第07讲 二次函数 试卷（含答案详解）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘

这是一份第07讲 二次函数 试卷（含答案详解）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘，共27页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·广东·九年级统考竞赛）如图，在四边形中，，，，，．动点M，N同时从点A出发，点M以的速度沿向终点B运动，点N以的速度沿折线向终点C运动．设点N的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·全国·九年级竞赛）一条抛物线的顶点为，且与轴的两个交点的横坐标为一正一负，则，，中为正数的（ ）
A．只有B．只有C．只有D．只有和
3．（2021·全国·九年级竞赛）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列代数式：ab，ac，a+b+c，a-b+c, 2a+b，2a-b中，其值为正的代数式的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．4个以上
4．（2021·全国·九年级竞赛）在平面直角坐标系中，作抛物线关于轴对称的抛物线，再将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则抛物线所对应的的函数解析式是( )
A．B．
C．D．
5．（2021·全国·九年级竞赛）已知，，则（ ）．
A．4B．0C．2D．
6．（2021·全国·九年级竞赛）在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数的图象与轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）二次函数的图象与x轴的两个交点为，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
8．（2017秋·江苏镇江·九年级竞赛）函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知二次函数的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴于点C(0，3)，若，且△ABC的面积为3，则a+b（ ）
A．3B．-5C．-3D．5
二、解答题
10．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知开口向上的抛物线与直线：yaxc，ycxa中的每一条都至多有一个公共点．
(1)求的最大值；
(2)当取最大值时，设直线交抛物线于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值．
11．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）已知拋物线．
(1)若此拋物线与轴只有一个公共点且过点．
①求此抛物线的解析式；
②直线与该抛物线交于点和点．若，求的取值范围．
(2)若，将此抛物线向上平移个单位得到新抛物线，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
12．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式：
(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．
13．（2022·广东·九年级统考竞赛）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．
（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
14．（2021·全国·九年级竞赛）某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10~30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
15．（2017秋·浙江杭州·八年级竞赛）如图1，在△OMN中，∠MON=90°，OM=6cm，∠OMN=30°.等边△ABC的顶点B与点O重合，BC在OM上，点A恰好在MN上.
（1）求等边△ABC的边长；
（2）如图2,将等边△ABC沿OM方向以1cm/s的速度平移,边AB、AC分别与MN交于点E、F,在△ABC平移的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动,当点P达到点C时,点P停止运动,△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s）
①用含t的代数式表示AE的长,并写出t的取值范围；
②在点P沿折线B→A→C运动的过程中,是否在某一时刻,点P、E、F组成的三角形为等腰三角形?若存在,求出此时t值；若不存在,请说明理由．
16．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A，B，点A的横坐标为1，且为抛物线的顶点，点B的横坐标为3．
(1)求b的值；
(2)如图2，作轴，交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若线段与x轴交于点C（点C不与点A，B重合），连接交y轴于点F，设的面积为d，求d关于c的函数关系式，并直接写出自变量c的取值范围；
(3)如图3，在（2）的条件下，在延长线上取点Q，连接并延长，交x轴于点P，连接，若，的面积为，求c与n的值．
三、填空题
17．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）已知二次函数、、为常数的图象如图所示，下列个结论．
；；；为常数，且．
其中正确的结论有___________（填写序号）．
18．（2022·广东·九年级统考竞赛）如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为的正方形，则阴影部分面积的最小值为________．
19．（2021·全国·九年级竞赛）设二次函数的图象顶点为，与轴交点为、，当为等边三角形时，的值为________．
20．（2021·全国·九年级竞赛）已知直线y=b（b为实数）与函数 y= 的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围_____________.
x（10万元）
0
1
2
…
y
1
1.5
1.8
…
参考答案：
1．B
【分析】先求出AB=cm，可知M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒.分三种情况讨论:(1)当N在AD上时,即0＜t≤2,画出图形求解; (2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3, 画出图形求解; (3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5, 画出图形求解.即可选出正确答案.
【详解】解: ∠A=45°，CD=3cm，
AB==cm,
∴M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒,
下面分三种情况讨论:
(1)当N在AD上时,即0＜t≤2,如图1,
作ME⊥AD于E,
可知AN=2t,AM=,
∴EM=t,
∴
故此段图像是一条开口向上的抛物线;
(2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3,如图2,
作MF⊥CD于F,延长AB与DC的延长线交于O,
可知DN=2t-4,AM=,OD=4,OA= ,
∴ON=4-DN=8-2t,OM=,
∴MF=4- t,
∴,
,
,
∴,
故此段图像是一条开口向下的抛物线;
(3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5,如图3,
可知BC=1,DN=2t-4,
∴CN=3-DN=7-2t ,
∴,
,
,
∴,
故此段图像是一条呈下降趋势的线段;
综上所述,答案是B.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
2．A
【分析】根据b2−4ac与零的关系即可判断出二次函数的图象与x轴交点的个数；另外，与x轴的两个交点x1、x2，且x1·x2＝＜0，由这些已知条件，即可做出判断．
【详解】解：由题意，得
由③得： ⑤
由①、⑤得，＞0，即＞0
∴ ⑥
由②、⑥得，
由④、⑥得，
∴
故选：A
【点睛】在解关于二次函数与一元二次方程时，充分利用顶点坐标，和根的判别式来解答，这样会降低题的难度，提高做题效率．
3．A
【分析】根据抛物线的开口向下可判断a的符号，根据抛物线对称轴的位置可判断ab的符号，根据抛物线与y轴的交点可判断c的符号，进而可判断ac的符号；
由于x=1时，y=a+b+c，x=－1时，y=a－b+c，结合图象即可判断a+b+c与a－b+c的符号；
由对称轴为直线并结合a的符号可判断2a+b的符号，由a、b的符号即可判断2a－b的符号，从而可得答案.
【详解】解：∵图象的开口向下，∴a<0，∵图象与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，∴ac>0；
∵对称轴在y轴右侧，∴，∴ab<0；
由图可知，当x=1时，y=a+b+c>0，当x=－1时，y=a－b+c<0；
∵，a<0，∴－b>2a，∴2a+b<0；
∵a<0，b>0，∴2a－b<0.
综上，其值为正的代数式有2个.
故选：A.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质和二次函数与其系数之间的关系，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想方法是解答的关键.
4．D
【分析】易得抛物线C的顶点，进而可得抛物线B的顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项系数不变可得抛物线B的解析式，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得抛物线A所对应的的函数表达式
【详解】易得抛物线C的顶点（-1，-1），
∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C，
∴抛物线B的顶点坐标（1，-2），
可设抛物线B的解析式为y=2+k，代入得y=2-2，
易得抛物线A的二次项系数为-2，顶点坐标为（1,2），
∴抛物线A的解析式为y=-2+2，
故正确答案为D.
【点睛】此题主要考查二次函数图像的平移问题，只需看顶点坐标的如何平移得到即可；关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标相反，二次项系数互为相反数
5．B
【分析】先将字母b表示字母a，代入，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到a+b的值．
【详解】
代入,可得
即b=-2,c=0.


故选c.
【点睛】本题考查拆项、添项、配方、待定系数法,解题关键在于熟练掌握计算法则.
6．C
【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围．
【详解】将该二次函数化简得,y=−[(x−3)2−],令y=0得,x=或.画出图象可知,在红色区域内部及其边界上的整点为(2,0),(3,0),(4,0),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2)七个．
故选C.
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的相关知识点，解题的关键是能根据二次函数画出其抛物线.
7．D
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行排除选项．
【详解】解：由二次函数可知开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
∵，是二次函数与x轴的交点，点是图象上的一点，
∴当时，则或；故、选项错误；
当时，则，故正确；当且时，此时有可能，故错误；
故选．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8．A
【分析】图像开口向下a＜0，c＜0，对称轴>0，当x=1时，y>0，当x=-1时y<0，由以上信息即可判断．
【详解】解：观察图形，显然，a＜0，c＜0，b＞0，
∴ ab＜0，bc＜0，
由−＜1，得b＜-2a，所以2a+b＜0；
由a-b+c＜0得（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c）＜0；
由a+b+c＞0得a+b＞-c＞0，
因此（a+b）2-c2＞0，|b|＞|a|，b2-a2＞0．
综上所述，仅有（a+b）2-c2，b2-a2为正数．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，难度一般，认真观察图形分析出a、b、c的正负是关键．
9．C
【分析】方法一：由根与系数的关系可得，，再利用列方程求解，再检验即可得到答案；方法二：不妨设，由三角形的面积先求解，结合，再求解再利用待定系数法求解 从而可得答案.
【详解】解：方法一：依题意为方程的两根，且．
所以，．
所以，
所以面积．
解得，经检验符合题意，
．
因为函数的图象与轴有两个不同交点，因此，，符合要求．
所以．
方法二：不妨设，则，由的面积为3，且，得．
所以，又，
解得：，．
因此．
将代入，得，所以．
所以，
因此．
故选C
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数与x轴的交点坐标的含义是解本题的关键.
10．(1)5
(2)1
【分析】（1）联立和yaxc可得、，再根据题意可得；联立和yaxc再结合一元二次根的判别式可得，进而可得，然后求解即可；
（2）先求出取最大值时，求出抛物线的顶点，进而求解方程，然后再说明为等边三角形，最后求得a的值即可．
(1)
解：由，得，，
由抛物线与直线至多有一个公共点，得．
由，及，
得．
因为抛物线与直线至多有一个公共点，
所以，
即．
结合，得，
解得．
又抛物线与直线，中的每一条都至多一个公共点．
所以的最大值为5．
(2)
解：当取最大值时，抛物线为，其顶点．
由，
得，，
于是，．
设为的内心，为线段中点，则，，
且，．
∴，，为等边三角形．
∴．因此，．
所以．
或：由，
得的周长，
面积．
利用，得，
解得．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合、二次函数与几何的综合、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质．
11．(1)①；②
(2)，证明见解析
【分析】（1）①由抛物线与轴只有一个公共点得到求出，然后抛物线过点．把坐标代入函数解析式即可求解；
②首先把的坐标代入二次函数解析式中求出，然后联立两个解析式解方程组得到两点坐标即可求解；
（2），首先设此抛物线解析式为，接着把 代入解析式得到，然后利用函数图象的示意图即可得到，即可得到．
【详解】（1）①∵抛物线与轴只有一个公共点，
∴，
∴，
又∵抛物线过点．
∴，
∴抛物线的解析式；
②当时， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
联立，
解得或，
∴，
∴当时，或；
（2），理由：
由题知，将此抛物线向上平移个单位，
其解析式为，且过点，
∴，
∴，
∴，
且当时，，
对称轴：，抛物线开口向上，画草图如下所示．
由题知，当时，．
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题分别考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与直线的交点坐标及抛物线与不等式的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
12．(1)a=-．直线AB解析式为y=-x+3；
(2)2
(3)
【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解决问题；
（3）在y轴上 取一点M使得OM′=，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．
【详解】（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，
∴（x+1）（ax+3）=0，
∴x=-1或-，
∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴-=4，
∴a=-．
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，则，
解得，
∴直线AB解析式为y=-x+3；
（2）如图1，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN=∠AEN，
∵∠PNM=∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∵
∴，
∵NE∥OB，
∴，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴，
解得m=2或4，
经检验x=4是分式方程的增根，
∴m=2；
（3）如图2，在y轴上 取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．
∵OE′=2，OM′•OB=，
∴OE′2=OM′•OB，
∴，
∵∠BOE′=∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴，
∴，
∴，此时最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是的最小值．
13．（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【分析】（1）根据“N”函数的定义即可求得答案；
（2）根据中心对称的性质可得的图像与的图像只有一个交点，
由此联立方程即可求得答案；
（3）先根据中心对称的性质求得点B的坐标，进而可分别表示出y1与y2的函数关系式，以及点C的坐标，再根据为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，，，
∴，，，
∴的“N”函数的表达式为；
（2）
，
同理：，
∴与关于原点成中心对称，
又∵正比例函数的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，
∴的图像与的图像只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
整理，得：，
∴，
解得：，，
∴k的值为3或－1；
（3）由（2）可知，若二次函数y1与y2互为“N”函数，
则二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称，
∵A、B分别是“N”函数y1与y2的图像的顶点，点，
∴点，点O为AB的中点，
∴设（），则，
当时，，
∴点C（0，），
∵C是“N”函数与y轴正半轴的交点，
∴若为直角三角形，则∠ACB＝90°或∠BAC＝90°，
当∠ACB＝90°时，
又∵点O为AB的中点，
∴AB＝2OC，
∵AB＝，
∴OC＝，
∴点C的坐标为（0，），
当∠BAC＝90°时，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为（0，5），
综上所述：点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称是解决本题的关键．
14．（1）（2）（3）当广告费在10~25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大
【详解】试题分析：（1）设二次函数的解析式为y＝ax²＋bx＋c，根据表格数据待定系数法求解可得；
（2）根据利润＝销售总额减去成本费和广告费，即可列函数解析式；
（3）将（2）中函数解析式配方，结合x的范围即可得．
试题解析：
（1）设二次函数的解析式为，根据题意，得
，
解得
∴所求函数的解析式是.
（2）根据题意，得.
（3）.
由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大.
∴当广告费在10～25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大
15．（1）3cm;(2)①（）②t值为或2或
【详解】试题分析：（1）根据，∠OMN=30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．
（2）①由直角三角形的性质得出ON=2，MN=4．证明△OMN∽△BEM，得出对应边成比例，得出BE，即可得出AE的长，容易得出t的取值范围；
②△PEF为等腰三角形，分情况讨论，求出t的值，如果在0＜t＜3这个范围内就存在，否则就不存在．
试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
又∵∠OMN=30°
∴∠OAM=90°，OA⊥MN，
即△OAM为直角三角形，
∴OA=OM=3cm，
即等边△ABC的边长为3cm．
（2）①∵BM=6-t，OM=6cm，∠OMN=30°，
∴ON=2，MN=4．
∵∠M=∠M，∠N=∠MBE=60°，
∴△OMN∽△BEM，
∴，即，
∴BE=，
∴AE=AB-BE=（0≤t≤3）；
②存在；理由如下：
分4种情况：
（a）当点P在线段AB上时，点P在AB上运动的时间0≤t≤，
∵△PEF为等腰三角形，∠PEF=90°
∴PE=EF，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=AE=（3-BE）=（3-）=t，
∴=t或=t，
解得t=或＞（故舍去），
（b）当点P在AF上时，
若PE=PF时，点P为EF的垂直平分线与AC的交点，
此时P为直角三角形PEF斜边AF的中点，
∴PF=AP=2t-3，
∵点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，
∴0＜t＜3，在直角三角形中，cs30°=，
解得：t=2，
若FE=FP，
AF=，
则t-（2t-3）=t，
解得：t=12-6；
（c）当PE=EF，P在AE上时无解，
（d）当P点在CF上时，AP=2t-3，AF=t，则PF=AP-AF=t-3=EF，所以t-3=t，
解得 t=12+6＞3，不合题意，舍去．
综上，存在t值为或12-6或2时，△PEF为等腰三角形．
16．(1)
(2)（且）
(3)，
【分析】（1）根据顶点横坐标和对称轴关系列方程即可；
（2）根据对称轴和点B的横坐标可得到点D的横坐标为-1，可得到，再根据直线得到点C的坐标，过点作轴于，结合轴，易证得，根据对应边成比例可得到EF的值，在借助顶点坐标将n用含有c的代数式表示出来替换即可；
（3）设PQ交y轴于点K，过点Q作轴于N，延长DB交QN于M，易证得，再根据三角形的面积关系可得到BM的值，点B、Q都在直线AB：上，点B的横坐标是3，可表示出点B、Q的坐标，然后根据正切值计算即可．
【详解】（1）∵点的横坐标为1，且为抛物线的顶点，
∴，
∴．
（2）∵轴，
∴，
∵B、D都在抛物线上，
∴B、D关于抛物线对称轴对称，
∴D点的横坐标为-1，
∴，，
∵直线交轴于点，
∴，
过点作轴于，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵交点B的横坐标为3，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∵抛物线顶点在第四象限，
∴，
∴，
∴（且）；
（3）设PQ交y轴于点K，过点Q作轴于N，延长DB交QN于M，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点B、Q都在直线AB：上，点B的横坐标是3，
∴，
∵点的横坐标是5，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，由（2）知，，，
∴，，
解得，
∴，
综上，，．
【点睛】本题为二次函数综合题目，综合性较强，构造辅助线，结合三角形的相似和三角函数计算是解题的关键．
17．
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由图象可知：，
，
，
，故正确；
当时，，
故，故错误；
当时函数值小于，且，
即，代入得，得，
，
，故正确；
当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故错误．
故正确．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
18．7
【分析】把阴影部分面积用x表示出来，再利用二次函数的性质求解最值．
【详解】设阴影部分的面积为，其中，
则，
当时，有最小值为7，
故答案为：7.
【点睛】本题主要考查函数的实际应用，考查了二次函数的性质，根据解析式求二次函数的最值是解题的关键．
19．
【分析】令y=0，则可得，利用韦达定理可求解其两根之差，即为BC的长度；再由二次函数性质可得A（-a，），则运用特殊角60°的正切可得到关于a的等式并求解a的值.
【详解】解：令y=0，可得，令方程两根为x1＜x2，则，
BC= x2-x1=，
则tan60°=，解得a=.
【点睛】本题综合考查了二次函数与一元二次方程的联系及特殊角的三角函数.
20．0【分析】先求x2-4x+3=0时x的值，再求x2-4x+3＞0和x2-4x+3＜0时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的b的值的范围．
【详解】先作函数图象，只要把图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折即可得到的图象，
如图所示，因为函数顶点（2，-1）关于X轴对称的点（2,1），
结合图象可看出实数b的取值范围是0【点睛】本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的b值范围．