2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型十一 建立函数模型解决实际问题 （含答案）

这是一份2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型十一 建立函数模型解决实际问题 （含答案），共6页。试卷主要包含了建立函数模型解决实际问题等内容，欢迎下载使用。

典例精讲
例 甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m.
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
【思维教练】根据已知得到A、B两点的坐标，设出顶点式，代入即可求解．
例题图
(2)一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4 m时，桥下水位刚好在OA处．有一名身高1.68 m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)；
【思维教练】根据题干条件得到工人到点O的距离为1 m，计算出当x＝1时y的值，将该数值与工人的身高进行比较，即可判断工人的头顶是否会触碰到桥拱．
(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
【思维教练】先画出函数图象，结合二次函数的增减性，找到平移的最大距离及最小距离，即可确定m的取值范围．
例题图③
针对演练
1. 2022年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15)
(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；
(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
2．为进一步缓解城市交通压力，贵阳推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数(称为存量)情况，表格中x＝1时的y值表示8：00点时的存量，x＝2时的y值表示9：00点时的存量，…，以此类推，他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系.
根据所给图表信息，解决下列问题：
(1)m＝________，解释m的实际意义：__________________________________________；
第2题图
(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；
(3)已知10：00～11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．
参考答案
典例精讲
例 解：(1)由题意得，水面宽OA是8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m，
结合函数图象可知，顶点B(4，4)，点O(0，0)，
设二次函数的表达式为y＝a(x－4)2＋4，
将O(0，0)代入函数表达式，
解得a＝－eq \f(1,4)，
∴二次函数的表达式为y＝－eq \f(1,4)(x－4)2＋4，
即y＝－eq \f(1,4)x2＋2x(0≤x≤8)；(3分)
(2)工人不会碰到头．理由如下：
∵小船距O点0.4 m，小船宽1.2 m，工人直立在小船中间，
由题意得，工人距点O的距离为0.4＋eq \f(1,2)×1.2＝1，
∴将x＝1代入y＝－eq \f(1,4)x2＋2x，
解得y＝eq \f(7,4)＝1.75；
∵1.75 m＞1.68 m，
∴此时工人不会碰到头；(7分)
(3)∵抛物线y＝－eq \f(1,4)x2＋2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称，如解图①，新函数图象的对称轴也是直线x＝4，
此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，如解图②，
∵平移不改变图形形状和大小，
∴平称后函数图象的对称轴是直线x＝4＋m，
∴当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围是：
①m≤8且4＋m≥9，得5≤m≤8，
②8＋m≤8，得m≤0，
由题意得m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去．
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8.(12分)
图①
图②
例题解图
针对演练
1. 解：(1)由表格中数据的变化趋势可知，
①当0≤x≤9时，y是x的二次函数，
∵当x＝0时，y＝0，
∴二次函数的关系式可设为y＝ax2＋bx，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(170＝a＋b，,450＝9a＋3b，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－10，,b＝180.))
∴二次函数的关系式为y＝－10x2＋180x；
②当9∴y与x之间的函数关系式为
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－10x2＋180x（0≤x≤9），,810（9(2)设第x分钟时的排队人数是W人，根据题意，得
W＝y－40x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－10x2＋140x（0≤x≤9），,810－40x（9①当0≤x≤9时，W＝－10x2＋140x＝－10(x－7)2＋490，
∴当x＝7时，W最大＝490；
②当9＜x≤15时，W＝810－40x，W随x的增大而减小，
∴210≤W＜450，
∴排队人数最多时是490人，
要全部考生都完成体温检测，根据题意得810－40x＝0，
解得x＝20.25，
答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(8分)
(3)设从一开始就应该增加m个检测点，由题意得12×20(m＋2)≥810，
解得m≥eq \f(11,8).
∵m是整数，
∴m≥eq \f(11,8)的最小整数是2，
∴从一开始就应该至少增加2个检测点．(12分)
2．解：(1)13，7：00时自行车的存量；
【解法提示】m＋7－5＝15，m＝13，m的实际意义是7：00时自行车的存量．
(2)由题意得，n＝15＋8－7＝16，
设二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c，
把(0，13)、(1，15)和(2，16)分别代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝13，,a＋b＋c＝15，,4a＋2b＋c＝16，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝\f(5,2)，,c＝13，))
∴二次函数关系式为y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(5,2)x＋13；
(3)当x＝3时，y＝－eq \f(1,2)×32＋eq \f(5,2)×3＋13＝16，
当x＝4时，y＝－eq \f(1,2)×42＋eq \f(5,2)×4＋13＝15，
设10：00～11：00这个时段的借车数为t，则还车数为2t－4，
根据题意得，16＋2t－4－t＝15，
∴t＝3，
∴10：00～11：00这个时段的借车数为3辆．
时间x(分钟)
0
1
2
3
4
5
人数y(人)
0
170
320
450
560
650
时间x(分钟)
6
7
8
9
9～15
人数y(人)
720
770
800
810
810
时段
x
还车数
借车数
存量y
7：00～8：00
1
7
5
15
8：00～9：00
2
8
7
n
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