2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--线段关系专项训练（含答案）

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目标层级图
课中讲解
一.两线段（或多线段）比值的最值与定值问题
内容讲解
分析：基本的方法仍然是设坐标处理，问到两个线段的比值时我们可以用相似来转化，有可能会出现定值或变化的情况。也有一些题目是多条线段的比值或者加减，我们先从几何的角都进行转化，然后再利用两点间距离公式进行计算。
例题：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
解：如图1中，由题意，点在轴的右侧，作轴于，交于．
，
，
，
直线与轴交于点，则，
的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时．
题型一：两条线段的比值
例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，点的坐标为，与轴于交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点，若点的横坐标为5，求点的坐标及的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交轴于点，的外接圆圆心为（如图，
①求点的坐标及的半径；
②过点作的切线交于点（如图，设为上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
过关检测
1.如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上的一个动点，且点在第一象限内．轴于点，点坐标为，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线与相交于点，连结．设线段的长为，的面积为．
（1）当时，求的值．
（2）求关于的函数解析式．
（3）①若时，求的值；
②当时，设，猜想与的数量关系并证明．
题型二：多条线段的比值
例2.在平面直角坐标系中，已知抛物线，为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过，两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与交于另一点．
若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标；
取的中点，连接，．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
过关检测
2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数为常数）的图象与轴交于点，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线，，为常数，且经过，两点，并与轴的正半轴交于点．
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）设是轴右侧抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点．是否存在这样的点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若是抛物线对称轴上使的周长取得最小值的点，过点任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，，，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．
题型三：线段的和或积
例3.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点．抛物线经过、、三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若的切线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，切点为，且，试判断直线是否经过抛物线的顶点？说明理由；
（3）点是位于轴右侧上的一动点，连结交轴于点，问是否存在一个常数．始终满足？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
过关检测
3.如图，抛物线的图象与轴交于与，与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是抛物线上轴下方）的一个动点，过点作轴的平行线与直线交于点，试判断在点运动过程中，以点，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
（3）如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，当点在抛物线上，之间运动时，连接交于点，连接并延长交于点，猜想在点的运动过程中，的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
二.线段比例关系与相似三角形相结合
此类题目需从线段比例结合函数，设出关键点坐标，推理得出其他线段的长度，利用SAS的相似判定得到三角形相似。
例题：如图，、是平面直角坐标系中两点，其中为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使，画射线，把绕点逆时针旋转得△，连接，抛物线过、两点．
（1）填空： ，用表示点的坐标： ；
（2）当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点，且时，△与是否相似？说明理由；
解：（1），，，，即，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，即；
故答案为：45；，；
（2）△，理由如下：
由已知得：，，
，
，
为抛物线的顶点，
设抛物线解析式为，
抛物线过点，
，
即，
，
，
△；
题型一：知线段比例得相似
例1.如图1，，是平面直角坐标系中两点，其中为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使，画射线，把绕点逆时针旋转得△，连接，抛物线过，两点．
（1）填空： ，用表示点的坐标： ， ；
（2）当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点，且时，△与是否相似？说明理由；
（3）若与原点重合，抛物线与射线的另一个交点为点，过作轴，垂足为
①求，，满足的关系式；
②当为定值，抛物线与四边形有公共点，线段的最大值为10，请你探究的取值范围．
过关检测
1.抛物线过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线表达式；
（2）如图1，连接，以为边作，若点在直线下方的抛物线上，为坐标平面内的一点，且的面积为30，①求点坐标；②过此二点的直线交轴于，此直线上一动点，当最小时，求点坐标．
（3）如图2，过点、，三点，为直径，点为圆上的一动点（不与点，重合），为直角，边与的延长线交于，求线段长度的最大值．
学习任务
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线经过、两点，并与轴正半轴交于点．
（1）求的值及抛物线的函数表达式．
（2）设点，若是抛物线对称轴上使得的周长取得最小值的点，过任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，，，两点，试探究是否为定值？请说明理由．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH＝．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若＝时，求点P的坐标；
（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．
4．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--线段关系专项训练（解析版）
目标层级图
课中讲解
一.两线段（或多线段）比值的最值与定值问题
内容讲解
分析：基本的方法仍然是设坐标处理，问到两个线段的比值时我们可以用相似来转化，有可能会出现定值或变化的情况。也有一些题目是多条线段的比值或者加减，我们先从几何的角都进行转化，然后再利用两点间距离公式进行计算。
例题：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
解：如图1中，由题意，点在轴的右侧，作轴于，交于．
，
，
，
直线与轴交于点，则，
的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时．
题型一：两条线段的比值
例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，点的坐标为，与轴于交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点，若点的横坐标为5，求点的坐标及的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交轴于点，的外接圆圆心为（如图，
①求点的坐标及的半径；
②过点作的切线交于点（如图，设为上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
【解答】解：（1），将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，故的坐标为，
令，则（舍去）或，故点，
如图①，连结，作于，
，，，
，，
，
，
，
；
（3）①如图②，连接，，
，
，
，，
，
点的坐标为，的半径为；
②如图③，连接，，
过点作的切线交1于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在点运动过程中的值不变，其值为．
过关检测
1.如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上的一个动点，且点在第一象限内．轴于点，点坐标为，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线与相交于点，连结．设线段的长为，的面积为．
（1）当时，求的值．
（2）求关于的函数解析式．
（3）①若时，求的值；
②当时，设，猜想与的数量关系并证明．
【解答】解：（1）点在二次函数的图象上，轴于点，且，
点的坐标为，
当时，点的坐标为，，
点的坐标为，
．
轴，
轴，
，
，
，
点和点关于轴对称，
，
；
（2）当时（如图，
点和点关于轴对称，
，
，
，
，即．
；
当时（如图，
同解法得：，
由得，
关于的函数解析式为且．
（3）①如图3，连接，
的面积为，
，
点的坐标为，，
，
，，
，
；
②与之间的数量关系为，
如图4，连接，
，
，，
，
点的坐标为，，
．
题型二：多条线段的比值
例2.在平面直角坐标系中，已知抛物线，为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过，两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与交于另一点．
若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标；
取的中点，连接，．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，
轴，轴，
点的坐标为．
抛物线过，两点，
，解得：，，
抛物线的函数表达式为：．
（2）方法一：
，，，
直线的解析式为：．
设平移前抛物线的顶点为，则由（1）可得的坐标为，且在直线上．
点在直线上滑动，可设的坐标为，
则平移后抛物线的函数表达式为：．
解方程组：，
解得，
，．
过点作轴，过点作轴，则
，．
．
若以、、三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当为直角边时：点到的距离为（即为的长）．
由，，可知，
为等腰直角三角形，且，．
如答图1，过点作直线，交抛物线于点，则为符合条件的点．
可设直线的解析式为：，
，，解得，
直线的解析式为：．
解方程组，得：，
，．
②当为斜边时：，可求得点到的距离为．
如答图2，取的中点，则点的坐标为．
由，，可知：
为等腰直角三角形，且点到直线的距离为．
过点作直线，交抛物线于点，则为符合条件的点．
可设直线的解析式为：，
，，解得，
直线的解析式为：．
解方程组，得：，
，，，．
综上所述，所有符合条件的点的坐标为：
，，，，，．
方法二：
，，
，
抛物线顶点在直线上，设，
抛物线表达式：，
与抛物线的交点，
以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，，
①当为直角顶点时，，，
，
，，，，
②当为直角顶点时，点可视为点绕点顺时针旋转而成，
将点平移至原点，则点平移后，
将点绕原点顺时针旋转，则点，
将平移至点，则点平移后即为点，
，
，，
，，
③当为直角顶点时，同理可得，，
综上所述，所有符合条件的点的坐标为：
，，，，，．
存在最大值．理由如下：
由知为定值，则当取最小值时，有最大值．
如答图2，取点关于的对称点，易得点的坐标为，．
连接，，，易得，且，
四边形为平行四边形．
．
．
当、、三点共线时，最小，最小值为．
的最大值为．
过关检测
2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数为常数）的图象与轴交于点，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线，，为常数，且经过，两点，并与轴的正半轴交于点．
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）设是轴右侧抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点．是否存在这样的点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若是抛物线对称轴上使的周长取得最小值的点，过点任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，，，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．
【解答】解：（1）经过点，
，解得，
直线解析式为，．
抛物线对称轴为，且与轴交于，
另一交点为，
设抛物线解析式为，
抛物线经过，
，解得，
抛物线解析式为；
（2）假设存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则且．如答图1，
当点在点位置时，过点作轴于点，
，，
又，
，
，即，
，解得与点重合，舍去），
，；
当点在点位置时，过点作轴于点，
同理可求得，，．
（3）要使的周长最小，只需最小即可．
如答图2，连接交于点，因为点、关于对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时最小最小值为线段的长度）．
，，
直线解析式为，
，，即．
令经过点的直线为，则，即，
则直线的解析式是：，
，，
联立化简得：，
，．
，，
．
根据两点间距离公式得到：
．
又；
同理
．
，
为定值．
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日期：2020/12/17 13:02:31；用户：18215595478；邮箱：18215595478；学号：28029671
题型三：线段的和或积
例3.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点．抛物线经过、、三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若的切线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，切点为，且，试判断直线是否经过抛物线的顶点？说明理由；
（3）点是位于轴右侧上的一动点，连结交轴于点，问是否存在一个常数．始终满足？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，连接．
，，
，
，，，，．则
，
解得，，
该抛物线的解析式为：；
（2）直线经过抛物线的顶点．理由如下：
由（1）知，抛物线的解析式为，即，则其顶点坐标是，．
如图，连接，设直线交抛物线对称轴于点．
是的切线，．
．
又
，则，，即点是抛物线的顶点坐标，
直线经过抛物线的顶点；
（3）存在，理由如下：
如图，连接．
是直径，
，
又，
，
，则，即．
过关检测
3.如图，抛物线的图象与轴交于与，与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是抛物线上轴下方）的一个动点，过点作轴的平行线与直线交于点，试判断在点运动过程中，以点，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
（3）如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，当点在抛物线上，之间运动时，连接交于点，连接并延长交于点，猜想在点的运动过程中，的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线的图象与轴交于与，与直线交于点，
设抛物线的解析式为，
点代入，得，
抛物线的解析式为；
（2）设点，
直线经过点，
，，
，
过点作轴的平行线与直线交于点，
，
，
当时，以点，，，为顶点的四边形构成平行四边形，
，
解得（舍去）或或或（舍去），
点的坐标为，或，；
（3）如图，作于点，
，
，
，，
，
设点，
则，，
，，
，
在点的运动过程中，的和是定值，该定值为8．
二．线段比例关系与相似三角形相结合
此类题目需从线段比例结合函数，设出关键点坐标，推理得出其他线段的长度，利用SAS的相似判定得到三角形相似。
例题：如图，、是平面直角坐标系中两点，其中为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使，画射线，把绕点逆时针旋转得△，连接，抛物线过、两点．
（1）填空： ，用表示点的坐标： ；
（2）当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点，且时，△与是否相似？说明理由；
解：（1），，，，即，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，即；
故答案为：45；，；
（2）△，理由如下：
由已知得：，，
，
，
为抛物线的顶点，
设抛物线解析式为，
抛物线过点，
，
即，
，
，
△；
题型一：知线段比例得相似
例1.如图1，，是平面直角坐标系中两点，其中为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使，画射线，把绕点逆时针旋转得△，连接，抛物线过，两点．
（1）填空： ，用表示点的坐标： ， ；
（2）当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点，且时，△与是否相似？说明理由；
（3）若与原点重合，抛物线与射线的另一个交点为点，过作轴，垂足为
①求，，满足的关系式；
②当为定值，抛物线与四边形有公共点，线段的最大值为10，请你探究的取值范围．
【解答】解：（1），，，，即，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，即；
故答案为：45；，；
（2）△，理由如下：
由已知得：，，
，
，
为抛物线的顶点，
设抛物线解析式为，
抛物线过点，
，
即，
，
，
△；
（3）①当点与点重合时，，
抛物线过点，，
，
整理得：，即；
②抛物线与四边形有公共点，
抛物线过点时的开口最大，过点时的开口最小，
若抛物线过点，此时的最大值为5，
，
整理得：，即抛物线解析式为，
由，可得直线解析式为，
联立抛物线与直线解析式得：，
解得：，，即，
令，即，
当时，；
若抛物线过点，则，
解得：，
，
，
则抛物线与四边形有公共点时的范围为．
过关检测
1.抛物线过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线表达式；
（2）如图1，连接，以为边作，若点在直线下方的抛物线上，为坐标平面内的一点，且的面积为30，①求点坐标；②过此二点的直线交轴于，此直线上一动点，当最小时，求点坐标．
（3）如图2，过点、，三点，为直径，点为圆上的一动点（不与点，重合），为直角，边与的延长线交于，求线段长度的最大值．
【解答】解：（1）抛物线过点，，
，解得，
抛物线表达式为；
（2）①如图，连接，过点作轴的平行线交直线于．
设直线的解析式为，
，，
，解得，
直线的解析式为：，
设点，，
的面积为30，
，
解得或，
当时，
当时，，
点坐标为或；
②当点为时，
直线解析式为：，，
设直线的解析式为：，
将点代入，得，，
直线的解析式为：，
，作于，，
，
当，，共线时，最小，此时点的坐标为，此时点在轴的左侧，舍弃，故当点与重合时，取得最小值，此时．
当时，直线的解析式为：，
同理可得点的坐标为．
（3），，，，
，，
，
，，
为直径，，
，
，
，
，，
，
，
，
当为直径时，的长度最大，为．
学习任务
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线经过、两点，并与轴正半轴交于点．
（1）求的值及抛物线的函数表达式．
（2）设点，若是抛物线对称轴上使得的周长取得最小值的点，过任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，，，两点，试探究是否为定值？请说明理由．
【解答】解：（1）一次函数的图象与轴交于
．
一次函数的解析式为．
点的坐标为．
经过、两点且对称轴是，
，解得
．
的值为，抛物线的函数表达式为．
（2）要使的周长取得最小，只需最小
连接交于点，因为点与点关于对称，
根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时最小．
令中的，则或5
直线解析式为，
．
令过的直线解析式为，
则，
则直线的解析式为．
解法一：
由
得
，
，
同理
；
解法二：
，
设，，则有．
；
设，，同理可求得：．
①．
直线的解析式为，即：．
联立与抛物线，得：
，
，，代入①式，得：
．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH＝．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若＝时，求点P的坐标；
（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线y＝﹣+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH＝，求出c的值，进而求出抛物线方程；
（2）如图1，由OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，可证△OEH∽△HFM，可知HE，HF的比例关系，求出P点坐标；
（3）首先求出D点坐标，写出直线MD的表达式，由两直线平行，两三角形相似，可得NG∥MD，直线QG解析式．
【解答】解：（1）∵M为抛物线y＝﹣+c的顶点，
∴M（2，c）．
∴OH＝2，MH＝|c|．
∵a＜0，且抛物线与x轴有交点，
∴c＞0，
∴MH＝c，
∵sin∠MOH＝，
∴＝．
∴OM＝c，
∵OM2＝OH2+MH2，
∴MH＝c＝4，
∴M（2，4），
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣+4．
（2）如图1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，
∴∠EHO＝∠FMH，∠OEH＝∠HFM．
∴△OEH∽△HFM，
∴＝＝，
∵＝，
∴MF＝HF，
∴∠OHP＝∠FHM＝45°，
∴OP＝OH＝2，
∴P（0，2）．
如图2，同理可得，P（0，﹣2）．
（3）∵A（﹣1，0），
∴D（1，0），
∵M（2，4），D（1，0），
∴直线MD解析式：y＝4x﹣4，
∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，
∴＝＝＝，
∴AN＝，ON＝，N（0，）．
如图3，若△ANG∽△AMD，可得NG∥MD，
∴直线QG解析式：y＝4x+，
如图4，若△ANG∽△ADM，可得＝
∴AG＝，
∴G（，0），
∴QG：y＝﹣x+，
综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：y＝4x+或y＝﹣x+．
【点评】本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会应用三角形相似定理，本题步骤有点多，做题需要细心．
3．如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．
【分析】方法一：
（1）AO＝AC﹣OC＝m﹣3，用线段的长度表示点A的坐标；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD＝OA，∴D（0，m﹣3），又P（1，0）为抛物线顶点，可设顶点式，求解析式；
（3）设Q（x，x2﹣2x+1），过Q点分别作x轴，y轴的垂线，运用相似比求出FC、EC的长，而AC＝m，代入即可．
方法二：
（1）略．
（2）分别求出B、D参数坐标，并代入抛物线，求出参数及抛物线表达式．
（3）利用直线方程分别求出E、F的参数坐标，并求出点C、A坐标，代入FC（AC+EC），并求出其为定值．
（4）设Q点参数坐标，利用三角函数列出等式，并求出Q点坐标．
【解答】方法一：
（1）解：由B（3，m）可知OC＝3，BC＝m，又△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝m，OA＝m﹣3，
∴点A的坐标是（3﹣m，0）．
（2）解：
∵∠ODA＝∠OAD＝45°
∴OD＝OA＝m﹣3，
则点D的坐标是（0，m﹣3）．
又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2，
得：
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1；
（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），
则QM＝CN＝（x﹣1）2，MC＝QN＝3﹣x．
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
∴
即，得EC＝2（x﹣1）
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC
∴
即，得
又∵AC＝4
∴FC（AC+EC）＝[4+2（x﹣1）]＝（2x+2）＝×2×（x+1）＝8
即FC（AC+EC）为定值8．
方法二：
（1）略．
（2）略．
（3）设Q（t，t2﹣2t+1），B（3，4），
设直线BQ：y＝kx+b，
∴lBQ：y＝（t+1）x+1﹣3t，
把y＝0代入y＝（t+1）x+1﹣3t，
∴x＝，即F（，0），
∵P（1，0），Q（t，t2﹣2t+1），
∴lPQ：y＝（t﹣1）x+1﹣t，
把x＝3代入，∴y＝2t﹣2，即E（3，2t﹣2），
∴FC（AC+EC）＝（∁X﹣FX）（∁X﹣AX+EY﹣∁Y）＝（3﹣）（4+2t﹣2）＝8．
【点评】本题考查了点的坐标，抛物线解析式的求法，综合运用相似三角形的比求线段的长度，本题也可以先求直线PE、BF的解析式，利用解析式求FC，EC的长．
4．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标就可以利用顶点式求函数的解析式．
（2）AB是圆的直径，因而∠ADB＝∠AEB＝90°，得到PN∥AD，得到＝，同理＝，这样就可以求出的值．
（3）易证△AEB为等腰直角三角形，过点P作PH⊥BE于H，四边形PHEM是矩形，易证△APM∽△PBH，则，再证明△MEP∽△EGF，则因而可证．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3（1分）
将A（﹣1，0）代入：0＝a（﹣1﹣1）2﹣3，
解得a＝（2分）
所以，抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，即y＝x2﹣x﹣（3分）
（2）是定值，＝1（4分）
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵PM⊥AE，
∴PM∥BE，
∴△APM∽△ABE，
所以①
同理：②（5分）
①+②：（6分）
（3）∵直线EC为抛物线对称轴，
∴EC垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵∠AEB＝90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴∠EAB＝∠EBA＝45°（7分）
如图，过点P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形．
∴PH＝ME且PH∥ME．
在△APM和△PBH中，
∵∠AMP＝∠PHB＝90°，∠EAB＝∠BPH＝45°，
∴PH＝BH，且△APM∽△PBH，
∴，
∴①（8分）
在△MEP和△EGF中，
∵PE⊥FG，
∴∠FGE+∠SEG＝90°，
∵∠MEP+∠SEG＝90°，
∴∠FGE＝∠MEP，
∵∠PME＝∠FEG＝90°，
∴△MEP∽△EGF，
∴②
由①、②知：（9分）（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）