2024成都中考数学二轮复习专题：等角存在性问题

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题：等角存在性问题，共20页。试卷主要包含了方法突破，典例精析，中考真题对决等内容，欢迎下载使用。
除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．
回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：
（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；
（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；
（3）等腰三角形：等边对等角；
（4）全等（相似）三角形：对应角相等；
（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；
（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．
想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．
选择较多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的~
二、典例精析
例一：
如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C和点关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且，求点P的横坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）由题意得：坐标为（2，-4），
考虑到A、C、三点坐标均已知，故可求的三角函数值．
思路1：构造直角三角形
过点作⊥AC交AC于H点，不难求得H点坐标为（1，3），
故，，
∴，则．
转化“”为“”，即．
①当时，设PA解析式为，
将A（4，0）代入，得：，
联立方程：，解得：，，
故坐标为；
②当时，设PA解析式为，
将A（4，0）代入，得：，
联立方程：，解得：，，
故坐标为．
综上所述，P点坐标为或．
思路2：发现特殊角．
如图构造等腰直角三角形AMC，易解M点坐标为（4，-4），
故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°，
考虑，可知，
下同思路1求解P点坐标．
例二：
如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．
【分析】
（1），解得：．
抛物线：．
（2）思路：化角度正切值为“k”
令，解得：，，
即A点坐标为，B点坐标为（4，0）．
考虑C（0，-4）、D（1，-5），连接BC，易证△BCD是直角三角形，
，
若∠MCE=∠BDC，则tan∠MCE=4，．
设CE解析式为：，
又BD解析式为：，
联立方程：，解得：，
故M点坐标为．
例三：
如图，抛物线与两坐标轴相交于点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x>1，y>0时，求△BDF的面积的最大值；
②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
【分析】
（1）抛物线：，D点坐标为（1，4）；
（2）①铅垂法可解，当F坐标为（2，3）时，△BDF面积最大，最大值为1；
②思路1：构造平行线．
考虑到A、E、B三点均在x轴上，故可构造EF∥BD即可得角相等．
过点E作EF∥BD交抛物线与F点，
考虑到BD解析式：，
故可求EF的解析式为：，
联立方程：，
解得：，（舍）．
故F点坐标为．
将EF作关于x轴的对称，如图，交点亦为满足条件的F点，
且翻折后的直线解析式为：，
联立方程：，
解得：，（舍）．
故F点坐标为．
综上，F点坐标为或．
思路2：三角函数值．
设F点坐标为，
过F点作FH⊥x轴交x轴于H点，则H点坐标为，
，，
解得：，（舍），，（舍）．
故F点坐标为或．
三、中考真题对决
1.【2019海南中考】
如图，已知抛物线经过A（-5，0），B（-4，-3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）①当点P在直线BC上方时，如图，
过点B作DC的平行线，与抛物线交点即为P点，
不难求得直线BP解析式为：，
联立方程：，解得：，，
故P点坐标为（0，5）．
②当点P在直线BC下方时，
思路1：利用三角函数值．
连接BD，可得BD⊥BC，可得，
若∠PBC=∠BCD，则需满足，
但鉴于BC并非水平或竖直直线，故这个条件并不好用．
考虑到B、C点坐标的特殊性，可以发现，过点B作BM⊥x轴，易得△BMC是等腰直角三角形，即有∠MBC=∠MCB，
可转化问题“∠PBC=∠BCD”为“∠PBC+∠CBM=∠BCD+∠BCM”，
即∠PBM=∠DCM．
由题意得：，故，
转化为直线BP的条件即为“”，
可得直线BP解析式为：，
联立方程：，解得：，．
故P点坐标为．
综上所述，P点坐标为（0，5）或．
思路2：构造对称．
不难发现，情况①中的直线BP和情况②中的直线BP是关于直线BC对称，故两个BP的k相乘为1，可知情况②中的．
可知BP解析式：．
同思路1求得P点坐标．
2．（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；
解：（1）顶点的坐标为，
设抛物线的解析式为，将点代入，
得，
解得：，
，
该抛物线的解析式为；
（2）抛物线对称轴为直线，，
，
设直线解析式为，
，，
，
解得：，
直线解析式为，
过点作，交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
结合抛物线，可得，
解得：（舍，，
故，
过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，
，，
四边形是正方形，
设与轴交于点，则，
解得：，
，，
在轴下方作交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
即，
，
，
，
，
设直线解析式为，
，，
，
解得：，
直线解析式为，
结合抛物线，可得，
解得：（舍，，
，，
综上所述，符合条件的点坐标为：，，；
3．（2021•岳阳）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线经过点，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设抛物线的表达式为，
即，
即，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）将点的坐标代入直线的表达式得：，解得，
故直线的表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
由题意得，点、关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线，
故点的横坐标为，则，
设矩形周长为，则，
，故有最小值，
当时，矩形周长最小值为；
（3）当时，，即点的坐标为，，
由抛物线的表达式知，点的坐标为，，
过点作于点，
则，
同理可得，，
则，
，
故，
在中，，
故和重合，
故点和点重合，
即点的坐标为，
当点在直线的上方时，，，，
，
，
则点关于的对称点，
直线的解析式为，
由，解得或，
，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或，
4．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点的坐标为．点为抛物线上一动点，连接，，过点的直线与抛物线交于另一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点的横坐标与纵坐标相等，，且点位于轴上方，求点的坐标；
（3）若点的横坐标为，，请用含的代数式表示点的横坐标，并求出当时，点的横坐标的取值范围．
解：（1）抛物线，顶点的坐标为，
,,即抛物线为,
抛物线经过，即的图象过，
,解得,
抛物线表达为；
（2）在中，令得,
解得或,
或,
①当时，过作交抛物线于，此时，如图：
在中，令,得，
解得或,
,
设直线解析式为,将、代入得：
,解得,
直线解析式为,
,
设直线解析式为,将代入得,
直线解析式为,
由得（此时为点，舍去）或,
；
②当时，过作轴于,过作轴于，作关于的对称点，作直线交抛物线于,连接,如图：
,,
，，
中，,
,,
,,
中，,
,
关于的对称点,
,
,即是满足条件的点，
设,
关于的对称点,
，，
,
两式相减变形可得,代入即可解得 (此时为，舍去）或,
,,
设直线解析式为,将,,代入得；
,解得,
直线解析式为,
解得或（此时为,舍去），
,
综上所述，坐标为或；
（3）设交轴于，过作轴于，过作于,如图：
点的横坐标为，
,又，
,,,
,
,
且，
,
,即
,
,
,
设直线解析式为,
将代入得,
,
直线解析式为，
由得,
解得的横坐标）, ,
点的横坐标为；
当时，
,
时，最小值是12，此时,
当时，点的横坐标的取值范围是．
5．（2021•自贡）如图，抛物线（其中与轴交于、两点，交轴于点．
（1）直接写出的度数和线段的长（用表示）；
（2）若点为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）定义抛物线，令，可得或，
，，
令，得到，
，
，，
．
，
．
（2）是等腰直角三角形，
，
点是的外心，
，，
也是等腰直角三角形，
，
，
，
解得或不是分式方程的根舍弃），
抛物线的解析式为．
（3）作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接．
，，
，
，关于直线对称，
，
四边形是等腰梯形，
，
，
，
当点与点重合时满足条件，
．
作点关于直线的对称点，则，作直线交抛物线于，点满足条件，
，，
直线的解析式为，
由，解得（即点或，
，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或，．