2024广西北部湾中考数学二轮专题训练 题型五 阅读理解题 (含答案)

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例1【阅读理解】如图①，在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B、C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN.
证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME.在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC.
∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE，
即∠NMC＝∠MAE.BE＝AB－AE＝BC－MC＝BM，
∴∠BEM＝45°，
∴∠AEM＝135°，
∵N是∠DCP的平分线上一点，
∴∠NCP＝45°，
∴∠MCN＝135 °，
在△AEM与△MCN中，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠MAE＝∠NMC,AE＝MC,∠AEM＝∠MCN))，∴△AEM≌△MCN(ASA)， 例1题图
∴AM＝MN；
【类比探究】如图②，在等边△ABC中，M是BC边(不含端点B、C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．则∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．
【思维教练】要证AM＝MN，可证AM与MN所在的三角形全等，借鉴题干所给证明方法，可在边AB上截取AE＝CM，证得AM与MN所在的三角形全等，即可求证AM＝MN；
【解决问题】若将【阅读理解】题干中的”正方形ABCD”改为”正六边形ABCDEF，请直接写出当∠AMN的度数为多少时，结论AM＝MN仍然成立．
【思维教练】由【阅读理解】和【类比探究】可知，∠AMN等于它所在的正多边形的一个内角，即等于eq \f(（n－2）180°,n)时，结论AM＝MN仍然成立．
针对演练
1. 【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等，如图①，在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F.
∴∠AEF＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF.
∵l1∥l2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE＝DF.
又S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AE，S△DBC＝eq \f(1,2)BC·DF，∴S△ABC＝S△DBC.
第1题图①
【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE, AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．
解：如图②，过点E作EF⊥CD于点F，连接AF.
请将余下的求解步骤补充完整．
第1题图②
【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．
第1题图③
类型二 新定义类阅读理解
典例精讲
例2 我们定义：有一组对角互补的四边形叫做对角互补四边形．
(1)如图①，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，且BE＝AF，∠B ＝ 60°，求证：四边形AECF为对角互补四边形；
【思维教练】要证四边形AECF为对角互补四边形，需证∠AFC＋∠AEC＝180°，由菱形的性质和∠B＝60°可知△ABC为等边三角形，再由BE＝AF可得△BCE≌△ACF，进而得到∠BEC＝∠AFC，即可得证．
例2题图①
如图②，四边形ABCD为对角互补四边形，且∠BAD ＝60°，AB ＝AD，求证：CA ＝ CB ＋ CD;
【思维教练】延长CB至点M，使BM＝CD，要证CA＝CB＋CD，即证CM＝CA.由对角互补四边形的性质可得∠ADC＝∠ABM，即可证△CAD≌△MAB，再结合∠BAD＝60°可得△ACM是等边三角形，等量代换即可得证．
例2题图②
如图③，在平行四边形ABCD中，AD＝3AB，E、F分别是AB、AD上的点，且四边形AECF为对角互补四边形，若CF＝3，求CE的长．
【思维教练】过点C作CN⊥AD于点N，CM⊥BA交BA的延长线于点M，CM与AD交于点H.由对角互补四边形的性质可得∠CFN＝∠AEC，易证△CFN∽△CEM，即eq \f(CF,CE)＝eq \f(CN,CM)，再根据CM与CN的比例关系求解CE的长即可．
例2题图③
针对演练
2. 阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
(1)已知点A的坐标为(2，0)．
①若点B的坐标为(4，4)，则点A、B的“相关矩形”的周长为________；
②若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
已知点P的坐标为(3，－4)，点Q的坐标为(6，－2)．若使函数y＝eq \f(k,x)的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围．

第2题图 备用图① 备用图②
类型三 数学文化类阅读理解
典例精讲
例3 阅读下列材料，并完成相应任务．
黄金分割
天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，19世纪以后“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为eq \f(\r(5)－1,2).用下面的方法(如图①)就可以作出已知线段AB的黄金分割点H：
①以线段AB为边作正方形ABCD，
②取AD的中点E，连接BE，
③延长DA到F，使EF＝BE，
④以线段AF为边作正方形AFGH，
点H就是线段AB的黄金分割点． 例3题图①
以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程：
证明：设正方形ABCD的边长为1，则AB＝AD＝1，
∵点E为AD的中点，∴AE＝eq \f(1,2)，
∴在Rt△BAE中，BE＝eq \r(AB2＋AE2)＝eq \r(12＋（\f(1,2)）2)＝eq \f(\r(5),2).
∵EF＝BE，∴EF＝eq \f(\r(5),2)，
∴AF＝EF－AE＝eq \f(\r(5)－1,2)，
…
任务：
(1)补全题中的证明过程；
（2）如图②，点C为线段AB的黄金分割点，以AC为边在线段AB上方作正方形ACDE，连接BD、BE.求证：△EAB∽△BCD；
【思维教练】由正方形的性质可得线段关系，由黄金分割点可得线段比例eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，等量代换可得eq \f(DC,AB)＝eq \f(BC,AE)，则三角形相似可证．
例3题图②
如图③，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M.求证：点M是AD的黄金分割点．
【思维教练】要证点M是AD的黄金分割点即需证eq \f(DM,AD)＝eq \f(AM,MD)，由正五边形的性质可推导出△AME∽△AED，得到线段比例关系即可得证．
例3题图③
针对演练
3. (1)阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
(2)问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；
(3)拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d.
已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α (0°