2024年湖南省株洲市芦淞区中考二模数学试题

这是一份2024年湖南省株洲市芦淞区中考二模数学试题，共21页。试卷主要包含了答题前，请按要求在答题卡等内容，欢迎下载使用。
数学试题卷
时量：120分钟 满分：120分
注意事项：
1．答题前，请按要求在答题卡．上填写好自己的姓名和准考证号．
2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师．
一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解．
【详解】解：的相反数是3．
故选：B．
2. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的范围，（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数非负列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故选：D．
3. “致中和，天地位焉，万物育焉”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是关于对称轴两边的图形折叠后重合，根据定义判断即可．
【详解】解：．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意．
故选：B．
4. 月日是中国航天日，年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点米．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D. 439×
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题关键在于找准小数点的位置．把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：，其中，为正整数．
【详解】解：，
故选：C
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法和积的乘方．根据合并同类项、同底数幂的乘法和积的乘方运算法则分别计算，然后对选项进行判断即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：B．
6. 中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形的内角和为，其中n为正多边形的边数，计算即可，此题考查的是求正八边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键．
【详解】解：正八边形的内角和为：
故选A．
7. 如图，是的平分线，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质．由平行线的性质可得，，再由角平分线的定义可得，从而可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故选：C．
8. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（ ）
A. 中位数为1
B. 从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大
C. 众数是1
D. 平均数为
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求平均数以及简单的概率计算，根据中位数的和众数的定义即可判断AC；根据平均数的计算公式即可判断D；分别求出从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的概率和取得偶数的概率即可判断B．
【详解】解：A、把这组数据从小到大排列为：1，1，1，4，4，5，处在最中间的两个数为1，4，则中位数为，原说法错误，符合题意；
B、∵一共有6个数，其中4个是奇数，2个是偶数，
∴从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数抽到奇数的概率为，抽到偶数的概率为，
∵，
∴从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大，原说法正确，不符合题意；
C、∵数字1出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是1，原说法正确，不符合题意；
D、平均数为，原说法正确，不符合题意；
故选：A．
9. 根据物理学知识可知：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜a上，被a反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜a所夹的角相等，即，若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线和反射光线所在直线的解析式分别为，，则下列关于，的关系说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，取直线在第二象限内的一点，过点A作轴交直线于C，分别过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B、D，可证明，进而推出，把代入中得，则，由，可得．
【详解】解：如图所示，取直线在第二象限内的一点，过点A作轴交直线于C，分别过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B、D，则，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入中得，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
10. 如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明，，，则当P与A，B重合时，最长，此时，而运动路程为0或4，从而可得答案．
【详解】解：∵正方形的边长为4，为边的中点，
∴，，，
当P与A，B重合时，最长，
此时，
运动路程为0或4，
结合函数图象可得，
故选C
【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 2024年1月1日，我市某地4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，，其中最低的气温是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的大小比较；由题意可根据有理数的大小比较进行求解．
【详解】解：∵，
∴最低的气温是；
故答案为：．
12. 因式分解：_____．
【答案】．
【解析】
【详解】要将一个多项式分解因式一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
13. 在物理实验中，当电流通过电子元件“”时，每个元件的状态有两种可能：通过或断开，并且这两种状态的可能性相等．如下图，当两个电子元件a、b并联时，P、Q之间电流通过的概率为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了树状图法求概率，物理学中有关“并联电路”的知识；由题意画出树状图找到所有的等可能事件，结合并联电路的知识求出对应的概率即可．
【详解】解：根据题意，画树状图如图所示：

由图知共有4种等可能情况，有3种情况P、Q之间有电流通过，
∴P、Q之间电流通过的概率为．
故答案为：．
14. 我国古代名著《九章数学》中，将底面是直角三角形的直三棱锥称之为“堑堵”．“堑堵”的实物图与左视图如图所示，根据图中的数据可得该“堑堵”的高h的值为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边的长是斜边长的一半进行求解即可．
【详解】解：如图所示，在中，，
∴，即，
故答案：4．
15. 已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是____．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，纵横坐标之积相等是解题的关键
根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解答；
【详解】解：点与点均在反比例函数的图象上，
，
即，
，
，
故答案为：0
16. 如图所示的小孔成像实验中，若物距为10厘米，像距为15厘米，蜡烛火焰倒立的像的高度是9厘米，则蜡烛火焰的高度是___________厘米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用．利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是厘米，
由相似三角形的性质得到：，
解得，
即蜡烛火焰的高度是厘米．
故答案为：．
17. 如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是___________米．（可用含根号的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案．
【详解】解：当时，则，
解得，
∴米，
故答案为：．
18. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志，如图，是某高铁线路在转弯处所设计的圆曲线（即圆弧），设高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中的转角为，若该圆曲线的半径千米，则这段圆曲线的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质、弧长公式；由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理求出，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵转角为，
∴，
∵过点A，B的两条切线相交于点C，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22，23、24题每小题8分，第25题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含三角函数的混合运算、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．先算三角函数、负整数指数幂、零指数幂、去绝对值，再算加减即可．
【详解】解：
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，最后代入求值，即可．
【详解】原式=
=
=
=
=
=
=，
原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
21. 为了开展阳光体育运动，提高学生身体素质，学校开设了“引体向上”课程．为了解学生做引体向上情况，现从八年级各班随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图1和图2，请根据有关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为___________，图1中m的值是___________．
（2）补全条形统计图；
（3）根据样本数据，若八年级有280名男生，请你估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上的人数．
【答案】（1）40，15
（2）见解析 （3）估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上的人数有154人．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，解题关键在于掌握及理解条形统计图和扇形统计图相关知识，运用其知识解决问题．
（1）根据扇形图和条形图中10次男生数据求出样本数量，再求出m的数值即可；
（2）根据题意求出样本中“引体向上”次数为7次的人数，即可补全图如图；
（3）根据样本估计总体求解即可．
【小问1详解】
解：本次接受随机抽样调查的男生人数为（人），
，即，
故答案为：40，15；
【小问2详解】
解：样本中“引体向上”次数为7次的人数为：（人），
补全条形统计图如图：
；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上的人数有154人．
22. 如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，支撑杆于点且，从点观测点的仰角为，又测得米．
（1）求该支架的边的长；
（2）求支架的边的顶端点D到地面的距离．（结果精确到0.1，参考数据）
【答案】（1）该支架边的长为米；
（2）点D到地面的距离的长约为米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
（1）在中，，根据已知可得，即可求解．
（2）由代入数据求得，进而根据，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴是直角三角形，
在中，，
∵，
∴，
即该支架的边的长为米；
；
【小问2详解】
解：根据已知可得，在，中，且，
∴，
即，
解得：，
在矩形中，，
∴米．
答：点D到地面的距离的长约为米．
23. 如图，在平行四边形中，以点A为圆心长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的同样长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，相交于O．
（1）证明：；
（2）若，，试求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理， 角平分线的尺规作图：
（1）连接，由作图方法可知平分，则，再证明，得到，再由，即可证明；
（2）先由全等三角形的性质得到，，再由三线合一定理得到，由勾股定理得，则．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

由作图方法可知平分，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
，
又∵，
∴
【小问2详解】
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴．
24. 阅读名著，感受经典，丰富内涵，品味人生，某书店售卖的《儒林外史》和《水浒传》两本名著的单本进价和售价如表所示：
已知该书店购进10本《儒林外史》和8本《水浒传》共需560元；购进15本《儒林外史》和5本《水浒传》共需525元．
（1）求a、b的值；
（2）该书店一次购进《儒林外史》和《水浒传》共100本，其中购进《儒林外史》的数量不少于《水浒传》的，销售完这100本书获得的总利润为w元，要使获得的总利润最大，应购进《儒林外史》多少本？总利润最大是多少元？
【答案】（1）a的值为，b的值为；
（2）当购进本《儒林外史》，本《水浒传》时总利润最大，为元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．
（1）依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（2）设购m本《儒林外史》，则购进本《水浒传》．依题意得，解得．由题意得，根据一次函数的图象与性质，求解作答即可．
【小问1详解】
解：依题意得，，
解得，
∴a的值为，b的值为；
【小问2详解】
解：设购m本《儒林外史》，则购进本《水浒传》．
依题意得，
解得．
由题意得，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，
此时本，元．
∴当购进本《儒林外史》，本《水浒传》时总利润最大，为元．
25. 已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．
（1）判断与的关系，并说明理由；
（2）若，求的值．
【答案】（1）与相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，先由三角形内角和定理和对顶角相等证明，再根据等边对等角证明，即可得到结论；
（2）如图所示，连接交于H，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明四点共圆，得到，进而证明，则由角平分线的性质得到，再证明，推出，则，即可求出，利用勾股定理求出，再由，是的直径，得到，，则；证明，即可得到．
【小问1详解】
解：与相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴与相切；
【小问2详解】
解：如图所示，连接交于H，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是直径，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
26. 定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于P、Q两点．
（1）填空：抛物线的“反碟长”___________．
（2）抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点时，求抛物线的解析式以及抛物线的“反碟长”．
②当抛物线的顶点A和抛物线与直线的两个交点B，C构成一个等边三角形时（点B在点C左右），求点A的坐标．
【答案】（1）
（2）①；4；②点的坐标为
【解析】
【分析】（1）根据定义，令，解方程即可求解；
（2）①根据抛物线的平移，即可求解；令，解方程即可求解；
②由②可知，，过点作于点，则，，根据是等边三角形，得出，即，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：令，则或，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：①由题意抛物线的顶点坐标为，
∴由平移的性质可得抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为：；
②解：∵点在直线上
∴可设
由①方法可求得，
∴
过点作于点，
则，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象的平移，二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．进价（元/本）
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