2024成都中考数学二轮复习专题：面积定值、等值问题

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题：面积定值、等值问题，共17页。试卷主要包含了方法突破，典例精析，中考真题对决等内容，欢迎下载使用。
定值问题
【问题描述】
如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．
思路1：铅垂法列方程解．
根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，
设点P坐标为，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
则点Q坐标为（m，-m+3），
，
，
分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．
思路2：构造等积变形
同底等高三角形面积相等．
取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，
可知铅垂高为2，
在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，
交点即为满足条件的P点．
当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，
联立方程：，解之即可．
当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，
联立方程：，解之即可．
等值问题
【问题描述】
如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线上存在一点P使得△PBC的面积等于△BOC的面积，求点P坐标．
思路1：铅垂法
计算出△BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解．
思路2：构造等积变形
过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求P点，
另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点．
先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标．
二、典例精析
例一：在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．
（1）求、满足的关系式及的值．
（2）如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）点A坐标为（-2,0），点B坐标为（0,2），
代入解析式可得：c=2，4a-2b+2=0
（2）考虑A、B水平距离为2，△PAB的面积为1，故对应的铅垂高为1．
当a=-1时，可得b=-1，抛物线解析式为y=-x²-x+2．
取点C（0,3）作AB的平行线，其解析式为：y=x+3，
联立方程-x²-x+2=x+3，解得x=-1，故点坐标为（-1,2）
取点D（0,1）作AB的平行线，其解析式为：y=x+1，
联立方程-x²-x+2=x+1，解得，．
点坐标为、点坐标为．
例二：抛物线L：经过点A（0,1），与它的对称轴直线x=1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求的值．
【分析】
（1）解析式：；
（2）考虑到直线过定点Q（1,4），且M、N均为动点，故考虑用割补法．
，
分别过M、N作对称轴的垂线，垂足分别记为G、H，
，
考虑：
联立方程：，化简得，
，
∴，
解得：，（舍）．
故k的值为-3．
例三：如图，抛物线的图象过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】
（1）抛物线解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）将军饮马问题，作点C关于对称轴的对称点C’（2,3），连接AC’，与对称轴交点即为所求P点，可得P点坐标为（1,2），△PAC的周长亦可求．
（3）过点C作AP平行线与抛物线交点即为M点，联立方程得解；
记AP与y轴交点为Q点，作点C关于Q点的对称点点D，
过点D作AP的平行线，与抛物线在x轴上方部分的交点即为所求M点，
联立方程得解．
三、中考真题对决
1．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为3时，求的值；
解：（1）在中，令，得不成立，
函数的图象上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点” 或；
（2）在函数中，令，
解得：，
，，
在函数中，令，
解得：，
，，
轴，
，，
，
的面积为3，
，
当时，，
解得，
当时，，
△，
方程没有实数根，
当时，，
解得：，
综上所述，的值为或；
2．（2021•武汉）抛物线交轴于，两点在的左边）．
（1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上；
①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标．
②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标．
解：（1）对于，令，解得，令，则，
故点、的坐标分别为、，顶点坐标为，
①当时，，
由点、的坐标知，点向右平移1个单位向上平移3个单位得到点，
四边形为平行四边形，
故点向右平移1个单位向上平移3个单位得到点，
则，，
故点的坐标为，；
②设点，点的坐标为，
同理可得，点的坐标为，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
故点的坐标为；
连接，过点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线与点，
则，
解得（舍去）或2，
故点的坐标为；
3．（2021•海南）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为、点的坐标为．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（3）如图2，有两动点、在的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿折线按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题：
①当为何值时，的面积等于；
解：（1）抛物线经过，两点，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为；
（3）①在中，，
当动点运动到终点时，另一个动点也停止运动，
，，
在中，，
，
当运动时间为秒时，，
如图，
过点作轴，垂足为，
则，
，
，，
点的坐标为，，
下面分两种情形讨论：
Ⅰ、当点在线段上运动时，，
此时，点的坐标为，
，
当时，，
解得（舍去），，
；
Ⅱ、如图，当点在线段上运动时，，，
，
，
当时，
，
解得，，
又，
，
综上所述，当或时，；
4．（2021•鞍山）如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，是抛物线上的动点，点的横坐标为，交直线于点，交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
解：（1）抛物线交轴于点，，
将、坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）如图，是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：，
，
交直线于点，是抛物线上的动点，点的横坐标为，
，设，，
又的面积为，的面积为，，
，
，，即点分别是、的中点，
又，，，，
由中点坐标公式得：，
解得：（与“”不符，应舍去），，
，
，，，；
5．（2021•山西）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
（1）求、，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式．
（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．
①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长．
解：（1）当时，，
解得，，
，，
当时，，
，
，，
直线的函数表达式为，
，，
直线的函数表达式为；
（2）①存在：设点的坐标为，其中，
，，
，，，
，
当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
，
，
解得：，（舍去），
点的坐标为，
点的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
，
，
解得：，（舍去），
点的坐标为，，
点的坐标为，；
综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或，；
②设点的坐标为，其中，
，，
抛物线的对称轴为直线，
直线的函数表达式为，直线，
设直线的解析式为，
点的坐标，
，
，
抛物线的对称轴与直线交于点．
，
，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
点的坐标为，
点的坐标为，
，
答：的长为．
6．（2021•连云港）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，已知．
（1）求的值和直线对应的函数表达式；
（2）为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
解：（1）将代入，化简得，，
则（舍或，
，
．
，
设直线的函数表达式为，
将，代入表达式，可得，
，解得，，
直线的函数表达式为．
（2）如图，过点作，设直线交轴于点，将直线向下平移个单位，得到直线．
由（1）得直线的表达式为，，
直线的表达式为，
联立，解得，或，
或，
由直线的表达式可得，
，，
直线的表达式为：，
联立，
解得，，或，，
，，，，；
综上可得，符合题意的点的坐标为：，，，，，