第10讲 几何证明（垂直平分线、直角三角形） 试卷（含详解答案）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘

这是一份第10讲 几何证明（垂直平分线、直角三角形） 试卷（含详解答案）-2023年全国重点高中自主招生大揭秘，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（ ）
A．10.5B．12C．15D．18
3．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺
4．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在Rt中，，，，于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·广东·九年级统考竞赛）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5B．8C．15D．无法确定
二、填空题
7．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）已知一个直角三角形的两直角边分别为3，4，则此三角形斜边上中线长为____．
8．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）在中，，
（1）如果，那么___________；
（2）如果，那么___________；
（3）如果，那么___________；
（4）如果，那么___________；
9．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，据此可得学校与工厂之间的距离AB等于______ km；
10．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．
11．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 _____ ．
12．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．
三、解答题
13．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？
14．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）在中，
(1)如果，，求的长度；
(2)如果，，求的长度．
15．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）有一根长的木棒，要放入长、宽、高分别是、、的木箱中（如图），能放进去吗？试通过计算说明理由．
16．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若．
(1)求的长度；
(2)求的长度．
17．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，中的垂直平分线分别交于点D、E．求的长．
18．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接．
(1)若，求；
(2)若，求面积．
19．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，是四根长度均为的火柴棒，点A、C、E共线．，，求线段的长度是多少？
20．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC．
21．（2022春·湖南长沙·八年级长沙市长郡双语实验中学校考竞赛）已知：如图，△中，，，是△的中线，点在上，且．求证：．
22．（2022·广东·九年级统考竞赛）随着我国城市化水平逐渐加强，各大城市均出现了交通拥堵的情况，为了缓解交通拥堵，各地都在进行交通道路的优化和建设．某城市为了解决区域交通拥堵问题，修建了一条隧道．
(1)图甲为隧道入口，图乙为它的截面，已知米，隧道的最高点离路面的距离米，则该道路的路面宽_________米；在上，离地面相同高度的两点，装有两排照明灯，若是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是_________米．
(2)隧道建成后可改善附近路段的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（千米/小时）和车流密度（辆/千米）满足关系式（为实数）．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．
（a）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
（b）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量取得最大值时的车流密度．
23．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，已知四边形ABCD中，∠A为直角，AB=16，BC=25，CD=15，AD=12，求四边形ABCD的面积．
24．（2020·江西南昌·八年级竞赛）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)在图①中，以格点为端点，画线段MN=；
(2)在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．
参考答案：
1．C
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；
②当是的中线时，，进而可以进行判断；
③根据，证明为等边三角形，根据三线合一的性质进而可以进行判断；
④作的平分线交于点，可得，证明，，可得，进而可以判断；
⑤过作于点，由④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，进而可以进行判断．
【详解】解：①在中，，
∴，
∵平分平分，
∴，，
∴，故①正确；
②当是的中线时，，故②错误；
③∵，
∴为的中线，
∵为的角平分线，
∴，
∴为等边三角形，
∴，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤过作，于点，
由④知，为的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是解题关键．
2．C
【分析】由垂直平分线的性质可得DC=BD，再计算△ACD周长即可．
【详解】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴BD=DC
∴AB=AD+BD=AD+DC=9
∵AC=6
∴△ACD的周长=AD+DC+AC=9+6=15
故选：C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
3．C
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可.
【详解】设水池里的水深为x尺，由题意得：
解得：x=12
故选：C.
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键.
4．A
【分析】首先根据“斜中半”定理求出，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“30°角所对的直角边为斜边的一半”求解即可．
【详解】∵E是Rt中斜边AB的中点，，
∴，
∴，
∴，∠ECD=30°
在中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的基本性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．
5．B
【分析】先用配方法对b2+c2=2b+4c-5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得．
【详解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5
∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0
∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，
∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，
∴b＝1，c＝2．
又∵a2＝b2+c2﹣bc，
∴a2＝1+4﹣2＝3，
∴或（舍）
∵，
∴△ABC是以1和为直角边的直角三角形，
∴△ABC的面积为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算等基础内容，本题难度中等．
6．A
【详解】试题分析：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．
又∵BC=5，∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5．
故选A．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
7．2.5
【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】解：由勾股定理得，斜边，
所以，斜边上中线长．
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．
8． 15 6 5 60
【分析】在中，，则，根据题目给出的中的2个边长可以求第三个边的长．
【详解】解：在中，，所对的边为斜边，
∴，
（1）如果，则；
（2）如果，则；
（3）如果，则；
（4）如果，则．
故答案为：15；6；5；60．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的根据勾股定理求值是解题的关键．
9．4
【分析】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵∠A=60°，∠C=90°，AC=2km，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4（km）．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，掌握“直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半”是解题关键．
10．
【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．
【详解】解：由题意：平分，于,
，，
又为公共边，
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得．
11．12．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵直线DE垂直平分BC，
∴，
∴△ABD的周长，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．100．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．
故答案为：100．
【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．
13．树高为9米．
【分析】由题意知，设米，则米，且在中，代入数据可求x的值，进一步计算即可求解．
【详解】解：由题意知，且米，米，
设米，则米，
在中：，
即，
解得，
故树高为米．
答：树高为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到的等量关系，并根据勾股定理求解是解题的关键．
14．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据条件设，则，利用勾股定理求得k的值，就可求出斜边AB的长；
（2）设，则，利用勾股定理就可求得x的值．
【详解】（1）解：∵，
设，则．
∵，，，
∴，
解得(负值已舍)，
∴；
（2）解：∵，
设，则，
∵，，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，利用平方根解方程等知识，若知道线段比，常可设一份为k，从而可将相关线段用k的代数式表示，熟练掌握勾股定理是解题的前提．
15．能放得进去；理由见解析
【分析】先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可得出结果．
【详解】解：能放得进去；理由如下：如图所示：
根据已知条件得：，，，
连接、，
在中，，
在中，，
故能放得进去．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，求出，根据勾股定理计算，得到答案；
（2）利用证明，推出，设，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵平分交于点D，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分交于点D，，，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．，．
【分析】连接．设，则．由线段垂直平分线的性质可知．再在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可得解．
【详解】如图，连接．
设，则．
∵是线段的垂直平分线，
∴．
在中，,
∴，
解得：，
∴，．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键．
18．(1)；
(2)．
【分析】（1）证明是的中垂线，推出，再利用三角形的外角性质即可求解；
（2）利用勾股定理计算出，进而求出，即可求出的面积．
【详解】（1）解：∵，，
∴是的中垂线，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用是解题的关键．
19．．
【分析】作，，垂足分别为G、H，利用证明得到，利用勾股定理及等腰三角形的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：作，，垂足分别为G、H，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得是解决问题的关键．
20．见解析
【分析】先通过延长CD到F使DF=CD，连接AF，构造出△BCD的全等三角形△AFD，由全等三角形性质可得∠F=∠BCD，BC=AF，又根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到CD=BD，∠B=∠BCD，由等量代换和等角对等边就可推出AE=BC．
【详解】证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，如图
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
在△ADF与△BCD中，
，
∴△ADF≌△BDC（SAS），
∴∠F=∠BCD，BC=AF，
∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
又∵∠AED=∠B
∴∠AED=∠BCD，
∵△ADF≌△BDC，
∴∠F=∠BCD，
∴∠AED=∠F ，
∴AE=AF，
∵BC=AF，
∴AE=BC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，能正确构造出全等三角形是做出本题的重点．
21．证明见详解．
【分析】以点C为圆心，CD长为半径，交AB于F，连结CF，得出CD=CF，根据等腰三角形的性质得出∠CDF=∠CFD，根据直角三角形斜边中线得出AD=CF，再证△ADE≌△CFB（AAS）即可．
【详解】证明：以点C为圆心，CD长为半径，交AB于F，连结CF，则CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴∠ADE=180°-∠CDF=180°-∠CFD=∠CFB，
∵是△的中线，
∴CD=AD=BD，
∴AD=CF，
在△ADE和△CFB中，
，
∴△ADE≌△CFB（AAS），
∴AE=CB．
【点睛】本题考查尺规作图，等腰三角形性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，掌握尺规作图，等腰三角形性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质是解题关键．
22．(1)；
(2)（a）若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是；（b）隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米
【分析】（1）作的垂直平分线，交于，交于，则是圆心，连接，则即可得圆的半径为5厘米，根据勾股定理得，则，连接、交于，作于，于，可得PH，PA，由是的中点得垂直平分，即可得，根据平行线的性质得，根据AAS证明，则，即可得；
（2）（a）把，代入已知式求得k，解不等式可得x的范围，（b）由题意得， ，利用函数的单调性和基本不等式分段计算即可得．
(1)
解：如图，作的垂直平分线，交于，交于，则是圆心，连接，
∴（cm），
∵，
∴圆的半径为，
∴，
∴，
连接、交于，作于，于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为，．
(2)
（a）由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），
代入得，解得，
所以，
当时，，符合题意；
当时，令，解得，
所以
综上，，
则若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是．
（b）由题意得，
当时，为增函数，
所以，等号当且仅当成立；
当时，
=
=
=
=
≤
=
≈3250
即，等号当且仅当，即成立，
综上，y的最大值约为3250，此时x约为87，
则隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米．
【点睛】本题考查了圆，勾股定理，全等三角形的判定与性质，一次函数，分段函数，解题的关键是掌握这些知识点．
23．246
【详解】试题分析：运用勾股定理列式求出BD，再根据勾股定理逆定理求出∠CDB为直角，然后求出△ABD和△BDC的面积，相加即可得解．
试题解析：
∵∠A为直角，
∴BD2=AD2+AB2，
∵AD=12，AB=16，
∴BD=20，
∵BD2+CD2=202+152=252=BC2，
∴∠CDB为直角，
∴△ABD的面积为×16×12=96，
△BDC的面积为×20×15=150，
∴四边形ABCD的面积为：96+150=246．
24．（1）画图见解析；（2）画图见解析.
【分析】（1）以3和2为直角边作出直角三角形，斜边即为所求；
（2）以3和1为直角边作出直角三角形，斜边为正方形的边长，如图②所示．
【详解】（1）如图①所示：
（2）如图②所示.
【点睛】考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．