得，此时．
当点和点不重合时，
点在上，设，，
，
，
，
有唯一解，
△，
，故舍去），
．
综上所述，或1时，存在唯一一点，使得．
题型二 利用角度的相似或三角函数解决特殊角问题
例1.如图，直线与抛物线交于、两点，其中点在轴上，点的坐标为，点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．
（1）求一次函数和抛物线的解析式；
（2）若点的横坐标为，当为何值时，四边形是平行四边形？请说明理由；
（3）在上方是否存在点，使？若存在，求出相应的点的坐标；若不存在，试说明理由．
【解答】解：（1）直线经过点，
，解得：，
直线的解析式：
在直线解析式中，令，得，
．
点、在抛物线上，
，
，
解得，，
抛物线的解析式为；
（2），且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
设则
，
，
解得：或．
（3）存在．
理由：设点的横坐标为，则，．
如答图2所示，过点作于点，则，，
，
．
在中，由勾股定理得：．
过点作于点，则．
，
，
而，，，
在中，由勾股定理得：．
，
，整理得：，
解得（舍去）或，
，．
过关检测
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴交于点，，．动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点出发，沿线段以某一速度向点移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过秒的移动，线段被垂直平分，求此时的值；
（3）在第一象限的抛物线上取一点，使得，再在抛物线上找点（不与点、、重合），使得，求点的坐标．
【解答】解：（1）将、代入得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）如图，连接，
由和，，
可得，
，
，
，则，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，过点作于点，
，
只有时，点才符合题意，
，
，
解得：，，
，
，
，
，
，
设
解得，（舍去），
则，．
2．如图，抛物线与直线交于点、两点，其中点在轴上，点的坐标为，点从点出发，沿射线运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当时，，故，
把，代入解析式得，
解得，故；
（2）①在上面，如图1，点的坐标为，点的坐标为，
线段的长度为；
②在下面，如图2，点的坐标为，点的坐标为，
线段的长度为；
（3）存在．
理由：①如图4所示，过点作于点，则，，
，
．
在中，由勾股定理得：．过点作于点，则．
，
，
而
，，
在中，由勾股定理得：．
，
，整理得：，
解得（舍去）或，
，；
②如图5所示，过点作于点，则，，
，
．
在中，由勾股定理得：．过点作于点，则．
，
，
而，
，，
在中，由勾股定理得：．
，
，整理得：，
解得（舍去）或，
，．
故点坐标为，或，．
题型三 将特殊角与一次函数的K值结合，求出解析式解决问题
例1 如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．
求点的坐标；
（Ⅱ）求二次函数的解析式；
（Ⅲ）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）点，直线过点和点，
，得，
，
当时，，得，
点的坐标为；
（Ⅱ）抛物线过点，点，
，得，
抛物线的解析式为；
（Ⅲ）抛物线上存在点，使得，
点，点，
，
，
，
当时，设点的坐标为，，
则，
，
解得，或（舍去），
当时，，
即点的坐标为，；
当时，设点的坐标为，，
则，
，
解得，或（舍去），
当时，，
即点的坐标为，；
由上可得，点的坐标为，或，．
过关检测
1. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴直线上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）如图2，点为直线上方抛物线上一点，若，请求出点坐标．
【解答】解：（1）点的坐标为，函数的对称轴为，故点，
则抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：①；
（2）点关于函数对称轴的对称点为点，则交函数对称轴于点，则点为所求，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，故点；
（3）如图，设直线交轴于点，作于点，
，，
则设：，则，
则，解得，
，则点，
由点、的坐标可得，直线的表达式为：②，
联立①②并解得：（舍去）或，
故点，．
学习任务
1. 抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点．
（1）求点及点的坐标．
（2）连结，，抛物线的对称轴与轴交于点．
①若线段上一点，使，求点的坐标．
②若抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），
当时，，
解得或，
点的坐标为．
，
顶点的坐标为；
（2）①如右图．
抛物线与与轴交于点，
点坐标为．
对称轴为直线，
点的坐标为．
连接，过点作于，则点坐标为，
，
，
，，为直角三角形．
分别延长、，与轴相交于点，．
，
，
，
，
，
，
，即．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
由方程组，解得．
点的坐标为，；
②（Ⅰ）当点在对称轴右侧时．
若点在射线上，如备用图1，延长交轴于点，过点作轴于点．
，，
，
，
．
设，则．
，
，均为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，．
代入抛物线，解得，
，；
若点在射线上，如备用图2，交轴于点，过点作轴于点．
，，
，
，
．
设，则．
，
，均为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，．
代入抛物线，解得，
；
（Ⅱ）当点在对称轴左侧时．
，
，
而抛物线左侧任意一点，都有，
点不存在．
综上可知，点坐标为，或．
2. 已知抛物线经过，，三点，其对称轴交轴于点，一次函数的图象经过点，与抛物线交于另一点（点在点的左边），与抛物线的对称轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当时，求一次函数的解析式；
（3）如图2，设，，当时，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，
抛物线经过，，三点，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）如图1所示，
将点坐标代入直线，得
①．
当时，，即，
当时，，即．
由时，得②．
联立方程①②，得
，
解得或
故当时，一次函数的解析式为或．
（3）如图2所示，
①当点在轴上方时，如图2所示，
当时，，，
，
，，
，即，
联立方程
解得舍去），
随着点向下移动，的度数越来越大，的读数越来越小，当点和点重合时（如图3所示），和均等于0，此时联立方程，解得
因此当且时，；
②当点在轴下方时，如图4所示，
当时，，，
根据①可得此时舍去），
随着点向下移动，的度数越来越小，的读数越来越大，
因此当时，．
综上所述可得，当时，可得取值范围为或时．
3. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线及二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为．点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；
（3）连接，求与两角和的度数．
【解答】解：（1）设直线的解析式为，
点，点，
，
解得，
所以，直线的解析式为，
二次函数的图象经过点，点，
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2），
抛物线的顶点，对称轴为，
、关于对称轴对称，点，
点的坐标为，
，
，
连接，则，
，
，
又，，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
，
，
即，
解得，
点到轴的距离为，
点的坐标为或；
（3）连接，，，
，
，
根据勾股定理，，
又，
，
，
又，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
即与两角和是．
4. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接，，设的面积为，求的最大值；
（3）如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把代得，
．
把代得，
，．
设抛物线的解析式为，将代入得：，解得：，
．
抛物线的解析式，即．
（2）如图所示：过点作轴，交与点．
设，则，．
．
当时，有最大值，最大值为4．
（3）如图所示：过点作垂足为，交与点．
，，，
，，，
，
为直角三角形．
取的中点，连接，则，
．
．
当时，则．
设，则，．
，解得：（舍去）或．
点的横坐标为2．
当时，设，，．
，
，，
，
，．
．
，整理得：，解得：（舍去）或．
点的横坐标为．
综上所述，当点的横坐标为2或．
5. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式及点的坐标；
（2）点为坐标平面内一点，若，求点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将，的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的函数表达式，
当时，，即；
（2）由，得
点在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
设，
，得
，
解得
若，点的坐标为；
（3）①过点作交轴于点，交的延长线于点，
如图1，
，，
，
，
，
直线的解析式为：，
，，
直线的解析式为：
，
解得
过点作轴，连接交抛物线于点
，
，
，
直线的解析式为：，
联立与抛物线，得
，
解得或（舍去）
②当点在轴下方时，如图2，
过点作，连接，设点
或（舍去）
可得，
综上所述：点坐标为，．
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日期：2020/12/17 14:39:03；用户：13551375158；邮箱：13551375158；学号：28369785
6. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其中对称轴与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点在抛物线的对称轴上，若为等腰三角形，则符合题意的点有 5 个；
（3）点是直线上的一个动点，若不小于，求点的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线经过，
设抛物线的解析式为，把代入得，
抛物线的解析式为，即．
，
顶点坐标为．
（2）如图1中，当时，对称轴时有两个点满足条件与，当时，对称轴上也有两个点满足条件，，大部分时，只有一个点满足条件．所以满足条件的点有5个，
故答案为5．
（3）如图2中，
，
，，
，设直线与轴交于点，则是等边三角形，作的外接圆交直线于点，
，
当点在线段上时，不小于，
易知的外接圆的圆心坐标为，设，
则有，
解得：或，
满足条件的点的纵坐标的取值范围．
7. 如图，在平面直角坐标系中，经过的抛物线顶点为，与轴正半轴交于，两点．
（1）如图1，连接，将线段绕点逆时针旋转使得落在轴的正半轴上，求线段过的面积；
（2）如图2，延长线段至，使得，若且，求抛物线的解析式；
（3）如图3，已知以直线为对称轴的抛物线交轴于，交直线于，两点，若在轴上有且仅有一点，使，求的值．
【解答】解：（1）线段过的面积；
（2），设点、的坐标分别为：、，
，则，则，即①，
则抛物线的表达式为：，
过点作交于点，函数的对称轴为：，
则，
，
化简得：②，
将代入并化简得：③，
联立①②③并解得：，，，
则抛物线的表达式为；
8. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【解答】解：（1）令，得，
解得，，或，
，，
设直线的解析式为，则
，
解得，，
直线的解析式为；
（2）如图1，根据题意可知，点与点的坐标分别为
，，
，，，
分两种情况：
①当时，得，
解得，，或（舍，
；
②当时，得，
解得，，或（舍，
；
当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；
（3）直线与轴交于点，
点的坐标为，
分两种情况：①如图2，当点在轴的正半轴上时，记为点，
过作于点，则，
，
△，
，即
，
，，
，
，
，
连接，
，，
轴，
，
，，
，
，
；
②如图3，当点在轴的负半轴上时，记为点，过作于，则，
，
△，
，即，
，
，，
，
，
，
由①可知，，
，
，
，
，
，
，
综上，点的坐标为或．