2024河南中考数学二轮专题训练 微专题 与线段有关的最值问题 (含答案)

这是一份2024河南中考数学二轮专题训练 微专题 与线段有关的最值问题 (含答案)，共15页。试卷主要包含了一定一动，一定两动，两定一动等内容，欢迎下载使用。

一、一定一动(点到直线的所有线段中，垂线段最短)
模型分析
如图，点P在直线l外，过点P作直线l的垂线PH，则点P到直线l的最短距离为PH，即“垂线段最短”．
模型应用
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若AD＝5，AC＝4，则DE的最小值为( )
第1题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 如图，在Rt△AOB中，OB＝2eq \r(3)，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为________．
第2题图
二、一定两动(利用垂线段最短求两条线段和的最小值)
模型分析
问题：点P是∠AOB的内部或边上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋MN的值最小．
解决：
模型应用
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是________．
第3题图
三、两定一动(“胡不归”问题)
模型分析
问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，要使kAP＋BP(0方法：一找：找带有系数k的线段AP；
二构：构造以线段AP为斜边的直角三角形；
①以定点A为顶点作∠NAP，使sin∠NAP＝k；
②过动点P作垂线，构造Rt△APE；
三转化：化折为直，将kAP转化为PE；
四求解：使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂线段最短”转化为求BF的长．
模型应用
4. 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋eq \f(1,2)PB的最小值是________．
第4题图
模型迁移
5. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2－3x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B(0，－4)，若P是x轴上一动点，点D(0，1)在y轴上，连接PD，则eq \r(2)PD＋PC的最小值是( )
第5题图
A. 5 B. 2＋2eq \r(2) C. 2eq \r(2) D. eq \f(3,2)＋eq \f(2\r(2),3)
类型二 利用两点之间的线段最短求最值eq \a\vs4\al\c1()
模型一 “一线两点”型(一动两定)
一、利用两点之间线段最短求线段和最小值
模型分析
(1)异侧线段和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．
解决：
结论：两点之间线段最短．
(2)同侧线段和最小值问题
问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小．
解决：
结论：将同侧两定点转化为异侧两定点问题，同(1)即可解决．
模型应用
6. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为________．
第6题图
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点，若AB＝13，△ABC的周长是36.则PB＋PH的最小值为________．
第7题图
模型迁移
8. 如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝________．
第8题图
二、利用两点之间线段最短求线段差最大值
模型分析
(1)同侧线段差最大值问题
问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
解决：
结论：两点之间线段最短．
(2)异侧线段差最大值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
解决：
结论：将异侧两定点转化为同侧两定点问题，同(1)即可解决．
模型应用
9.如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点F是对角线BD上靠近点B的三等分点，点E是AD边上的一点，且DE＝2.P为BC上一点，则PE－PF的最大值是________．
第9题图
10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6.P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为______．
第10题图
模型迁移
11. 已知抛物线y＝x2－2x－8与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴上的一个动点，则当|PB－PC|达到最大值时，点P的坐标为____________．
第11题图
模型二 “一点两线”型(两动一定)
利用两点之间线段最短求周长最小值
模型分析
问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．
解决：
模型应用
12. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD＝eq \r(3)，点M、N分别是AB、AD上的动点，则△CMN周长的最小值为________．
第12题图
模型三 “一定长、两定点”型
一、异侧线段和最小值问题(“造桥”问题)
模型分析
问题：已知l1∥l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2上分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB的值最小．
解决：
模型应用
13. 如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF最小值为________．
第13题图
二、同侧线段和最小值问题
模型分析
问题：在直线l上找M、N两点(M在N左侧)，使得MN＝d，且AM＋MN＋NB的值最小．
解决：
模型应用
14. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝12，∠ABC＝60°，点E、F是AD边上的动点，且EF＝2，则四边形BEFC周长的最小值为____________．
第14题图
类型三 利用三角形三边关系求最值eq \a\vs4\al\c1()
模型分析
背景展示 如图，已知点A、点B是平面内固定的两点，AB＝m，点C是同一平面内一动点且BC＝n(m>n)．
(1)连接AC、BC.在△ABC中，根据三边关系，有AB－BC(2)当点A，B，C三点共线时，①点C在线段AB上，AC有最小值为AB－BC，即m－n；
②点C在线段AB的延长线上，AC有最大值为AB＋BC，即m＋n；
③点C在线段BA的延长线上，AC有最小值BC－AB，即n－m.
模型应用
15. 如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为________．
第15题图
参考答案
1. A 【解析】在Rt△ACD 中，∵AD＝5，AC＝4，∴CD＝eq \r(AD2－AC2)＝eq \r(52－42)＝3，当DE⊥AB时，DE的值最小，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE的最小值为3.
2. 2eq \r(2) 【解析】如解图，连接OP、OQ，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ＝eq \r(OP2－OQ2)，∵OQ为⊙O的半径，为定值，故当OP最小时，PQ可取得最小值，又∵OP⊥AB时，OP取得最小值，此时OP·AB＝OB·AO，∵OB＝2eq \r(3)，∠A＝30°，∴AO＝6，AB＝4eq \r(3)，∴OP＝eq \f(1,2)AO＝3，∴PQ的最小值为eq \r(32－12)＝2eq \r(2).
第2题解图
3. eq \f(24,5) 【解析】如解图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，此时PC＋PQ有最小值，即为CM，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(62＋82)＝10，∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CM＝eq \f(1,2)AC·BC，∴CM＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(6×8,10)＝eq \f(24,5).
第3题解图
4. eq \f(7\r(3),2) 【解析】如解图，过点P作PQ⊥BC于点Q，过点M作MN⊥BC于点N.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵AB＝AC＝10，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PQ＝eq \f(1,2)BP，∴MP＋eq \f(1,2)BP＝MP＋PQ.由两点之间线段最短可知，当M、P、Q三点共线，即点Q与点N重合时，MP＋PQ取得最小值，最小值为MN的长．∵AM＝3，∴CM＝AC－AM＝7.∴MN＝eq \f(\r(3),2)CM＝eq \f(7\r(3),2)，∴MP＋eq \f(1,2)BP的最小值为eq \f(7\r(3),2).
第4题解图
5. A 【解析】如解图，过点P作PJ⊥BC于点J，过点D作DH⊥BC于点H.∵二次函数y＝x2－3x＋c的图象与y轴交于点B(0，－4)，∴c＝－4，∴二次函数的解析式为y＝x2－3x－4，令y＝0，解得x＝－1或x＝4，∴A(－1，0)，C(4，0)，∴OB＝OC＝4，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D(0，1)，∴OD＝1，BD＝5，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∴DH＝BD·sin45°＝5×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(5\r(2),2)，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJ＝eq \f(\r(2),2)PC，∴eq \r(2)PD＋PC＝eq \r(2)(PD＋eq \f(\r(2),2)PC)＝eq \r(2)(DP＋PJ)，∵DP＋PJ≥DH，∴DP＋PJ≥eq \f(5\r(2),2)，∴DP＋PJ的最小值为eq \f(5\r(2),2)，∴eq \r(2)PD＋PC的最小值为eq \f(5\r(2),2)×eq \r(2)＝5.
第5题解图
6. 2eq \r(3) 【解析】如解图，连接CE交AD于点F′，∵EF＋CF≥EF′＋CF′＝CE，∴当点F与点F′重合时，EF＋CF有最小值，且最小值为线段CE的长，∵AB＝4，AE＝2，∴由等边三角形性质可知CE⊥AB，∴CE＝eq \r(AC2－AE2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).
第6题解图
7. 12 【解析】如解图，连接AP，AH，∵MN是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线MN的对称点为点A，∴AP＝BP，∴BP＋PH＝AP＋PH≥AH，∴AH的长为BP＋PH的最小值，∵AB＝AC＝13，△ABC的周长为36，∴BC＝36－2×13＝10，∵H是BC中点，∴BH＝eq \f(1,2)BC＝5，∵△ABC是等腰三角形，点H是BC中点，∴AH⊥BC，∴AH＝eq \r(AB2－BH2)＝eq \r(132－52)＝12，∴BP＋PH的最小值为12.
第7题解图
8. eq \f(12,5) 【解析】如解图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴交于点P，则此时△PAB的周长最小，根据题意，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋1,y＝x2－4x＋5))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝5))，∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(4，5)，∴AB＝eq \r(（5－2）2＋（4－1）2)＝3eq \r(2)，∴点A′的坐标为(－1，2)，点B的坐标为(4，5)，设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，将点A′、点B的坐标代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝－k＋b,5＝4k＋b))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(3,5),b＝\f(13,5)))，∴直线A′B的解析式为y＝eq \f(3,5)x＋eq \f(13,5)，当x＝0时，y＝eq \f(13,5)，点P的坐标为(0，eq \f(13,5))，将x＝0代入直线y＝x＋1中，得y＝1，∵直线y＝x＋1与y轴的夹角是45°，∴△PAB的高为(eq \f(13,5)－1)·sin45°＝eq \f(4\r(2),5)，∴S△PAB＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)×eq \f(4\r(2),5)＝eq \f(12,5).
第8题解图
9. 2eq \r(5) 【解析】如解图，延长EF与BC交于点P，过点P作PM⊥AD于点M，过点F作FG⊥AD于点G，延长GF交BC于点H，∴PE－PF的最大值即为EF的值．∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝8，∴△PFB∽△EFD，∴eq \f(BF,DF)＝eq \f(BP,DE)＝eq \f(PF,EF)，∵点F是对角线BD上靠边点B的三等分点，∴eq \f(PF,EF)＝eq \f(BF,DF)＝eq \f(1,2)，∵DE＝2，∴BP＝1，，∵AD∥BC，∴△PFH∽△EFG，∴eq \f(PH,EG)＝eq \f(PF,EF)＝eq \f(FH,FG)＝eq \f(1,2)，∴FG＝4，∵AM＝BP＝1，DE＝2，∴ME＝3，∵eq \f(PH,GE)＝eq \f(MG,GE)＝eq \f(1,2)，∴GE＝2，∴EF＝eq \r(GE2＋GF2)＝2eq \r(5).
第9题解图
10. 2 【解析】如解图，作点N关于直线BD的对称点G，连接MG并延长交BD于点P′，此时PM－PN有最大值，最大值为线段GM的长，∵点N为OA的中点，∴点G为OC的中点，过点O作OH⊥BC交BC于点H，由正方形的性质可知，OH＝HC＝eq \f(1,2)BC＝4，∵BM＝6，∴CM＝2，∴点M为CH的中点，∴GM为△COH的中位线，∴GM＝eq \f(1,2)OH＝2.
第10题解图
11. (1，－12) 【解析】如解图，连接PA，则PA＝PB，当x＝0时，y＝x2－2x－8＝－8，则C(0，－8)，当y＝0时，x2－2x－8＝0，解得x1＝－2，x2＝4，则A(－2，0)，B(4，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴|PB－PC|＝|PA－PC|≤AC(当点A、C、P共线时取等号)，延长AC交直线x＝1于点P′，设直线AC的解析式为y＝mx＋n，把A(－2，0)，C(0，－8)代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2m＋n＝0,n＝－8))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－4,n＝－8))，∴直线AC的解析式为y＝－4x－8，当x＝1时，y＝－4－8＝－12，即P′(1，－12)，∴当|PB－PC|达到最大值时，点P的坐标为(1，－12)．
第11题解图
12. 2eq \r(3) 【解析】如解图，连接BD，作点C分别关于AB、AD的对称点E、F，连接EM，FN，则CM＝EM，CN＝FN，∴CM＋MN＋CN＝EM＋MN＋FN，∴当点E，M，N，F在同一直线上时，EM＋MN＋FN的最小值等于线段EF的长，∵点B，D分别是CE，CF的中点，∴此时BD是△CEF的中位线，∴EF＝2BD，又∵∠A＝60°，AB＝AD＝eq \r(3)，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝eq \r(3)，∴EF＝2eq \r(3)，∴CM＋MN＋CN的最小值为2eq \r(3)，∴△CMN周长的最小值为2eq \r(3).
第12题解图
13. eq \r(10) 【解析】如解图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于点F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE＋BF＝FM＋FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE＋FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°，∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，∴DE＋BF的最小值为eq \r(10).
第13题解图
14. 14＋2eq \r(37) 【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B′，作点B′关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF＝2，连接B′F，则BE＝B′F，B″F＝B′F，此时四边形BEFC的周长为BE＋EF＋FC＋BC＝B″F＋EF＋FC＋BC＝B″C＋EF＋BC，当点C、F、B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．∵AB＝4，BB′＝2，∠ABC＝60°，∴B′B″经过点A.∴AB′＝2eq \r(3).∴B′B″＝4eq \r(3).∵BC＝12，∴B′C＝10.∴B″C＝eq \r(B′B″2＋B′C2)＝2eq \r(37).∴B″C＋EF＋BC＝14＋2eq \r(37).∴四边形BEFC周长的最小值为14＋2eq \r(37).
第14题解图
15. eq \r(2)＋1 【解析】如解图，作AD的中点P，连接OP，CP，∵∠AOD＝90°，P是AD的中点，AD＝BC＝2，∴OP＝1，∵CD＝AB＝1，∴CP＝eq \r(CD2＋DP2)＝eq \r(2).在这个运动过程中，∵OP，CP的大小不变，OC≤CP＋OF＝eq \r(2)＋1∴当C，P，O三点共线时，点C到原点O的距离最大，为CP＋OP＝eq \r(2)＋1.
第15题解图