第2课时　球的切、接问题　课件——2024届高三数学二轮复习

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精选考点 典例研析 技法重悟通
【例1】　已知直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1的各顶点都在同一球面上，若 AB ＝ AC ＝1， AA 1＝2，∠ BAC ＝120°，则此球的表面积为 ⁠.
解析：设直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1的上、下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点 P ， M ，设△ ABC 外接圆的半径为 r ，直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1外接球的半径为 R ，
解题技法1. 求圆柱的外接球，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外 接球的直径.2. 求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴 截面求半径即可.
考向2　锥体的外接球【例2】　（1）已知三棱锥 P - ABC ，其中 PA ⊥平面 ABC ，∠ BAC ＝ 120°， PA ＝ AB ＝ AC ＝2，则该三棱锥外接球的表面积为（　C　）
解题技法1. 求圆锥的外接球，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形中垂 线的交点即为球心.2. 求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，再将直外接圆柱作 出，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可.3. 求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面 求半径即可.
（2）在三棱锥 P - BCD 中， BC ⊥ CD ， PB ⊥底面 BCD ，设 BC ＝1， PB ＝ CD ＝2，则该三棱锥的外接球的体积为 ⁠.
解题技法1. 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内， 如图①所示.2. 若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图② 所示.
1. 如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底 面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则 圆锥的侧面积为（　　）
3. （2023·全国乙卷16题）已知点 S ， A ， B ， C 均在半径为2的球面 上，△ ABC 是边长为3的等边三角形， SA ⊥平面 ABC ，则 SA ＝ ⁠.
【例4】　（1）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称 为鳖臑.若三棱锥 P - ABC 为鳖臑， PA ⊥平面 ABC ， PA ＝ BC ＝4， AB ＝3， AB ⊥ BC ，若三棱锥 P - ABC 有一个内切球 O ，则球 O 的体积为 （　C　）
（2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的 球的体积为 ⁠.
解题技法　　空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等 且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接 求内切球的半径.
2. 六氟化硫，化学式为SF6，在常温常压下是一种无色、无臭、无 毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛 用途.六氟化硫的分子结构为正八面体结
构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，若此 正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（　　）
关键能力 分层施练 素养重提升
1. 正方体的外接球与内切球的表面积之比为（　　）
2. 一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面 积为20π，则该四棱柱的高为（　　）
3. 已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆 内，若正方体的棱长为2，则半球的表面积为（　　）
4. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆 柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相 传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大 发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面 积之比说法正确的是（　　）
5. 如图，在边长为4的正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别为 AB ， BC 的中 点，将△ ADE ，△ BEF ，△ CDF 分别沿 DE ， EF ， DF 折起，使 A ， B ， C 三点重合于点A'，则三棱锥A'- DEF 的外接球体积为 （　　）
8. （2023·全国甲卷15题）在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， E ， F 分别 为 AB ， C 1 D 1的中点.以 EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共 有 个公共点.
9. 已知某圆台的上、下底面圆的面积分别为9π，16π，轴截面面积为 49，若该圆台的上、下底面圆周均在球 O 的球面上，则球 O 的表面 积为 ⁠.
两个底面在球心 O 异侧时，如图①所示， OO2＝7－ x ，则 R 2＝ x 2＋32＝（7－ x ）2＋42，解得 x ＝4， R ＝5；当圆台的两个底面在球心 O 同侧时，如图②所示， OO 2＝ x －7， R 2＝ x 2＋32＝（ x －7）2＋42，解得 x ＝4， OO 2＝－3（舍），故球 O 的表面积为 S ＝4π R 2＝100π.
10. 已知三棱锥 P - ABC 中， PA ⊥底面 ABC ， AC ＝4， BC ＝3， AB ＝ 5， PA ＝3，则该三棱锥的内切球的体积为 ⁠.
12. 四棱锥 P - ABCD 的顶点都在球 O 的表面上，△ PAD 是等边三角 形，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，若 AB ＝2， BC ＝3，则球 O 的表面积为 ⁠.
13. （2024·南昌调研）如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中有 两个球，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且 与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 ⁠ ⁠.
15. 在如图所示的四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是长方形，底面周 长为8， PD ＝3，且 PD 是四棱锥的高，设 AB ＝ x .
（1）当 x ＝3时，求三棱锥 A - PBC 的体积；
（2）求四棱锥外接球的表面积的最小值.