第04讲 二次根式 试卷（含详解答案）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘

这是一份第04讲 二次根式 试卷（含详解答案）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘，共21页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．已知实数x，y满足（x-）（y- ）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（ ）
A．-2008B．2008C．-1D．1
2．下列根式中，是最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
3．化简：的结果是（ ）
A．6B．C．D．
4．记，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知的三边长为，，，有以下三个结论：（1）以，，为边长的三角形一定存在；（2）以，，为边长的三角形一定存在；（3）以，，为边长的三角形一定存在．其中正确结论的个数是（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（ ）
A．-5B．1C．13D．19-4k
7．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（ ）
A．2B．0C．-2D．-1
8．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、解答题
9．求的值．
解：设x=，两边平方得：，即，x2=10
∴x=．
∵＞0，∴=．
请利用上述方法，求的值．
10．先化简，再求值：，其中．
11．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1：
例2：，，…
（1）= ；
（2）请你用含n (n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用上面的规律，求下面式子的值：
12．（1）已知，求，的值．
（2）化简的结果是______．
13．若实数x，y满足（x﹣）（y﹣）＝2016．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．
14．阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.
例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是.
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.
例如：，

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为______，的有理化因式为______.(均写出一个即可)
(2)将下列各式分母有理化(要求写出变形过程)：
①.
②.
(3)请从下列A，B两题中任选一题作答，我选择题.
A计算：的结果为______.
B计算：的结果为_____.
15．阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝ （1）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝ （2）
①请参照（1）（2）的方法用两种方法化简：
方法一： ＝
方法二： ＝
②直接写出化简结果： ＝ ＝
③计算： + + +…+ +
16．定义，求+…++…+的值.
17．设，，求为何值时，代数式的值为2001.
18．阅读下列两则材料，回答问题：
材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的去掉.例如：已知，求 的值．解：，
材料二：如图，点，点，以AB为斜边作，则，于是，，所以.反之，可将代数式的值看作点到点的距离.
例如：=．
所以可将代数式的值看作点到点的距离．
利用材料一，解关于x的方程：，其中；
利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；
将所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入中解出x，直接写出x的值．
19．经研究发现：，由于30没有大于1的平方约数，因此为有理数的条件是正整数（其中t为正整数）．
(1)若正整数a使得，则a的值为_________．
(2)已知a、b、c是正整数，满足．当时，称为“三元数组”．
①若为“三元数组”，且，则________；
②若为“三元数组”，且，则________，________；
③“三元数组”共有_________个．
三、填空题
20．计算，所得的结果是______.
21．已知，是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有________对．
22．已知，则=_______
23．设表示最接近的整数(，为整数)，则的值为______.
24．观察下列等式：
第1个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
按上述规律，计算___________．
参考答案：
1．D
【详解】由（x-）（y- ）=2008，可知将方程中的x,y对换位置，关系式不变，
那么说明x=y是方程的一个解
由此可以解得x=y=，或者x=y=-，
则3x2-2y2+3x-3y-2007=1，
故选D.
2．C
【详解】解：A．，不是最简二次根式；
B．=2，不是最简二次根式；
C．是最简二次根式；
D．，不是最简二次根式；
故选C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
3．D
【分析】利用完全平方公式化简即可.
【详解】





故选D
【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
4．D
【分析】利用完全平方公式可化简为，再利用二次根式的性质即可开方，再分别取k=1，2，3，4，…，n，并相加求得，取n=2016即可求得结果．
【详解】．
所以，
故
．
所以．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的化简及运算、二次根式的性质，就中项的一般形式化简是本题的关键．
5．C
【分析】不妨设0＜a≤b≤c，利用作差法求出（＋）2－（）2的符号和三角形的三边关系即可判断（1）；利用举反例的方法即可判断（2）；假设≤≤，根据绝对值的性质：和三角形的三边关系，即可得出结论．
【详解】解：的三边长为，，，不妨设0＜a≤b≤c，
∴a＋b＞c，＜＜
则（＋）2－（）2
=
=
∵
∴＞0
∴（＋）2＞（）2
∴＋＞
∴以，，为边长的三角形一定存在，故（1）正确；
令a=2，b=3，c=4，此时a＋b＞c，符合条件
此时＋=13，=16，
∴＋＜
∴以，，为边长的三角形不一定存在，故（2）错误；
假设≤≤
根据绝对值的性质：＋≥=
∴＋＋2＞
∴＋＞
∴以，，为边长的三角形一定存在，故（3）正确．
综上：正确的有2个
故选C．
【点睛】此题考查的是三角形的三边关系、二次根式的运算和绝对值的性质，掌握三角形的三边关系、二次根式的运算法则、利用举反例说明假命题和绝对值的性质是解决此题的关键．
6．B
【详解】由三角形三边关系得：2＜k＜4，，，所以原式等于，所以选B．
7．C
【分析】先化简，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a和b的值，再代入计算即可．
【详解】解：==1．
∵方程x2+ax+b=0的一根是，
∴++b=0．
∴．
∴．
∵、是整数，
∴
解得
∴==．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键．
8．B
【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可．
【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为；
，它的整数部分为4，小数部分为；
，它的整数部分为5，小数部分为；
，它的整数部分为7，小数部分为；
，它的整数部分为8，小数部分为；
，它的整数部分为10，小数部分为；
∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为；
n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为；
∴①，正确；
②的小数部分为，错误；
③，正确；
④
，错误；
⑤
，正确；
综上所述，正确的是①③⑤,共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．
9．
【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．
【详解】设x=+，
两边平方得：x2=（）2+（）2+2，
即x2=4++4﹣+6，
x2=14
∴x=±．
∵+＞0，∴x=．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．
10．1
【详解】分析：将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为乘法后代入求值．
解：原式=．
当时，原式=．
11．（1）；（2）；（3）-1
【分析】（1）利用分母有理化求解；
（2）按照所给等式的变化规律写出第n个等式即可；
（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．
【详解】解：（1）= =.
故答案为：
（2）.
（3）
=
=-1
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功．
12．（1）x=3或y=2；，；（2）
【分析】（1）把等式右边展开和左边对比，据含根号的项相等和不含根号的项相等，列出关于x、y的方程组，解方程组即可．
（2）变形， 设运用（1）的方法求出x、y再进行化简即可
【详解】解：（1），
解得，，
即，或者，．
（2）因为， 故设
∴得
解得，，
∴
=
=．
【点睛】此题考查二次根式的化简，对于二重根号，其关键是要列方程组找到x、y，使得成立．
13．（1）x=y；（2）-1.
【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x﹣＝y+，同理得②式：x+＝y﹣，将两式相加可得结论；
（2）将x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式结合x2=2016，计算即可．
【详解】解：（1）∵（x﹣）（y﹣）＝2016，
∴x﹣＝＝＝y+①，
同理得：x+＝y﹣②，
①+②得：2x＝2y，
∴x＝y，
（2）把x＝y代入①得：x－＝x+，
∴x2＝2016，
则3x2－2y2+3x－3y－2017，
＝3x2－2x2+3x－3x－2017，
＝x2－2017，
＝2016－2017，
＝－1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简, 掌握分母有理化的方法是解题的关键.
14．(1)；(2)①；②；(3)A：；B：.
【分析】（1）乘以本身即可得有理数；乘以可得有理数，因此填，；（2）①中的分母乘以即可分母有理化；②中分子分母都乘以；
（3）将每项分母有理化后进行加法计算即可
【详解】解：(1) 乘以本身即可得有理数；乘以可得有理数，
因此填，；
(2)①.
②
(3)A：
=
B：
=
=
故A填；B填
【点睛】此题是阅读理解题，理解题意很重要，根据题意找到相应的分母有理化因式，才能将每个因式分母有理化.
15．①方法一：＝＝
方法二：＝
②；；③
【分析】①根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可；
②根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可；
③先分母有理化，再根据式子的规律即可求解.
【详解】①方法一：＝＝
方法二：＝
②＝＝
＝＝
故答案为；
③ + + +…+ +



【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，分析材料，运用材料的方法是解题关键.
16．5.
【分析】将进行分母有理化，分子分母同时乘以可得，进而求得，，，则
【详解】
，
，，，…，．
．
【点睛】本题以新定义型题形式考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过分母有理化将简化，再代值得到，即可解题.
17．t=2.
【分析】将x，y部分进行分母有理化可得，原代数式进行整理可得：，代x，y值即可解题
【详解】，
，
．
由题知．
则．
或(舍去)．
当时，代数式的值为2001．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解一元二次方程，解本题的关键是通过对x，y进行分母有理化及对代数式用完全平方公式进行整理即可解题.
18．（1）；（2）①，；②.
【分析】根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决．
中把根式下的式子转化成平方平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式
中也根据材料二的内容来解答求出x的值．
【详解】根据材料一；
,
，
，
,
,
解得：,
；
解：由材料二知：
，
，
可将的值看作点到点的距离
的值看作点到点的距离，
∴
，
当代数式取最小值，
即点与点，在同一条直线上，并且点位点的中间，
的最小值
=，
且，
设过，，的直线解析式为：
，
解得：，
；
中，
，
(ⅰ),
又
(ⅱ)
由(ⅰ)得：，
解得：舍， ，
的值为.
【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解新定义的内容是解题的关键.
19．(1)120
(2)①270；②，；③3
【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）①由可得，即可解答；
②设，（，为正整数而且），由可得，进行求解即可；
③设，，（，，为正整数而且），可得，根据分子为1的分数和为1的分数的特点进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：270，
②∵，
∴，
∴，
设，（，为正整数而且），
∴，即，
∵，
∴，，
∴，，
∴，；
故答案为：120，1080；
③设，，（，，为正整数而且），
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，，
当时，，此时，，
当，∴，∴，
当时，同②，，，；
当时，，，，；
综上所述：“三元数组”共有3个．
故答案为：3.
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将转化为几个分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键．
20．2005
【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再开平方，然后再来求值．
【详解】∵2005×2006×2007×2008+1
=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1
=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1
=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1
=（20052+3×2005+1）2
∴=20052+3×2005+1；
∴-20062
=20052+3×2005+1-20062
=（2005+2006）（2005-2006）+3×2005+1
=2005；
故答案为2005．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出20052-20062=（2005+2006）（2005-2006）的值．
21．7
【分析】把2放在根号下，得出+，2 ( )是整数，a、b的值进行讨论，使和为整数或和为整数，从而得出答案．
【详解】∵2 ( )=+ ，
∴当a、b的值为15，60，135，240，540时，
当a=15，b=15时，即2 ( )=4；
当a=60，b=60时，即2 ( )=2；
当a=15，b=60时，即2 ( )=3；
当a=60，b=15时，即2 ( )=3；
当a=240，b=240时，即2 ( )=1；
当a=135，b=540时，即2 ( )=1；
当a=540，b=135时，即2 ( )=1；
综上可得共有7对．
故答案为7．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．
22．44
【分析】由已知条件，等式两边同时乘以，再利用平方差公式化简即可得出
【详解】解：
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，注意利用平方差公式和整体带入求得答案.
23．5050．
【分析】根据题意可判断，又表示最接近的整数(，为整数)，，则，故可知原式==1+2+3+······+100=5050
【详解】，
，
从而原式．
【点睛】本题以新定义型题形式考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过已知可推出，即可解题.
24．/
【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
第个等式：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．