2024贵州中考数学二轮复习专题 题型七 圆的综合题专项训练 （含答案）

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例1 (一题多设问)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E为AC边上一点，以AE为直径的⊙O与AB，BC分别交于点F，D，且eq \(DF,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))，连接DE，AD.
求证：BC是⊙O的切线；
例1题图
求证：∠DEC＝∠ADC；
(3)若∠C＝30°，求证：DE＝2BF；
(4)若点E为OC的中点，⊙O的半径为3，求BD的长；
(5)若点F是劣弧AD的中点，且CE＝4，试求阴影部分的面积．
针对演练
1. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，连接BC，点D是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，连接AD交BC于点E，点F是BC延长线上一点，连接AF，且EF＝AF.
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若AB＝3eq \r(5)，sinF＝eq \f(\r(5),3)，求CE的长．
第1题图
2.(2023贵阳23题12分)如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN.
第2题图
(1)EM与BE的数量关系是__________________；
(2)求证：eq \(EB,\s\up8(︵))＝eq \(CN,\s\up8(︵))；
(3)若AM＝eq \r(3)，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
参考答案
典例精讲
例1 (1)证明：如解图，连接DO，
∵eq \(DF,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))，
∴∠FAD＝∠DAE＝eq \f(1,2)∠FAE，
∵∠DAE＝eq \f(1,2)∠DOE，
∴∠FAE＝∠DOE，
∴DO∥AB，
根据题意可知AB⊥BC，
∴DO⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)证明：如解图，∵AE为⊙O的直径，OA＝OD，
∴∠ADO＋∠EDO＝∠ADE＝90°，
∠ADO＝∠DAO，
由(1)可知∠CDE＋∠EDO＝90°，
∴∠DAO＝∠CDE，
∵∠DEC＝180°－∠C－∠CDE，
∠ADC＝180°－∠C－∠DAO，
∴∠DEC＝∠ADC；
(3)证明：如解图，连接OF、DF，
∵∠ODC＝90°，∠C＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵eq \(DE,\s\up8(︵))＝eq \(DF,\s\up8(︵))，
∴∠DOF＝∠DOE＝60°，DF＝DE，
∴∠ODF＝60°，
∵∠ODB＝90°，
∴∠FDB＝30°，
∴BF＝eq \f(1,2)DF，
∴BF＝eq \f(1,2)DE，
∴DE＝2BF；
(4)解：如解图，∵点E为OC的中点，⊙O的半径为3，
∴OC＝2OE＝6，
∵OD＝3，
∴CD＝eq \r(OC2－OD2)＝3eq \r(3)，
∵∠CDO＝∠B＝90°，
∠C＝∠C，
∴△DCO∽△BCA，
∴eq \f(BD,CD)＝eq \f(AO,CO)，
即eq \f(BD,3\r(3))＝eq \f(3,6)，
∴BD＝eq \f(3\r(3),2)；
(5)解：如解图，连接FO交AD于点G，
则DO＝EO＝AO，
根据题意点F是劣弧AD的中点，且eq \(DE,\s\up8(︵))＝eq \(DF,\s\up8(︵))，
∴∠AOF＝∠DOF＝∠EOD＝eq \f(1,3)×180°＝60°，
∴△OAF和△ODE是等边三角形，
∴∠C＝90°－∠COD＝30°，
∴OD＝OE＝CE＝eq \f(1,2)CO＝4，
由(1)可知DO∥AB，
∴∠ODA＝∠DAF，
在△ODG和△FAG中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠OGD＝∠FGA,∠ODG＝∠FAG,OD＝FA))，
∴△ODG≌△FAG(AAS)，
∴S△ODG＝S△FAG，
∴S阴影部分＝S扇形DOF＝eq \f(60π·42,360)＝eq \f(8π,3).
例1题解图
针对演练
1. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠AEC＝90°.
∵点D是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，
∴∠CAD＝∠BAD.
∵EF＝AF，
∴∠FAE＝∠AEC，
∴∠FAE＋∠BAD＝∠AEC＋∠CAD＝90°，
∴∠BAF＝90°，
即BA⊥AF.
∵AB是⊙O的直径，
∴AF是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△ABF中，∵AB＝3eq \r(5)，sinF＝eq \f(\r(5),3)，
∴BF＝eq \f(AB,sinF)＝eq \f(3\r(5),\f(\r(5),3))＝9，
∴AF＝eq \r(BF2－AB2)＝6.
在Rt△ACF中，AC＝AF·sinF＝6×eq \f(\r(5),3)＝2eq \r(5)，
∴CF＝eq \r(AF2－AC2)＝4.
∵EF＝AF＝6，
∴CE＝EF－CF＝2.
2. (1)解：eq \r(2)EM＝BE；
【解法提示】∵AC为直径，E是eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，
∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△EMB为等腰直角三角形，∴eq \r(2)EM＝BE.
(2)证明：如解图，连接AE、EC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝∠EMA＝90°，
∴∠AEM＋∠EAM＝∠AEM＋∠NEC，
∴∠EAB＝∠NEC，
∴eq \(EB,\s\up8(︵))＝eq \(CN,\s\up8(︵))；
(3)解：如解图，连接OE、ON、OB.
由(1)得，∠ABE＝∠BEM＝45°.
∵MB＝1，
∴EM＝MB＝1.
∴EB＝eq \r(2).
在Rt△AEM中，AM＝eq \r(3)，
∴AE＝eq \r(AM2＋ME2)＝2.
∴∠EAB＝30°，∴∠EOB＝60°.
∴△EOB是等边三角形，
在Rt△AOE中，AO2＋OE2＝AE2.
又∵OA＝OE＝r，
∴2r2＝4，解得r＝eq \r(2)，
∵eq \(EB,\s\up8(︵))＝eq \(CN,\s\up8(︵))，
∴BE＝CN.
∴△OEB≌△OCN，∠CON＝∠EOB＝60°
∴S阴影＝S扇形CON－S△CON
＝eq \f(60π×（\r(2)）2,360)－eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)×eq \r(2)
＝eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2).
第2题解图