2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--面积问题项训练（含答案）

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--面积问题项训练（含答案），共94页。试卷主要包含了如图，直线等内容，欢迎下载使用。

课中讲解
一. 面积最值
内容讲解
如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，在线段BC上方找一点P，使得三角形PBC的面积最大.
方法一：过点P作y轴的平行线，交直线BC于D，P在抛物线上，设出P的坐标，再表示D的坐标，则.由于为定值，故当PD最大时，三角形PBC的面积有最大值.
方法二：以BC为底，则当BC边上的高最大时，三角形PBC的面积有最大值.故将BC平移，直到平移之后的直线与抛物线只有一个交点，此时，BC边上的高有最大值，且该交点就是所求的P点.利用求出平移之后的解析式，进而求得P点坐标，最后求出面积最大值.
例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是第一象限的抛物线上的一个动点．当面积最大时，请求出点的坐标；
．
例2.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点．
（1）求该抛物线的一般式；
（2）若点为该抛物线上第一象限内一动点，且点在对称轴的右侧，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
例3.如图，直线：与轴、轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B,交轴正半轴于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为，△ABM的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值及此时动点M的坐标；
过关检测
1.如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴分别交于点，其中点，点，且
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是线段一动点，过作交于，当面积最大时，求点的坐标．
2.抛物线经过点和点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线相交于．两点，点是抛物线上的动点且位于轴下方，直线轴，分别与轴和直线交于点、．
①连结、，如图1，在点运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
3.（18·龙泉驿一诊）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点的抛物线过点C．动点P从点A出发，以每秒 个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．

二. 面积定值
内容讲解
如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，在线段BC上方找一点P，使得三角形PBC的面积等于常数M.
方法：当给出的面积为定值并反求坐标的时候，则采用作铅锤高（水平宽）的方法，过点P作y轴的平行线，交直线BC于D，将三角形PBC分成两部分， P在抛物线上，设出P的坐标，再表示D的坐标，则.由于为定值，故可求出P的坐标.
例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求点，的坐标；
例2．（18·武侯二诊/19·成外一诊）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在直线上．
（1）求直线的函数表达式；
（2）现将抛物线沿该直线方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为A′，与直线的另一交点为B′，与x轴的右交点为C（点C不与点A′重合），连接B′C、A′C．
ⅰ）如图，在平移过程中，当点B′在第四象限且△A′B′C的面积为60时，求平移的距离AA′的长；
例3.如图1抛物线经过原点，交x轴于另一点A（4，0），顶点为P．
（1）求抛物线的解析式和点P的坐标；
（2）如图2，点Q（0，a）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点M，N，将抛物线沿直线MN翻折得到新的抛物线，点P落在点B处，若四边形BMPN的面积等于，求a的值及点B的坐标；
过关检测
1.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点，与轴交于点，抛物线的顶点的坐标是．
（1）分别求该直线和抛物线的函数表达式；
（2）是抛物线上位于对称轴左侧的点，若的面积为，求点的坐标；
2.如图1，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于轴上一点和第一象限内一点，该抛物线顶点的纵坐标为5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接、，抛物线的对称轴与直线交于点，若，求的值；
3.如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），过点的直线与抛物线交于点，且点的纵坐标为6．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上的一个动点，若 的面积为4，求点的坐标；
三. 面积比值
内容讲解
如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，过点C引一条直线CP，且P在x轴上，使得.（AP、BP与坐标轴重合或者是平行于坐标轴）
方法：观察和，两个三角形的高是一样的，则将面积比转化为底之比，即：.设出P的坐标，将两条线段表示出来，带入求值即可.
如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，过点A引一条直线AP，且P在线段BC轴上，使得（CP、BP不与坐标轴重合或者平行）.
方法：同上，面积比等于底之比，即: ，跟①不一样的是，CP、BP均不与坐标轴平行，则可以过点P引一条平行于y轴的直线，与x轴交于点N，作，此时，有，后面同①.
另外，还有一种面积相等的题目，即面积比为1：1的题目.如下:
如图：抛物线与轴交于AB两点，与y轴交于C点，P是抛物线上一点（坐标已知），连接PB，PC，在抛物线上有一点Q，使得，求点Q的坐标.
方法：如图，要使，当以BC为底的时候，只需要两个三角形的高相等即可.故过点P作BC的平行线，交抛物线于点，则点为所求；再将BC向下平移，同理可得、两个满足题意的点.
例1．抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为，一次函数的图象经过点、．
（1）试求二次函数及一次函数的解析式；
（2）如图1，点为轴上一点，为抛物线上的动点，过点、作直线交线段于点，连接、，若，求点的坐标；
例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在轴的右侧．
（1）求的值及点，的坐标；
（2）当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；
例3.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；
过关检测
1.抛物线的顶点在轴正半轴上，直线与抛物线交于，两点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上一点，若，求点的坐标；
2.在平面直角坐标系中，如图1，抛物线的对称轴为，与轴的交点与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2．点是直线下方抛物线上的一点，过点作的平行线交抛物线于点（点在点右侧），连结，当的面积为面积的一半时， 求点的坐标；
（3）现将该抛物线沿射线的方向进行平移，平移后的抛物线与直线的交点为、（点在点的下方），与轴的交点为，当△与△相似时，求出点的横坐标．
3.如图，已知：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为顶点，连接，，抛物线的对称轴与轴交与点．
（1）求抛物线解析式及点的坐标；
（2）是抛物线上，之间的一点，且，求出点坐标；
4.（19.成华一诊）如图，抛物线经过原点，与轴交于点，且经过点
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，当时，求k的值；
（3）连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，连接，当时，求点的坐标．
学习任务
1.如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若是抛物线上且位于直线上方的一动点，求的面积的最大值及此时点的坐标；
2.如图，抛物线与轴相交于，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标；
3.如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
4.如图，直线分别与轴，轴交于点，，点为的中点，抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，且的面积为．
①求点的坐标；
5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求点，的坐标；
6.已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标．
（2）在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，一条抛物线经过点、点，并与轴交于另一点．抛物线的对称轴与抛物线的交点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段上是否存在一点，过作轴的垂线交抛物线于点，直线将的面积分成两部分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
8.如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点M是第二象限抛物线上的点，连接OM交直线AB于点C，设点M的横坐标为m，MC，OC的比值为k，求k与m的函数关系式，并求k的最大值；
（3）若抛物线上有且仅有三个点P1，P2，P3，使得△ABP1，△ABP2，△ABP3的面积均为定值S，求P1，P2，P3这三个点的坐标，并求出定值S的值．
2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--面积问题项训练（解析版）
课中讲解
一. 面积最值
内容讲解
如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，在线段BC上方找一点P，使得三角形PBC的面积最大.
方法一：过点P作y轴的平行线，交直线BC于D，P在抛物线上，设出P的坐标，再表示D的坐标，则.由于为定值，故当PD最大时，三角形PBC的面积有最大值.
方法二：以BC为底，则当BC边上的高最大时，三角形PBC的面积有最大值.故将BC平移，直到平移之后的直线与抛物线只有一个交点，此时，BC边上的高有最大值，且该交点就是所求的P点.利用求出平移之后的解析式，进而求得P点坐标，最后求出面积最大值.
例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是第一象限的抛物线上的一个动点．当面积最大时，请求出点的坐标；
．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）待定系数法求解可得．
（2）作轴，设点，表示出、、的长，根据列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出最值情况．
（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，取的中点，作直线交抛物线于，此时，求出直线的解析式，构建方程组即可解决问题．
【解答】解：（1）将点，代入得：
，
解得：，
抛物线的表达式为．
（2）如图1，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设点，则，
则，
，
，
当时，取得最大值4．
例2.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点．
（1）求该抛物线的一般式；
（2）若点为该抛物线上第一象限内一动点，且点在对称轴的右侧，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）将，，三点的坐标直接代入解析式即可求出、，的值；
（2）过点作轴的平行线交于点，设点，求出直线的解析式为，可设，则，根据可得出的表达式，由二次函数的性质可求出答案．
（3）设点，可得出点，，分当、、三种情况，得出的方程分别求解即可．
【解答】解：（1）把，，，代入抛物线解析式得：
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）抛物线解析式为，
抛物线的顶点的坐标为，对称轴为，，
过点作轴的平行线交于点，设点，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
可设，
，
，
．
当时，取得最大值，．
此时．
，．
例3.如图，直线：与轴、轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B,交轴正半轴于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为，△ABM的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值及此时动点M的坐标；
【解答】解：（1）将x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，∴点B的坐标为（0，3），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，∴3＝a+4，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，∴点C的坐标为（3，0），
∵点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m，
∴0＜m＜3，点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
将y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，∴点A的坐标（1，0），
∵△ABM的面积为S，
∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB＝，
化简，得 S＝＝，
∴当m＝时，S取得最大值，此时S＝，此时点M的坐标为（，），
即S与m的函数表达式是S＝，S的最大值是，此时动点M的坐标是（，）；
过关检测
1.如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴分别交于点，其中点，点，且
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是线段一动点，过作交于，当面积最大时，求点的坐标．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）根据射影定理求出点，设抛物线的解析式为，将点代入求出，然后化为一般式即可；
（2）过点作轴的平行线交于点，设，用待定系数法分别求出直线，直线，直线的解析式，可表示出点，点的坐标，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；
【解答】解：（1），，，，
，
由射影定理可得：，
，
点，
设抛物线的解析式为：，将点代入上式得：
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴的平行线交于点，设，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
，
直线的解析式为，
，
同样的方法可求得直线的解析式为，
可设直线的解析式为，把代入得，
联立，解得，．
．
．
故当时，最大，此时，．
2.抛物线经过点和点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线相交于．两点，点是抛物线上的动点且位于轴下方，直线轴，分别与轴和直线交于点、．
①连结、，如图1，在点运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值，结合即可确定值，此题得解；
（2）①联立抛物线与直线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点、的坐标，设点的坐标为，，则点的坐标为，，根据三角形面积公式可得出，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
【解答】解：（1）将、代入，
得：，
解得：，．
，
，
该抛物线所对应的函数解析式为．
（2）①联立抛物线与直线的解析式成方程组，
得：，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为．
设点的坐标为，，则点的坐标为，
，
．
，
当时，取最大值，最大值为64，
在点运动过程中，的面积存在最大值，最大值为64．
3.（18·龙泉驿一诊）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点的抛物线过点C．动点P从点A出发，以每秒 个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？
二. 面积定值
内容讲解
如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，在线段BC上方找一点P，使得三角形PBC的面积等于常数M.
方法：当给出的面积为定值并反求坐标的时候，则采用作铅锤高（水平宽）的方法，过点P作y轴的平行线，交直线BC于D，将三角形PBC分成两部分， P在抛物线上，设出P的坐标，再表示D的坐标，则.由于为定值，故可求出P的坐标.
例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求点，的坐标；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）对称轴，则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；
（2）的面积，即，
联立抛物线于直线的表达式并整理得：①，，，，即可求解；
【解答】解：（1）对称轴，则点，
则抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）设直线交轴于点，点、横坐标分别为，，
的面积，
即，
联立抛物线于直线的表达式并整理得：①，
，，
解得：（舍去）或3；
故，
则，解得：，
故点、的坐标分别为：，、，；
例2．（18·武侯二诊/19·成外一诊）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在直线上．
（1）求直线的函数表达式；
（2）现将抛物线沿该直线方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为A′，与直线的另一交点为B′，与x轴的右交点为C（点C不与点A′重合），连接B′C、A′C．
ⅰ）如图，在平移过程中，当点B′在第四象限且△A′B′C的面积为60时，求平移的距离AA′的长；
【分析】（1）利用配方法将抛物线表达式变形为顶点式，由此可得出点A的坐标，根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；
（2）设点A′的坐标为（m，﹣2m﹣2），则平移后抛物线的函数表达式为y＝（x﹣m）2﹣2m﹣2，利用一次函数图象上点的坐标特征结合点C在x轴上且点C不与点A′重合，可得出m＞﹣1．
（i）联立直线和抛物线的表达式成方程组，通过解方程组可求出点B′的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，过点C作CD∥y轴，交直线A′B′于点D，由点C的坐标可得出点D的坐标，利用S△A′B′C＝S△B′CD﹣S△A′CD＝60，即可得出关于t的方程，利用换元法解方程组即可得出m的值，进而可得出点A′的坐标，再由点A的坐标利用两点间的距离公式即可求出结论；
【解答】解：（1）∵y＝﹣6x+4＝（x﹣6）2﹣14，
∴点A的坐标为（6，﹣14）．
∵点A在直线y＝kx﹣2上，∴﹣14＝6k﹣2，解得：k＝﹣2，
∴直线的函数表达式为y＝﹣2x﹣2．
（2）设点A′的坐标为（m，﹣2m﹣2），则平移后抛物线的函数表达式为
y＝（x﹣m）2﹣2m﹣2．
当y＝0时，有﹣2x﹣2＝0，解得：x＝﹣1，
∵平移后的抛物线与x轴的右交点为C（点C不与点A′重合），
∴m＞﹣1．
（i）联立直线与抛物线的表达式成方程组，，
解得：，，∴点B′的坐标为（m﹣4，﹣2m+6）．
当y＝0时，有（x﹣m）2﹣2m﹣2＝0，
解得：x1＝m﹣2，x2＝m+2，∴点C的坐标为（m+2，0）．
过点C作CD∥y轴，交直线A′B′于点D，如图所示．
当x＝m+2时，y＝﹣2x﹣2＝﹣2m﹣4﹣2，
∴点D的坐标为（m+2，﹣2m﹣4﹣2），
∴CD＝2m+2+4．
∴S△A′B′C＝S△B′CD﹣S△A′CD＝CD•[m+2﹣（m﹣4）]﹣CD•（m+2﹣m）＝2CD＝2（2m+2+4）＝60．
设t＝，则有t2+2t﹣15＝0，
解得：t1＝﹣5（舍去），t2＝3， ∴m＝8，
∴点A′的坐标为（8，﹣18），
∴AA′＝＝2．
例3.如图1，抛物线经过原点，交x轴于另一点A（4，0），顶点为P．
（1）求抛物线的解析式和点P的坐标；
（2）如图2，点Q（0，a）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点M，N，将抛物线沿直线MN翻折得到新的抛物线，点P落在点B处，若四边形BMPN的面积等于，求a的值及点B的坐标；
【解答】解：（1）因为抛物线y1＝x2+bx+c经过原点，交x轴于另一点A（4，0），
所以，解得 b＝，c＝0，
抛物线解析为y1＝x2x，点P的坐标（2，﹣）；
（2）∵四边形BMPN的面积等于，∴S△MNP＝，
联立化简得 x2﹣4x﹣5a＝0，
∴MN＝|x1﹣x2|＝＝，
∴S△MNP＝（a+）•2＝， 解得a＝， ∴B（2，2）；
【点评】本题考查了二次函数与一次函数，难度较大．熟练运用二次函数的性质与一次函数解析式的求法和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
过关检测
1.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点，与轴交于点，抛物线的顶点的坐标是．
（1）分别求该直线和抛物线的函数表达式；
（2）是抛物线上位于对称轴左侧的点，若的面积为，求点的坐标；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）利用待定系数法，将的坐标代入解析式即可求得一次函数的解析式；将顶点和的坐标代入抛物线的顶点式即可求得二次函数的解析式；
（2）设出点的坐标，分类将的面积用含字母的代数式表示出来，列出方程即可求出点的坐标；
【解答】解：（1）由题意把点代入，
得：，
一次函数的解析式为：；
抛物线的顶点的坐标是且过点，
，
解得：，
此抛物线解析式为：；
（2）如图，设点的横坐标为，
抛物线对称轴为：直线，
过点作轴的垂线交直线于点，
则，，
，
，
解得：或，
，
，，
，，，；
2.如图1，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于轴上一点和第一象限内一点，该抛物线顶点的纵坐标为5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接、，抛物线的对称轴与直线交于点，若，求的值；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）抛物线与直线交于轴上一点，可求，根据顶点纵坐标为5，可求，即可求抛物线解析式．
（2）由，将线段的长代入可求的值
【解答】解：（1）抛物线与直线交于轴上一点
，即
抛物线
顶点坐标为
抛物线解析式
（2）抛物线与直线相交
，
点横坐标为
点在第一象限
即
解得：，（不合题意舍去）
3.如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），过点的直线与抛物线交于点，且点的纵坐标为6．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上的一个动点，若 的面积为4，求点的坐标；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图，设点是轴上一点，，满足的面积，则有，可得，，，，过点作直线交抛物线于，此时的面积的面积，同法
过点作直线交抛物线于，此时的面积的面积，利用方程组确定交点坐标即可；
【解答】解：（1）由题意，，
把代入得到，
，
抛物线的解析式为．
（2）如图，设点是轴上一点，，满足的面积，
则有，
或，
，，，，
过点作直线交抛物线于，此时的面积的面积，
则直线的解析式为，
由，解得，
，
过点作直线交抛物线于，此时的面积的面积，
则直线的解析式为，
由，解得或，
，，，，
综上所述，满足条件的点坐标为或，或，；
三. 面积比值
内容讲解
如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，过点C引一条直线CP，且P在x轴上，使得.（AP、BP与坐标轴重合或者是平行于坐标轴）
方法：观察和，两个三角形的高是一样的，则将面积比转化为底之比，即：.设出P的坐标，将两条线段表示出来，带入求值即可.
如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，过点A引一条直线AP，且P在线段BC轴上，使得（CP、BP不与坐标轴重合或者平行）.
方法：同上，面积比等于底之比，即: ，跟①不一样的是，CP、BP均不与坐标轴平行，则可以过点P引一条平行于y轴的直线，与x轴交于点N，作，此时，有，后面同①.
另外，还有一种面积相等的题目，即面积比为1：1的题目.如下:
如图：抛物线与轴交于AB两点，与y轴交于C点，P是抛物线上一点（坐标已知），连接PB，PC，在抛物线上有一点Q，使得，求点Q的坐标.
方法：如图，要使，当以BC为底的时候，只需要两个三角形的高相等即可.故过点P作BC的平行线，交抛物线于点，则点为所求；再将BC向下平移，同理可得、两个满足题意的点.
例1．抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为，一次函数的图象经过点、．
（1）试求二次函数及一次函数的解析式；
（2）如图1，点为轴上一点，为抛物线上的动点，过点、作直线交线段于点，连接、，若，求点的坐标；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）首先确定点的坐标，代入一次函数求出，可得点的坐标，设抛物线的解析式为，构建方程求出即可解决问题．
（2）分两种情形：①当点在直线的上方时，如图中，作交轴于，过点作直线交轴于，交于，作交抛物线于，直线交抛物线于．②当点在直线的下方时，如图中，分别求解即可解决问题．
（3）设，则，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）抛物线的图象与轴交于点，
，
一次函数的图象经过点、，
，
，
设抛物线的解析式为，
，
，
二次函数的解析式为，一次函数的解析式为．
（2）①当点在直线的上方时，如图中，作交轴于，过点作直线交轴于，交于，作交抛物线于，直线交抛物线于．
，
，
，
，
，，，
，，
，
，，
直线的解析式为，
由，解得或，
，或，，
②当点在直线的下方时，如图中，
当点与抛物线的顶点重合时，．，
，
，
过点作，此时点也满足条件，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为，或，或或．
例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在轴的右侧．
（1）求的值及点，的坐标；
（2）当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）把点代入抛物线解析式即可求出，令，列方程即可求出点、坐标．
（2）先求出四边形面积，分两种情形：①当直线边相交与点时，根据，求出点坐标即可解决问题．②当直线边相交与点时，同理可得点坐标．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点．
，解得：，
当时，有，
，，
，．
（2），，，
．
从面积分析知，直线只能与边或相交，所以有两种情况：
①当直线边相交与点时，则，
，点，过点和的直线的解析式为．
②当直线边相交与点时，同理可得点，，过点和，的直线的解析式为．
综上所述：直线的函数表达式为或．
例3.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；
【分析】（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①过点C作CE∥AD交抛物线于点E，则△ADE与△ACD面积相等；②过点H′作直线E′E″∥AD，则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，分别求解即可．
【解答】解：（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
则点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）过点C作CE∥AD交抛物线于点E，交y轴于点H，
则△ADE与△ACD面积相等，
直线AD过点D，则其表达式为：y＝mx+3，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣3m+3，解得：m＝1，
则直线AD的表达式为：y＝x+3，
CE∥AD，则直线CE表达式的k值为1，
设直线CE的表达式为：y＝x+n，
将点C的坐标代入上式得：4＝﹣1+n，解得：n＝5，
则直线CE的表达式为：y＝x+5…②，
则点H的坐标为（0，5），
联立①②并解得：x＝﹣1或﹣2（x＝1为点C的横坐标），
即点E的坐标为（﹣2，3）；
在y轴取一点H′，使DH＝DH′＝2，
过点H′作直线E′E″∥AD，
则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，
同理可得直线E′E″的表达式为：y＝x+1…③，
联立①③并解得：x＝，
则点E″、E′的坐标分别为（，）、（，），
点E的坐标为：（﹣2，3）或（，）或（，）；
【点评】本题考查的是二次函数知识综合运用，涉及到三角形相似、一次函数等知识点，核心是通过作图确定所求点的位置，避免遗漏，本题难度较大．
过关检测
1.抛物线的顶点在轴正半轴上，直线与抛物线交于，两点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上一点，若，求点的坐标；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）根据题意知，抛物线与轴只有一个交点，且对称轴在轴的右侧，由此求得的值即可；
（2）点在与直线平行的直线上，且直线与直线间的距离是2倍的点到直线的距离，据此解答；
【解答】解：（1）抛物线的顶点在轴正半轴上，
．
解得．
抛物线的函数表达式是；
（2）如图1，过点作交轴于点，设直线交轴于点．
由直线，得点．
设直线．
，
．
，则．
．
由，
可在轴上且点上方取一点，使，则．
过点作交抛物线于点、．此时满足，
设直线、的函数解析式为：．
在直线、上，
．
直线、的函数解析式为：．
联立．
解得，，
综上，满足条件的点的坐标是，；
2.在平面直角坐标系中，如图1，抛物线的对称轴为，与轴的交点与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2．点是直线下方抛物线上的一点，过点作的平行线交抛物线于点（点在点右侧），连结，当的面积为面积的一半时， 求点的坐标；
（3）现将该抛物线沿射线的方向进行平移，平移后的抛物线与直线的交点为、（点在点的下方），与轴的交点为，当△与△相似时，求出点的横坐标．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）由对称性可知，设抛物线解析式为，由待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由平行线间距离处处相等可知，当的面积为面积的一半时，可求相关线段的长，再求得的解析式，将其与抛物线解析式联立可解；
（3）由平移的相关知识，结合图形分析，得出方程组，从而得解．
【解答】解：（1）由对称性可知
设抛物线解析式为
将代入得
．
（2）由平行线间距离处处相等可知，当的面积为面积的一半时，
，
直线的解析式为，
设直线的解析式为
则，
联立得
则
，
点
3.如图，已知：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为顶点，连接，，抛物线的对称轴与轴交与点．
（1）求抛物线解析式及点的坐标；
（2）是抛物线上，之间的一点，且，求出点坐标；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）由点、的坐标得：抛物线的表达式为：；
（2），则，即可求解；
【解答】解：（1）点、，根据两点式得：
抛物线的表达式为：①；
函数的对称轴为，当时，，则；
（2）过点作轴的平行线交于点，设直线交对称轴于点，
由点、的坐标可得，直线的表达式为：，
则点，则，
同理可得，的表达式为：，
设点，则点，
，
则，
，
解得：，
故点；
4.（19.成华一诊）如图，抛物线经过原点，与轴交于点，且经过点
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，当时，求k的值；
（3）连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，连接，当时，求点的坐标．
【分析】（1）因为抛物线经过原点，点和点，用待定系数法即可得出抛物线的表达式；
（2）把条件转化为，再利用韦达定理即可得出的值；
（3）由，，可得，因为，所以，设点的坐标为，直线的表达式为，再把点的坐标为代入求得直线的表达式，再与直线解交点求得点的横坐标，最后根据两点之间距离公式可求得的值，进而得出点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线经过原点，与轴交于点，且经过点，
设抛物线的解析式为，
把点，代入，得，解得，
抛物线的解析式为
（2），
消去得，，
，，
，
，即，
解得或，
经检验符合题意，
的值为3或；
（3），，
，
，，
，直线的表达式为，
，
设点的坐标为，直线的表达式为，
把点的坐标为代入，直线的表达式，得，
线的表达式为，
易得直线的表达式为，
联立，解得，
，
解得（舍去）或，
代入抛物线表达式，得，
点的坐标为，．
【点评】本题考查用待定系数法求二次函数，一次函数表达式，综合性较强．第（3）问把条件转化为是解题的关键．
学习任务
1.如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若是抛物线上且位于直线上方的一动点，求的面积的最大值及此时点的坐标；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1），则点，抛物线的表达式为：，即可求解；
的面积，即可求解；
【解答】解：（1），则点，
抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）过点作轴的平行线交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：
的面积，
当时，的面积的最大，最大值为：，此时点，；
2.如图，抛物线与轴相交于，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）设交点式，然后把点坐标代入求出的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于，如图1，设，，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质求解；
【解答】解：（1）设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为，即；
（2）设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
所以直线的解析式为，
作轴交于，如图1，
设，，则，
，
，
当时，的面积最大，此时点坐标为，；
3.如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
【分析】（1）根据一次函数求B和C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，﹣m2+m+4），则G（m，﹣m+4），表示铅直高度EG的长，利用三角形面积公式及二次函数的最值得出点E的坐标；
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），
当y＝0时，﹣x+4＝0，x＝6，∴C（6，0），
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，
设E（m，﹣m2+m+4），则G（m，﹣m+4），
∴EG＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣+4m，
∴S△BEC＝EG•OC＝×6（﹣+4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0， ∴S有最大值，此时E（3，8）；
4.如图，直线分别与轴，轴交于点，，点为的中点，抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，且的面积为．
①求点的坐标；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）由直线解析式求出、坐标，然后得出点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）①过作轴交于，则，设出点的横标，纵坐标用横坐标表示，同时表示出点坐标，从而得出的面积表达式，再根据的面积为，列出方程解之即可；
【解答】解：（1）当时，，解得，则，
当时，，则
点为的中点，
，
把，代入得，解得，
抛物线解析式为；
（2）①过作轴交于，如图，
设，则，
，
整理得，解得，
；
5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求点，的坐标；
【解答】解：（1）对称轴，则点，
则抛物线的表达式为：，
即，解得：，故抛物线的表达式为：；
（2）设直线交轴于点，点、横坐标分别为，，
的面积，即，
联立抛物线于直线的表达式并整理得：①，
，，
解得：（舍去）或3；故，
则，解得：，
故点、的坐标分别为：，、，；
6.已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标．
（2）在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，即可求解；
（2），则，即，即可求解；
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故点；
（2）过点、、分别作三条相互平移的平行线，分别交轴于点、、，直线与抛物线交于点，
设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，
故直线的表达式为：，
当时，，即点，
同理直线的表达式为：，故点，
同理直线的表达式为：，故点，
，则，
即，
解得：，
故直线的表达式为：②，
联立①②并解得：（舍去）或，
故点；
7.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，一条抛物线经过点、点，并与轴交于另一点．抛物线的对称轴与抛物线的交点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段上是否存在一点，过作轴的垂线交抛物线于点，直线将的面积分成两部分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式，运用顶点式设，将，代入，解方程组即可；
（2）直线将的面积分成两部分，分两种情况：或；先运用待定系数法求直线解析式、直线的解析式，再求，设点的横坐标为，分别建立方程求解即可；
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
令，得
，
令，得，解得：
，
抛物线经过点、点，并与轴交于另一点，且抛物线的对称轴与抛物线的交点为点．
设，将，代入，
得，解得，
抛物线的解析式为：；
（2）存在点，使直线将的面积分成两部分．
如图1，由（1）知：，
设直线解析式为，则，
解得：，
直线解析式为，
同理可求得直线的解析式为：，
设抛物线的对称轴直线与交于点，则，
，
，，
当直线在对称轴直线左侧时，设交于，交轴于，
直线将的面积分成两部分，
，
设点的横坐标为，则：，
，
解得：，，
，
，；
当直线在对称轴直线右侧时，设交于，交轴于，
直线将的面积分成两部分，
，设点的横坐标为，则：，
，解得：
，
，
综上所述，点的坐标为：，或，；
8.如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点M是第二象限抛物线上的点，连接OM交直线AB于点C，设点M的横坐标为m，MC，OC的比值为k，求k与m的函数关系式，并求k的最大值；
（3）若抛物线上有且仅有三个点P1，P2，P3，使得△ABP1，△ABP2，△ABP3的面积均为定值S，求P1，P2，P3这三个点的坐标，并求出定值S的值．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的函数表达式；
（2）过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标为m可得出点M，E的坐标，进而可得出ME的长度，由ME∥OB可得出△MCE∽△OCB，利用相似三角形的性质可得出k与m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）作直线P1D∥AB，使得该直线与抛物线y＝﹣x2﹣x+2只有一个交点P1，且与y轴交于点D，将直线P1D的解析式代入抛物线中，利用根的判别式△＝0可求出k的值，进而可得出点D的坐标，联立直线P1D和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P1的坐标，过点B作BN⊥P1D于点N，由平行线的性质及角的正弦值可得出BN的长，利用三角形的面积公式可求出定值S的值，由对称性可得出直线P2P3的解析式，联立直线P2P3和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出P2，P3的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x+2＝2，
∴点B的坐标为（0，2）；当y＝0时，x+2＝0，解得：x＝﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）．
将A（﹣4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2．
（2）过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示．
∵点M的横坐标为m，
∴点M的坐标为（m，﹣m2﹣m+2），点E的坐标为（m，m+2），
∴ME＝﹣m2﹣m+2﹣（m+2）＝﹣m2﹣2m．
∵ME∥OB，∴△MCE∽△OCB，
∴＝＝﹣m2﹣m，即k＝﹣m2﹣m．
∵k＝﹣m2﹣m＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+1，﹣＜0，
∴当m＝﹣2时，k取得最大值，最大值为1．
（3）作直线P1D∥AB，使得该直线与抛物线y＝﹣x2﹣x+2只有一个交点P1，且与y轴交于点D．
设直线P1D的解析式为y＝x+k，
将y＝x+k代入y＝﹣x2﹣x+2中，整理，得：x2+4x+（2k﹣4）＝0，
∵两函数图象只有一个交点，∴△＝42﹣4×1×（2k﹣4）＝0，∴k＝4，
∴直线P1D的解析式为y＝x+4，点D的坐标为（0，4）．
联立直线P1D和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，
∴点P1的坐标为（﹣2，3）．
过点B作BN⊥P1D于点N．
∵点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，AB＝2．
∵P1D∥AB，
∴∠BDN＝∠ABO，
∴sin∠BDN＝sin∠ABO，
∴＝，即＝，
∴BN＝，
∴S＝AB•BN＝4．
由对称性，可知直线P2P3过原点，
∴直线P2P3的解析式为y＝x，
联立直线P2P3和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点P2的坐标为（﹣2﹣2，﹣1﹣），点P3的坐标为（﹣2+2，﹣1+）．
综上所述：P1，P2，P3这三个点的坐标分别为（﹣2，3），（﹣2﹣2，﹣1﹣），（﹣2+2，﹣1+），定值S＝4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、根的判别式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数求出二次函数解析式；（2）利用相似三角形的性质，找出k与m的函数关系式；（3）利用根的判别式△＝0，找出与直线AB平行且与抛物线相切的直线的解析式．