江苏省南通市海安市西片联盟2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份江苏省南通市海安市西片联盟2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 在实数，，，，，中，无理数的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
无理数有：，，共个．
故选：A．
【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数．
2. 如图，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（-1，-1），“马”位于点（2，-1），则“兵”位于点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系来确定位置即可得出答案．
【详解】解：如图所示：则“兵”位于（-3，2）．试卷源自 每日更新，不到1试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。元，欢迎访问。
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标位置的确定，解题的关键在于建立平面直角坐标系．
3. 下列不等式变形中，一定正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】A. ∵，∴当m>0时，，故该选项不一定成立，不符合题意；
B. ∵，∴当时，，故该选项不一定成立，不符合题意；
C. ∵，，∴不一定成立，例如：3>-4，-1>-2，3×（-1）<（-4）×（-2），故该选项不一定成立，不符合题意；
D. ∵，∴，∴，故该选项一定成立，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知．
【详解】解：如图：
由三角尺可知，
∵，
∴，
由平行线的性质可知．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质及直角三角形的性质，充分运用三角板和直尺的几何特征是解题的关键．
5. 若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入，即可求解．
【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一组解，
∴，
∴．
故选：C
6. 下列命题中：①有理数和数轴上的点一一对应；②有公共点的两个角是对顶角；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤任何一个数都有平方根和立方根．其中真命题的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据实数与数轴的关系、对顶角的性质平行公理、无理数和平方根的概念判断即可．
【详解】解∶①实数和数轴上的点一一对应，原命题是假命题；
②有公共点的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；
④两个无理数的和不一定是无理数，原命题是假命题；
⑤任何一个数不一定都有平方根和立方根，如，原命题是假命题．
故选∶A．
7. 如图，将两个关于x的一元一次不等式的解集表示在同一数轴上则这两个不等式的公共解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找出两个不等式解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
【详解】解：根据数轴得：不等式组的解集为，
故选：A．
【点睛】此题考查了在数轴表示不等式的解集，弄清不等式组取解集的方法是解本题的关键．
8. 数轴上表示、的对应点分别为A、B，点C是的中点，则点C表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴上中点特点，求出点C表示的数．
【详解】∵数轴上表示、的对应点分别为A、B，点C是的中点，
∴点C表示的数是，
故选：C．
9. 若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A. 18B. 19C. 20D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键．
分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果．
【详解】解：由，可得：，
∵关于x的不等式组最多有3个整数解，
∴或无解，
∵不等式组的整数解最多时为：1，2，3，
∴，解得：；
解，得：，
∵方程的解为非正数，
∴，解得：，
综上：，
符合条件k的整数值为：9，10，和为；
故选B．
10. 如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一循环，先求出的商和余数，从而解答本题．
【详解】解：如图所示：
观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，
，
∵点，长方形的周长为：，
，
∴经过505次翻滚后点A对应点的坐标为，即．
故选：B．
【点睛】本题考查探究点的坐标的问题，关键是找到点的变化规律．
二、填空题（11−12每题3分，13−18每题4分，共30分）
11. 比较大小： _____4．
【答案】＜
【解析】
【分析】将4写成一个数的平方根，即可得出答案．
【详解】解：∵4=，12＜16，
∴＜4，
故答案：＜．
【点睛】本题主要考查实数的比较大小，关键是掌握算术平方根的定义．
12. 若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为5、到y轴的距离为4，则点P的坐标________．
【答案】（﹣4，5）
【解析】
【分析】根据P到x轴的距离可得P的纵坐标的绝对值，根据P到y轴的距离可得P的横坐标的绝对值，根据第二象限的点的符号特点可得点P的坐标．
【详解】解：∵点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是4，
∴P的纵坐标的绝对值为5，横坐标的绝对值为4，
∵点P在第二象限内，
∴横坐标的符号为负，纵坐标的符号为正，
∴P的坐标为（﹣4，5）．
故答案为：（﹣4，5）．
【点睛】此题主要考查了点的坐标的相关知识；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
13. 如图，已知，平分，则__________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】，得到，角平分线得到，再利用平行线的性质，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质．熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键．
14. 若的整数部分是，则的平方根为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本难题考查了无理数的估算，平方根，正确估算出的整数部分，掌握平方根的求法是解题的关键．
先求出的整数部分为2，然后代入求出平方根即可．
【详解】解：∵，
∴
∴的整数部分为2，
∴，
∴
∴的平方根为．
故答案为：．
15. 若，且，则值为________________．
【答案】或
【解析】
【分析】利用平方根和绝对值解出，，然后根据和负数得到代入解题即可．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，
∴
当时，；
当时，；
故答案为：或．
【点睛】本题考查绝对值，平方根，有理数的加法，掌握运算法则是解题的关键．
16. 已知是二元一次方程的一组解，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，等式的性质等知识点，把代入二元一次方程得关于的等式，利用等式的基本性质求出的值，再整体代入求值即可，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】把代入二元一次方程得：，
∴，
∴两边同乘5得：，
∴两边同乘得：，
∴整理得：，
∴，
故答案为：．
17. 将如图左侧所示的6个大小、形状完全相同的小长方形放置在右侧的大长方形中，所标尺寸如图所示（单位：cm），则图中含有阴影部分的总面积为_____cm2
【答案】17
【解析】
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的对边相等，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
∴图中含有阴影部分的总面积＝（x+y+4）×（x+y）﹣6xy＝（5+2+4）×（5+2）﹣6×5×2＝17．
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到x与y的等量关系．
18. 已知：如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为___________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数轴及有理数在数轴上的表示，一元一次方程的应用，设点Q速度为个单位每秒，则M点速度为个单位每秒，根据题干：当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，列方程解出a，进而得到的长度，再求出点P到点A所需的时间，即可求解．
【详解】解：设点Q速度为个单位每秒，则M点速度为个单位每秒，
∵当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，
∴,
解得：
∴
∴点P运动到点A所需时间为：
∴点Q表示的数为：
故答案为：．
三、解答题（共90分）
19. 计算
（1）；
（2）；
（3）解方程：；
（4）解方程组：．
【答案】（1）
（2）−1
（3）或
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求平方根的方法解方程，解二元一次方程组：
（1）先计算立方根和算术平方根，再计算乘方，最后计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根和绝对值，再计算乘方，最后计算加减法即可；
（3）根据求平方根的方法解方程即可；
（4）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
解得或；
【小问4详解】
解：
整理得：
得，，
得，解得，
将代入①得，，解得，
∴方程组的解为：．
20. 解不等式组，并在数轴上表示出该不等式组的解集．
【答案】，数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后再数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
21. 一个正数的平方根分别是和，的立方根是．
（1）求a，b的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）；
（2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据立方根求原数，平方根的概念：
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此可求出；根据立方根的概念可得，据此可求出；
（2）根据（1）所求先求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可．
【小问1详解】
解：∵一个正数的平方根分别是和，
∴，
∴；
∵的立方根是，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵9的算术平方根是3，
∴的算术平方根是3．
22. 如图，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．
（1）在平面直角坐标系中画出，并写出顶点的坐标．
（2）求的面积．
（3）已知点P在x轴上，以为顶点的三角形面积为，请直接写出P点的坐标．
【答案】（1）图见解析，
（2）5 （3）或
【解析】
【分析】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）利用点平移的坐标变换规律找到三个顶点的位置，然后连线即可；
（2）用一个正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到的面积；
（3）设P点的坐标为，利用三角形面积公式求出a的值，即可得到P点坐标．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，顶点的坐标为．
【小问2详解】
的面积；
【小问3详解】
设点P的坐标为，
由点坐标为，则，
∵以为顶点的三角形面积为，
∴
∴或，
∴点P的坐标为或
23. 已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足．
（1）求 k 的取值范围；
（2）在 (1) 的条件下，若不等式的解为，请写出符合条件的 k 的整数值．
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）观察方程两式相见即可得到，再根据代入求解即可得到答案；
（2）分类解出不等式的解集，再根据求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，
得，
，
∵，
∴ ，
解得；
【小问2详解】
解：不等式移项可得，

当 时， ，不符合题意舍去；
时，，解得 ，
由（1）得，
∴符合的k值有 ，．
【点睛】本题考查含参方程组的解的问题及不等式含参解的问题，解题关键是正确解方程组及不等式．
24. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．
（1）若购买2个篮球和2个足球共需要多少钱；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，请求出有哪几种购买方案？
【答案】（1）420元
（2）共有种购买方案，详情见解析
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据“购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元”列出方程组，进一步求解即可得出答案；
（2）设购买个篮球，则购买个足球根据“篮球不少于30个，且总费用不超过5500元列不等式组求出的范围，结合为正整数可得答案．
【小问1详解】
解：设篮球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，

答：购买2个篮球和个足球需要420元．
【小问2详解】
设购买个篮球，则购买个足球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为30，31，32，33，
共有种购买方案，
方案：购买30个篮球，20个足球；
方案：购买31个篮球，19个足球；
方案：购买32个篮球，18个足球；
方案：购买33个篮球，17个足球．
25. 学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线，点E在之间，点P、Q分别在直线上，连接．
（1）如图1，运用上述结论，探究之间的数量关系．并说明理由；
（2）如图2，平分平分，当时，求的度数；
（3）如图3，若点E在的下方，平分平分的反向延长线交于点F，当时，请求出的度数．
【答案】（1），理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、多边形内角和、角平分线的定义、平角等知识：
（1）根据平行线的性质，得出，进而得出结论；
（2）根据角平分线的定义、平角的定义以及四边形的内角和即可求解；
（3）利用角平分线、平角、三角形的内角和、平行线的性质以及等量代换进行计算即可．
【小问1详解】
解：，
如图1，过点E作，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图2，
由（1）得，；
∵，
∴，
又∵平分平分，
∴，
∴，
在四边形中，
；
【小问3详解】
解：如图3，延长交与点M，
∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，即，
∴，
∴．
26. 已知，是直线上两点，，，且．
（1）求的面积；
（2）若点满足的面积为6，求的值；
（3）将直线平移后交轴正半轴于点，交轴于点，点为直线上一点，直线交轴于点，满足，，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）6 （2）1.5或7.5
（3）或，．
【解析】
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，对于七年级的学生来说，题目比较难．
（1）利用非负数的性质求出，的值即可；
（2）分两种情形，当点在的下方，轴上方时，当点在的上方时，分别构建方程求解即可；
（3）分两种情形：当点在轴的负半轴上时，连接，，．首先利用面积法证明，设，，，用表示出，，再利用面积法，构建方程求出即可．当点在线段上时，同法可求．
【小问1详解】
，
又，，
，，
，，
，，
；
【小问2详解】
当点在的下方，轴上方时，
由题意，，
解得，
当点在的上方时，由题意，，
解得，
综上所述，c的值为1.5或7.5；
【小问3详解】
当点在轴的负半轴上时，连接，，．
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，，
，
，
，
，
同法可得，
，，
，
，
，
．
当点线段上时，同法可得．
综上所述，满足条件的点的坐标为或，．