第08讲 平行线及三角形 试卷（含答案详解）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘

这是一份第08讲 平行线及三角形 试卷（含答案详解）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（ ）
A．85°B．75°C．65°D．30°
2．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，为等边三角形，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·九年级竞赛）将长为15cm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
4．（2017秋·浙江杭州·八年级竞赛）下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2017秋·浙江杭州·八年级竞赛）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，那么∠ACB的度数是 （ ）
A．45°B．75°C．90°D．60°
6．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，直角中，，，，，点P是线段上一动点（可与点A、点B重合），连接，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，已知直线ABCD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M．G是射线MD上一动点（不与点M，F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH=α，∠EGF=β．现有下列四个式子：①2α=β，②2α-β=180°，③α-β=30°，④2α+β=180，在这四个式子中，正确的是（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②③④
8．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
二、填空题
9．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则_____．
10．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 _____．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④．
11．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______．
12．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．
13．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．
14．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图．在中，，．若，则______．
15．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．
16．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中结论正确的是___________（填序号）
17．（2018春·四川自贡·八年级竞赛）如上图，已知 ,则的度数是 ________ .
18．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，，BF，DF分别平分和，，与互补，则的度数为______．
三、解答题
19．（2018春·四川自贡·八年级竞赛）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边 且BE＝CF，AD+EC＝AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
20．（2017·全国·八年级竞赛）如图，中，D为BC的中点，DE平分，DF平分，，，P为AD与EF的交点，证明：．
21．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图1，，点E，F分别在直线上，，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M．
(1)直接写出之间的关系： ．
(2)若，求．
(3)如图2，在（2）的条件下，将绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时t的值．
22．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图1，在五边形ABCDE中，，．
(1)猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，延长DE至F，连接BE，若，，，求∠C的度数．
参考答案：
1．B
【分析】根据AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
又∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，
∴∠D＝75°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中，等边对等角是解题的关键．
2．C
【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
3．C
【详解】试题分析：已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不同的截法．
解：∵长棒的长度为15cm，即三角形的周长为15cm
∴①当三角形的最长边为7时，有4种截法，分别是：7，7，1；7，6，2；7，5，3；7，4，4；
②当三角形的最长边为6时，有2种截法，分别是：6，6，3；6，5，4；
③当三角形的最长边为5时，有1种截法，是：5，5，5；
④当三角形的最长边为4时，有1种截法，是4，3，8，因为4+3＜8，所以此截法不可行；
∴不同的截法有：4+2+1=7种．
故选C．
考点：三角形三边关系．
4．D
【分析】根据高的定义即可求解．
【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高，
故选：D．
【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义．
5．B
【详解】试题解析：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；
∵△PCD中，∠APC=60°，
∴∠DCP=30°，PC=2PD，
∵PC=2PB，
∴BP=PD，
∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，
∵∠ABP=45°，
∴∠ABD=15°，
∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，
∴∠ABD=∠BAD=15°，
∴BD=AD，
∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，
∴BD=DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵BD=AD，
∴AD=DC，
∵∠CDA=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，
故选B.
6．D
【分析】根据垂线段最短，找到点P的位置，利用面积法求出取值，再比较点P与点A重合，与点B重合时的情况，得到最大值，即可得解．
【详解】解：当点时，最短，
此时，，
当点P与点A重合时，，当点P与点B重合时，，
∴最大值为4，
∴的取值范围是，
故选D．
【点睛】本题考查了垂线段最短，面积法，解题的关键是找到取最值的情况．
7．B
【分析】分两种情况讨论，即当G在F左侧时，当G在F的右侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义分别求出2α=β或2α+β=180°，则可作出判断.
【详解】解：如图，当G在F左侧时，
∵∠MEH=∠MEF-∠HEF=∠AEF-∠GEF= α ，
∠EGF=∠GEB=∠AEG=∠AEF-∠GEF=β ，
∴2α=β， 故①正确；
如图，当G在F的右侧时，
∵∠MEH=∠MEF+∠HEF=∠AEF+∠GEF= α ，
∠EGF=∠GEB=180°-∠AEG=180°-∠AEF-∠GEF=β ，
∴2α+β=2(∠AEF+∠GEF)+180°-∠AEF-∠GEF=180°， 故④正确；
综上所述，正确的是①④ ；
故选：B.
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质．
8．B
【分析】由三角形的内角和可求∠ABC，根据角平分线可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即可．
【详解】解：∵∠A+∠C=100°
∴∠ABC=80°，
∵BD平分∠BAC，
∴∠ABD=40°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=40°，
故答案为B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
9．140
【分析】欲求，因为，所以仅需求．根据三角形外角的性质，得．因为、分别是、平分线，所以，进而可求出．
【详解】解：如图，
、分别是、平分线，
，．
又，
，
又，
，
，
，
由题意得：，
，
，
故答案为：140．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线的定义是解决本题的关键．
10．①②④
【分析】由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．
【详解】解：，的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
，故①正确，
平分，
，
，，
，故②正确；
，，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，故③错误；
，
，
，
．故④正确，
综上正确的有：①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
11．
【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得，由对应边、对应角相等可得出，进而可求出，则．
【详解】作FH垂直于FE，交AC于点H，
∵
又∵，
∴
∵，FA=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题的关键．
12．45°或36°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：①如图1，
当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，
设∠A=x°，
则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
∴原等腰三角形的底角是45°；
②如图2，
△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=2∠B，
∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴原等腰三角形的底角为36°；
故答案为45°或36°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．
13．1
【分析】将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值．
【详解】解：连接，如下图：
于点于点，
，
，
，
故答案是：1．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将的面积拆成两个三角形面积之和来解答．
14．54°
【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．
【详解】∵ AF=EF，
∴ ∠A=∠AEF，
∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，
∴ ∠A=36°，
∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°．
故答案为：54°．
【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．
15．或
【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图
∵，，
∴
∴
∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，
∴AC=PC
∴
∵
∴
∴
②当点P在CB的延长线上时，如图
由①得，
∵AC=PC
∴
∴
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．
16．①②③
【分析】根据全等、等腰三角形以及三角形边的性质即可得出答案.
【详解】∵∠BAC=∠DAE=90，AB=AC，AD=AE
又∠BAD=∠BAC+∠CAD
∠CAE=∠EAD+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴BD=CE，故选项①正确；
∴∠BDA=∠CEA=45°
又∠ADE=45°
∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°
∴BD⊥CE，故选项②正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ACE=∠ABD
又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°，故选项③正确；
在△BAE中
AB+AE>BE
又AB=AC，AE=AD
∴AC+AD>BE，故选项④错误；
故答案为：①②③.
【点睛】本题考查的是等腰三角形，难度适中，需要熟练掌握等腰三角形、全等以及三角形的基本性质.
17．20°/20度
【分析】先证明△ABD≌△ACE，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵BE=CD，
∴BD=CE．
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠C．
∵∠BAC=80°，
∴∠C=（180°﹣80°）÷2=50°，
∴∠CAE=180°﹣110°﹣50°=20°．
故答案为20°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握SAS证明三角形全等是关键．
18．/36度
【分析】延长FB交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】解：如图延长FB交CD于G
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F与∠ABE互补
∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°，
解得∠F=36°
故答案为36°.
【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.
19．（1）见解析；（2）∠DEF＝70°．
【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根据SAS推出△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠B=∠C=70°，根据全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案；
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，
∴BD＝EC，
在△DBE和△ECF中， ，
∴△DBE≌△ECF（SAS）
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝＝70°，
∴∠BDE+∠DEB＝110°，
又∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE＝∠FEC，
∴∠FEC+∠DEB＝110°，
∴∠DEF＝70°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
20．见解析
【分析】想办法证明四边形DEFC是平行四边形，再证明即可解决问题．
【详解】证明：平分，DF平分，
，
，，
，
，，
，
，
是BC中点，
，
≌，
，
四边形DEFC是平行四边形，
，
，
，同法可证：，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；
（2）根据，分别表示出和，再由，可得的度数；
（3）结合（2），分以下几种情况求解：①当时，延长交边于，②当时，③当时，即与在同一直线上时，④当时，⑤当时．
【详解】（1），
，
是的外角，
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①当时，延长交边于，如图，
，
，
，
，
，
当绕点旋转时，，
（秒）
②当时，如图，
，，
，
，
当绕点旋转时，，
（秒），
③当时，即与在同一直线上时，
当绕点旋转时，，
（秒），
④当时，
，，
当旋转时，，
（秒）
⑤当时，
，
，
当旋转时，，
（秒），
综上所述，当的其中一边与的某一边平行时t的值为．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键．
22．(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）由已知可得∠A+∠B=180°，再由 ∠A=∠C 可得∠C+∠B=180°，从而可得AB∥CD；
（2）由（1）及已知可得∠C+2∠2=180°，∠ AED+2∠2=180°，从而可得．
【详解】（1）解：与的位置关系是：．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵， ，
即，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的综合应用，掌握平行线的判定和性质并根据已知条件熟练进行等量代换是解题关键．