2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--相似三角形专项训练（含答案）

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--相似三角形专项训练（含答案），共71页。试卷主要包含了抛物线经过点A和点B等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课中讲解
相似三角形存在性问题
题型基本分为：已知定角（多以直角出现）与隐含定角（定角为特殊角或已知该角三角函数比值）两大类，当定角确定后：
分类讨论，其余两个角对应相等。
数形结合，利用相似三角形边的对应关系，最终求得点的坐标或线段的长度。
题型：
一.与已知直角三角形相似，且已知直角三角形的某边与坐标轴重合或者平行.
已知三点坐标，P、Q是线段AO、BO上的动点，确定点P、Q的坐标使得和相似。

例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．
①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；
例2.在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标。
过关检测
1.如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
2.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，线段于点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，求线段的最大值；
（3）如图2，连接、，当与以、、为顶点的三角形相似时，求点的横坐标．

3.抛物线经过点A(t,0)和点B(5t,0).（t>0)
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)该抛物线与直线相交于C.D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。
4.直线与轴相交于点,与轴相交于点，抛物线.
（1）求点的坐标以及抛物线的解析式；
（2）为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别相交于点点在线段OA（不与O,A重合）上运动，若以点为顶点的三角形与相似，求的坐标。

二.与已知非直角三角形相似，且已知三角形某边在坐标轴上（平行）
如图：已知抛物线与x轴交点为A、B，在抛物线第三象限上有一点C，在抛物线第二象限上有一点P，使得以P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似.


例1.已知抛物线与轴分别交于点，，交轴于点，抛物线的顶点为点．
（1）抛物线的表达式及顶点的坐标．
（2）若点是线段上一个动点，
①如图1，当的值最小时，求点的坐标；
②如图2，以点，，为顶点的三角形能否与相似？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
例2.如图,二次函数y＝ax2＋bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝ ,线段AD平行于x轴,交抛物线于点D. 在y轴上取一点C（0，2）,直线AC交抛物线于点B,连结OA、OB、OD、BD.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△COB的点E的坐标。
过关检测
1.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线，与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是轴上的一点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
2.在平面直角坐标系中，如图1，抛物线的对称轴为，与轴的交点与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现将该抛物线沿射线的方向进行平移，平移后的抛物线与直线的交点为、（点在点的下方），与轴的交点为，当△与△相似时，求出点的横坐标．
3.如图，已知抛物线经过点，点，直线经过点，交抛物线于点，点为轴下方抛物线上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点为抛物线的顶点时，在直线轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
图1
4.如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标。
三.已知三角形相似，求其他
例题4（高新二诊）、如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．
①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；
②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标．
过关检测
1.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的一动点，，直线与抛物线交于点，设直线的表达式为 ．
①如图①，直线与抛物线对称轴交于点，若，求、的值；
②如图②，直线与轴交于点，与直线交于点，若，求的值．
学号：27972458
学习任务
1. 抛物线经过原点O，顶点A（2，2），且与直线交于B、C两点。
（1）求抛物线的解析式及C点的坐标；
（2）若点N为x轴上一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O、M、N为顶点的三角形与∆ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
2.O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线同时经过A（0，3）、B（4，0）．
（1）求m，n的值；
（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由。

3. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由。
4.已知点在抛物线上。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2,直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，点P从点C出发,沿射线CD方向匀速运动,速度为每秒个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，，求t的值。
2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--相似三角形专项训练（解析版）
目标层级图
说明：本节教案主要针对稳定120分以上的学员的教学使用，通常出现在B25（2）和（3）小问。
本节内容对已知相似三角形和未知需要求相似三角形的直角（可转换成三角函数值的思维）三角形的相似、非直角(夹角)三角形的相似类型进行入手讲解。
此节为解决学生对二次函数与相似三角形畏难心态、薄弱的知识得到好的改善，帮助B25拿分。
为更加熟练的掌握相似三角形的性质和二次函数的性质。
课中讲解
相似三角形存在性问题
题型基本分为：已知定角（多以直角出现）与隐含定角（定角为特殊角或已知该角三角函数比值）两大类，当定角确定后：
分类讨论，其余两个角对应相等。
数形结合，利用相似三角形边的对应关系，最终求得点的坐标或线段的长度。
题型：
1.与已知直角三角形相似，且已知直角三角形的某边与坐标轴重合或者平行.
已知三点坐标，P、Q是线段AO、BO上的动点，确定点P、Q的坐标使得和相似。

例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．
①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；
【解答】解：（1）将、、代入得，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）①将代入中，
得，解得或1（舍去），
，
、，
，，，
，
，
，
，
（Ⅰ）当时，
，
与点重合，
，
（Ⅱ）当时，
，
，
，
故：的长为或2；
例2.在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标。
【解析】：
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0)
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)该抛物线与直线相交于C.D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。
【解析】：
解：（1）将A（t，0）、B（5t，0）代入y＝x2+bx+5，
得：，
解得：，．
∵t＞0，
∴b＝﹣6，
∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝x2﹣6x+5．
（2）∵∠CQN＝∠PMB＝90°，
∴若△CNQ与△PBM相似，则有＝或＝．
设点P的坐标为（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则点N的坐标为（x，2x+5），点M的坐标为（x，0），点Q的坐标为（x，5），
∴CQ＝x，NQ＝2x，PM＝﹣x2+6x﹣5，BM＝5﹣x．
当＝时，有＝，
解得：x1＝，x2＝5（舍去），
∴点P的坐标为（，﹣）；
当＝时，有＝，
解得：x3＝3，x4＝5（舍去），
∴点P的坐标为（3，﹣4）．
综上，存在点P，使得△CNQ与△PBM相似，点P的坐标为（，﹣）或（3，﹣4）．
4.直线与轴相交于点,与轴相交于点，抛物线.
（1）求点的坐标以及抛物线的解析式；
（2）为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别相交于点点在线段OA（不与O,A重合）上运动，若以点为顶点的三角形与相似，求的坐标。

【解析】：
解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，
∴0＝﹣2+c，解得c＝2，
∴B（0，2），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），
∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，
∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，
①当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，
∴N点的纵坐标为2，
∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，
∴M（，0）；
②当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，
则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，
∵∠NBP＝90°， ∴∠NBC+∠ABO＝90°
∴∠ABO＝∠BNC， ∴Rt△NCB∽Rt△BOA，
∴＝， ∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，
∴M（，0）；
综上，以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M坐标（，0）或（，0）
二.与已知非直角三角形相似，且已知三角形某边在坐标轴上（平行）
如图：已知抛物线与x轴交点为A、B，在抛物线第三象限上有一点C，在抛物线第二象限上有一点P，使得以P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似.


例1.已知抛物线与轴分别交于点，，交轴于点，抛物线的顶点为点．
（1）抛物线的表达式及顶点的坐标．
（2）若点是线段上一个动点，
①如图1，当的值最小时，求点的坐标；
②如图2，以点，，为顶点的三角形能否与相似？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）抛物线的表达式为：，故，解得：，即可求解；
（2）①点的坐标为：，点，点，作点关于直线的对称轴，连接交于点，则点为所求点，即可求解；
②当时，，，直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，联立直线、的表达式并解得：，故点，；当时，，，，直线的解析式为，将上式与联立并解得：，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：，
故，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
函数的对称轴为：，故顶点的坐标为：；
（2）①点的坐标为：，点，点，
作点关于直线的对称轴，连接交于点，则点为所求点，
为最小，
连接，设直线交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：①，
则，
设，则，则，，
，，
，同理，故点，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：②，
联立①②并解得：，，
则点，；
②在中，，
在中，，
，
，
，
，
若以，，为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑：
当时，，
，
设直线的解析式为，
将点、的坐标代入上式并解得：
直线的解析式为，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立直线、的表达式并解得：，故点，；
当时，，
，
，
直线的解析式为，
将上式与联立并解得：，
故点；
综合以上可得点的坐标为，或．
例2.如图,二次函数y＝ax2＋bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝ ,线段AD平行于x轴,交抛物线于点D. 在y轴上取一点C（0，2）,直线AC交抛物线于点B,连结OA、OB、OD、BD.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△COB的点E的坐标。
【解析】：
解：（1）∵y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），且对称轴是直线x＝﹣1.5，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2+3x；
（2）如图1，
∵点A（1，4），线段AD平行于x轴，
∴D的纵坐标为4，
∴4＝x2+3x，
∴x1＝﹣4，x2＝1，
∴D（﹣4，4）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴y＝2x+2；
当2x+2＝x2+3x时，
解得：x1＝﹣2，x2＝1（舍去）．
∴y＝﹣2．
∴B（﹣2，﹣2）．
∴DO＝4，BO＝2，BD＝2，OA＝．
∴DO2＝32，BO2＝8，BD2＝40，
∴DO2+BO2＝BD2，
∴△BDO为直角三角形．
∵△EOD∽△AOB，
∴∠EOD＝∠AOB，
＝2，
∴∠AOB﹣∠AOD＝∠EOD﹣∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOE＝90°．
即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A1
∴A1（4，﹣1），
∴E（8，﹣2）．
作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为（2，﹣8）．
∴当点E的坐标是（8，﹣2）或（2，﹣8）时，△EOD∽△AOB
过关检测（15mins）
1.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线，与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是轴上的一点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
【解答】解：（1）点，在抛物线上，
，
，
抛物线的表达式为，
（2）如图1，
令，则，
，
，
，
，，
要使以，，为顶点的三角形与相似，
，
则有或
①当时，
，
，
②当时，
，
，
即：的坐标为或．
2.在平面直角坐标系中，如图1，抛物线的对称轴为，与轴的交点与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现将该抛物线沿射线的方向进行平移，平移后的抛物线与直线的交点为、（点在点的下方），与轴的交点为，当△与△相似时，求出点的横坐标．
【解析】：
解：（1）由对称性可知
设抛物线解析式为
将代入得
．
（2）由点，得直线的解析式为
设点坐标为，由平移的性质，可知
平移距离为
当△与△相似时，只有当△△
过点作的平行线，交原抛物线于点，连接，
由平移知四边形为平行四边形，点的纵坐标为
设点的横坐标为，则点坐标为
，①
将点代入得
，②
联立①②，解得：，
，
，或（舍
点的横坐标为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
3.如图，已知抛物线经过点，点，直线经过点，交抛物线于点，点为轴下方抛物线上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点为抛物线的顶点时，在直线轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．


图1
【解析】：
4.如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标。
【解析】:
解：（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y1＝kx2+m（k＜0）的图象上，
∴ ∴
∴二次函数解析式为y1＝﹣x2+1，
∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y2＝ax2+b（a＞0）的图象上，
∴，
∴，
∴二次函数y2＝3x2﹣3；
（2）在Rt△AOD中，OA＝1，OD＝3，
∴AD＝＝，
同理：CD＝，
在Rt△BOC中，OB＝OC＝1，
∴BC＝＝，
①如图1，当△DBC∽△DAE时，
∵∠CDB＝∠ADO，
∴在y轴上存在E，由，
∴，
∴DE＝，
∵D（0，﹣3）， ∴E（0，﹣）
由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，
连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，
∵E，E'关于DA对称，
∴DF垂直平分线EE'，
∴△DEF∽△DAO，
∴，
∴，
∴DF＝，EF＝，
∵S△DEE'＝DE•E'M＝EF×DF＝，
∴E'M＝，
∵DE'＝DE＝，
在Rt△DE'M中，DM＝＝2，
∴OM＝1， ∴E'（，﹣1）
②如图2，
当△DBC∽△ADE时，有∠BDC＝∠DAE，，
∴，
∴AE＝，
当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，
∵∠BDC＝∠DAE＝∠ODA，
∴PD＝PA，
设PD＝n，
∴PO＝3﹣n，PA＝n，
在Rt△AOP中，PA2＝OA2+OP2，
∴n2＝（3﹣n）2+1，
∴n＝，
∴PA＝，PO＝，
∵AE＝，
∴PE＝，
在AEQ中，OP∥EQ，
∴，
∴OQ＝，
∵，
∴QE＝2，
∴E（﹣，﹣2），
当E'在直线DA右侧时，
根据勾股定理得，AE＝＝，
∴AE'＝
∵∠DAE'＝∠BDC，∠BDC＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠DAE'，
∴AE'∥OD，
∴E'（1，﹣），
综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，
即：（0，﹣）或（，﹣1）或（1，﹣）或（﹣，﹣2）．
三.已知三角形相似，求其他
例题4（高新二诊）、如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．
①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；
②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）将、、代入得，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）①将代入中，
得，解得或1（舍去），
，
、，
，，，
，
，
，
，
（Ⅰ）当时，
，
与点重合，
，
（Ⅱ）当时，
，
，
，
故：的长为或2；
②点的坐标为，或，，
（Ⅰ）过点作于点，过点作于点，
，
又，
，
，
，，
，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
又，
点的纵坐标为3，代入中，得：或0（舍去），
，
，，，
，
设，则，，
，
解得，，
点的橫坐标为，代入，得：，
点的坐标为，．
（Ⅱ）过点作，过点作于点，过点作于点，
，
，
由（Ⅰ）知：，则，
，
又，
，
，
，
，
由（Ⅰ）知：，
则，
设，则，
，，
，
，
，，又，
，代入中，得，或0（舍去），
，
点的橫坐标为，代入，得，．
点的坐标为．
综合以上可得点的坐标为，或．
过关检测1、（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的一动点，，直线与抛物线交于点，设直线的表达式为 ．
①如图①，直线与抛物线对称轴交于点，若，求、的值；
②如图②，直线与轴交于点，与直线交于点，若，求的值．
【解答】解：（1）将代入，
得，
，
抛物线的函数表达式为；
（2）①如图1，过点作，垂足为点，
在中，令，
得，，
，
设直线的解析式为，
将点代入，
得，
，
直线的表达式为，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
在 中，，
，，
，
，，
设，
在中，，，
，，
，，
将点，代入中，
得（不合题意，舍去），，
点，，
，
的表达式为，
将点，，代入，
得，
，
，；
②如图2，分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，
联立，
得点，，
联立，
得，
设点、的横坐标分别为，，
则，
由，
可得，，
，，
，
，
，
，
．
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日期：2020/5/22 21:57:38；用户：cdxdfcs1v11；邮箱：cdxdfcs1v11@xyh.cm；学号：27972458
学习任务
1. 抛物线经过原点O，顶点A（2，2），且与直线交于B、C两点。
（1）求抛物线的解析式及C点的坐标；
（2）若点N为x轴上一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O、M、N为顶点的三角形与∆ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】：
（2）
2.O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线同时经过A（0，3）、B（4，0）．
（1）求m，n的值；
（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由。

【解析】：
解：（1）∵抛物线y=mx2﹣x+n经过A（0，3）、B（4，0），
∴，
解得．
∴二次函数的表达式为y=x2﹣x+3．
（3）存在．
①当ON⊥AB时，（如图1）
可证：∠NOQ=∠OAB，∠OQN=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△OQN．
∴==，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∵ON•AB=OA•OB，
∴ON=，
∴NQ=，OQ=．
∴N（，）；
②当N为AB中点时，（如图2）
∠NOQ=∠B，∠AOB=∠NQO=90°，
∴△AOB∽△NQO．此时N（2，）．
∴满足条件的N（，）或N（2，）．
3. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】：
解：（1）
（2）
将点D的坐标代入中，求得
因此，满足条件的直线的函数表达式为
存在直线：或与线段BC交于点D（不与点B,C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为或.
4.已知点在抛物线上。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2,直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，点P从点C出发,沿射线CD方向匀速运动,速度为每秒个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，，求t的值。
【解析】：
解：（1）将A（﹣2，2）、B（8，12）代入y＝ax2+bx，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x．
（2）∵A（﹣2，2），B（8，12），
∴直线AB的解析式为y＝x+4（利用待定系数法求出），
∴点C的坐标为（﹣4，0）．
∵点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，
∴运动t秒后，点P的坐标为（﹣4+t，t），点Q的坐标为（t，0）．
如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点M作MG⊥x轴于点G，则NQ＝4．
∵∠PQN＝∠MQG，
∴△PQN∽△MQG．
①当点M在线段PQ内时，有＝＝＝＝，
∴MG＝PN＝t，GQ＝NQ＝3，
∴点M的坐标为（t﹣3，t），
∵点M在抛物线y＝x2﹣x上，
∴t＝（t﹣3）2﹣（t﹣3），
解得：t1＝，t2＝；
②当点M在线段PQ外时，有＝＝＝＝，
∴MG＝PN＝t，GQ＝NQ＝6，
∴点M的坐标为（t﹣6，t），
∵点M在抛物线y＝x2﹣x上，
∴t＝（t﹣6）2﹣（t﹣6），
解得：t3＝10+2，t4＝10﹣2．
综上所述：当运动时间为秒或10﹣2秒或秒或10+2秒时，QM＝3PM。