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北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程教案
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这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程教案，共8页。教案主要包含了内容和内容解析，教学目标，教学策略分析，教学重点和难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
一、内容和内容解析
1.内容：椭圆的定义，椭圆标准方程及其应用.
2.内容解析：从本章知识的内部结构看，椭圆、双曲线、抛物线的研究背景、研究问题、研究方法具有高度的相似性，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式，因而本单元的学习在全章的学习中具有基础和示范性作用.本单元是培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养良好的知识载体，学生通过动手画、观察抽象图形的几何特征，直观感知椭圆形状，选择适当的平面直角坐标系，建立椭圆标准方程，从而为研究椭圆的几何性质做好铺垫.培养了学生从特殊到一般、数形结合等思想，通过观察-猜想-论证-应用，不仅渗透了研究新问题的科学方法，还提升了学生的思维品质和科学的态度，通过师生交流，生生交流与探究活动，引导学生积极动手操作、勤于思考、善于思考，鼓励学生积极发现问题、提出问题、分析问题和解决问题.学生学习的兴趣和积极性，尊重学生的自我发现，落实新课标中学生发展为本、立德树人、提升素养的理念.
在本节课中，“椭圆的定义”部分，先在问题“椭圆具有怎样的几何特性?”的引领下进行画图操作，从中发现椭圆的几何特征，进而获得椭圆的概念，明晰研究的基础与出发点.“椭圆的标准方程”部分，先根据椭圆的几何特征建立坐标系，然后通过代数运算得到椭圆的标准方程.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般思路和方法，包括如何发现曲线的几何特征、如何建立适当的坐标系、如何简化和优化方程.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义及坐标法推导椭圆的标准方程.
二、教学目标
1.在轨迹生成的操作中掌握椭圆定义，学会推导椭圆的标准方程。
2、学会通过研究椭圆的标准方程获得椭圆的简单几何性质
3、进一步理解和研究坐标法，感悟数形结合思想，发展数学抽象、直观想象、数学运算等素养，
三、教学策略分析
1.已具备的认知基础：本课时的教学对象具有良好的知识储备和较强的学习能力.学生对坐标法已有初步的认识，通过直线和圆的方程的学习，对用坐标法研究曲线的基本思路与方法已有了解，学生具备较强的探究意识和团队合作意识，有较好的语言表达能力，积累了一定的数学活动经验，具有较强的动手实践能力.
2.可能存在的认知困难：化简由椭圆的几何特征直接得到的方程.这个方程是二元无理方程，是初高中教材衔接的空白点，化简这个方程需要两次两边平方，并且涉及的字母多，对学生的运算能力要求较高.
基于以上分析，确定本节课的教学难点：椭圆的标准方程的化简.
突破难点的关键：问题链引导学生对需要化简的式子的结构特征进行分析，对可能的方案进行预判，选择相对计算量小的方案进行化简，在化简过程中遇到的问题，通过小组合作探究解决.
3.教法分析
结合本课时的内容特点和学情分析，本节课主要采用任务驱动、问题启发、直观演示的教学方法.本课时以提升学生的数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养为根本出发点，知识上以抽象生成椭圆的概念和直观感受椭圆的对称性，化简椭圆方程为核心，思想方法上以坐标法为核心，用例1和课堂测验 作为课堂反馈，以完成课前探究和课后作业作为课堂的延伸和拓展，充分增加课堂的深度和广度.
4.学法分析
学生主要采取自主探究、合作交流的学习模式.在课前作业中既有全体参与的活动，也有小组合作的活动.在课堂教学中始终以学生为核心，鼓励学生独立思考、敢于质疑，通过小组合作、交流分享，突破难点，提升学生的合作探究意识，提高分析问题、解决问题的能力.
5.教学支持条件
教师充分利用畅言智慧课堂教学辅助系统授课，利用该系统实时地展示学生的探究过程和结果，让每个学生参与到探究的过程中来，及时分享学生的不同方法，充分发挥生生互评、师生互评的评价效能，引发学生更加深入的思考，加深对新知的理解与应用.
四、教学重点和难点
重点:椭圆的定义和标准方程
难点：椭圆的标准方程的推导
五、教学过程
（一）情景设置，引入新课
师：嫦娥奔月，北斗指路，祝融探火，天宫揽胜，神舟启航。把古老的什么神话变成这是中国航天人骄傲与浪漫。在过去的一年里中国，中国航天又都取得了成绩，请大家一直跟着视频一起来回望中国航天的2022.
【设计意图】：增强学生的民族自信心和自豪感。
师（视频播放结束）每一帧都是中国骄傲，每一帧都让我们每一个中国人感到自豪。那么，大家知道视频中的天体运行的轨道是什么图形吗？
生：椭圆
师：对，椭圆。除了天体运行的轨道是椭圆，你在生活中见过中见过椭圆形状的物品吗？
生：举例
师：椭圆不仅适用于我们的高科技，而且与我们的生活还息息相关、这就更加证明了研究椭圆的必要性。今天就我们一起学习《椭圆及其标准方程》。
（二）、合作探究，形成概念
师：将一细绳的两端固定在同一个点上，用笔尖把绳子拉紧，慢慢移动笔尖就得到了一个圆。那么仍然就这条细绳的两端分别固定在两个定点F1,F2上，用笔尖把细绳拉紧又会得到什么图形呢？请大家以小组为单位共同完成屏幕上的实验？
结论：小组合作，大家画出的曲线就是椭圆
师：你能从刚才画图的过程中发现笔尖这个动点P满足什么条件吗？
生：笔尖这个动点到两定点F1,F2两定点的距离之和始终等于绳长。
师：肯定学生的答案，强调笔尖这个动点到两定点F1,F2 距离之和始终等于绳长。
师：那么大家还发现有什么关系吗？
生：绳长得大于半径
师：绳长与两定点F1,F2的距离有几种关系？
小组继续讨论得出结论：>d表示的是椭圆，=d表示的是线段段，【设计意图】：通过小组合作进行画椭圆操作，在曲线的形成过程中产生对椭圆的特征的感性认识。引导学生观察、想象、概括、激发学生探索发现的兴趣，发展学生数学抽象、逻辑推理和直观想象等素养。
借助Gegebra软件，动态展示刚才的“数学实验”，引导学生自主探究得出椭圆的轨迹定义．
让学生尝试去总结椭圆的定义：
平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合（或轨迹）叫做椭圆
两个定点 F1，F2 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离|F1F2|叫做焦距。
（三）、主体互动，研究问题
师：类比前面圆的学习过程，学完定义好我们应该开始干什么呢？
生：求椭圆的方程
师：求曲线的一般过程是什么？
生：建，设，限，代，化
教师引导
(1)建系
以F1、F2 所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
(2)设点
设P(x，y)是椭圆上任意一点，F1F2＝2c，则有F1(－c，0)、F2(c，0)．
(3)限制
椭圆上的点满足|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞2c)．
(4)代入
EQ \R((x＋c)2＋y2)＋EQ \R((x－c)2＋y2)＝2a(2a＞2c)．
提出问题：下面怎样化简化简？
小组进行讨论，并让小组代表展示结果
方法1(移项平方法)：因为EQ \R((x＋c)2＋y2)＋EQ \R((x－c)2＋y2)＝2a，所以EQ \R((x＋c)2＋y2)＝2a－EQ \R((x－c)2＋y2)，两边平方可得：EQ \R((x－c)2＋y2)＝a－eq \f(cx,a)，两边再平方可得：eq \f((a2－c2)x2,a2)＋y2＝a2－c2，所以椭圆的方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－c2)＝1(a＞c＞0)．
方法2(直接平方法)：因为EQ \R((x＋c)2＋y2)＋EQ \R((x－c)2＋y2)＝2a，两边平方可得：
x2＋c2＋y2＋EQ \R((x2＋c2＋y2)2－4c2x2)＝2a2，整理得：EQ \R((x2＋c2＋y2)2－4c2x2)＝2a2－(x2＋c2＋y2)，两边再平方可得：a2(x2＋c2＋y2)＝a4＋c2x2，即：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，所以椭圆的方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－c2)＝1(a＞c＞0)
【设计意图】该环节对运算能力的要求颇高，学生会遇到运算的困难，是直接两边平方？还是移项后再两边平方？先让学生自己尝试，发现问题，通过交流，解决问题，使学生掌握含根号等式化简的方法与技巧，提高学生的计算能力，养成不怕困难的钻研精神,促进学生数学建模、数学运算核心素养的提升.
师：同学们认为是我们化简的最简形式了吗？教师引导学生观察图形，在椭圆的图形中去发现所对应的线段长，找出它们之间的关系，让学生了解的几何含义，最终令，让椭圆的标准方程达到最简。
【设计意图】说明的几何意义，进一步解释引进的好处，让学生体会解析几何数形结合的思想，感受数学方程的简洁美。
思考：焦点在轴上时，椭圆的标准方程是什么？
（由学生动手列式，，引导学生观察焦点在轴上与焦点在轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在轴上椭圆的标准方程）如果椭圆的焦点在轴上，其焦点坐标为，，用同样的方法可以推出它的标准方程.
（四）学以致用，典例分析
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求椭圆的标准方程.
方法一：解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.
由椭圆的定义知，则，
所以，，所以椭圆的标准方程为.
方法二：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.由椭圆的定义知，则，解得，所以椭圆的标准方程为.
【设计意图】通过练习使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为素养，并在解题过程中感受解析几何的思想，使数学概念在应用中得以巩固.
解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：
①先定位：确定焦点所在的坐标轴；
②再定量：求a, b的值.
例2: P是圆 上的任意一点，是圆F1内一点,线段PF2的垂直平分线MN交PF1于点M,交PF2于点N，求点M的轨迹方程
教师借助Gegebra软件展示完整过程
【设计意图】进一步提升对椭圆定义的理解
（五）反思小结，信息反馈
知识
椭圆的定义
椭圆的标准方程
方法
坐标法
数形结合法
（七）板书设计
（六）作业布置，多元评价
基础练习：课本第49页练习题1、2
能力练习：习题2-1B组2、7
探究活动：习题2.1B组第4题
思考：怎样用圆去折出一个椭圆
教师借助Gegebra软件展示完整过程
【设计意图】增强学生学习数学的兴趣，引导学生一定要善于用数学的眼光去观察世界，用数学的思维去思考世界，用数学的语言去表达世界。
椭圆的标准方程
椭圆的定义：平面内到两个定点距离之和常数(大于|F1F2|)的点的集合
椭圆的标准方程
焦点在轴上时，
焦点在轴上时，
三、应用
一、内容和内容解析
1.内容：椭圆的定义，椭圆标准方程及其应用.
2.内容解析：从本章知识的内部结构看，椭圆、双曲线、抛物线的研究背景、研究问题、研究方法具有高度的相似性，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式，因而本单元的学习在全章的学习中具有基础和示范性作用.本单元是培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养良好的知识载体，学生通过动手画、观察抽象图形的几何特征，直观感知椭圆形状，选择适当的平面直角坐标系，建立椭圆标准方程，从而为研究椭圆的几何性质做好铺垫.培养了学生从特殊到一般、数形结合等思想，通过观察-猜想-论证-应用，不仅渗透了研究新问题的科学方法，还提升了学生的思维品质和科学的态度，通过师生交流，生生交流与探究活动，引导学生积极动手操作、勤于思考、善于思考，鼓励学生积极发现问题、提出问题、分析问题和解决问题.学生学习的兴趣和积极性，尊重学生的自我发现，落实新课标中学生发展为本、立德树人、提升素养的理念.
在本节课中，“椭圆的定义”部分，先在问题“椭圆具有怎样的几何特性?”的引领下进行画图操作，从中发现椭圆的几何特征，进而获得椭圆的概念，明晰研究的基础与出发点.“椭圆的标准方程”部分，先根据椭圆的几何特征建立坐标系，然后通过代数运算得到椭圆的标准方程.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般思路和方法，包括如何发现曲线的几何特征、如何建立适当的坐标系、如何简化和优化方程.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义及坐标法推导椭圆的标准方程.
二、教学目标
1.在轨迹生成的操作中掌握椭圆定义，学会推导椭圆的标准方程。
2、学会通过研究椭圆的标准方程获得椭圆的简单几何性质
3、进一步理解和研究坐标法，感悟数形结合思想，发展数学抽象、直观想象、数学运算等素养，
三、教学策略分析
1.已具备的认知基础：本课时的教学对象具有良好的知识储备和较强的学习能力.学生对坐标法已有初步的认识，通过直线和圆的方程的学习，对用坐标法研究曲线的基本思路与方法已有了解，学生具备较强的探究意识和团队合作意识，有较好的语言表达能力，积累了一定的数学活动经验，具有较强的动手实践能力.
2.可能存在的认知困难：化简由椭圆的几何特征直接得到的方程.这个方程是二元无理方程，是初高中教材衔接的空白点，化简这个方程需要两次两边平方，并且涉及的字母多，对学生的运算能力要求较高.
基于以上分析，确定本节课的教学难点：椭圆的标准方程的化简.
突破难点的关键：问题链引导学生对需要化简的式子的结构特征进行分析，对可能的方案进行预判，选择相对计算量小的方案进行化简，在化简过程中遇到的问题，通过小组合作探究解决.
3.教法分析
结合本课时的内容特点和学情分析，本节课主要采用任务驱动、问题启发、直观演示的教学方法.本课时以提升学生的数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养为根本出发点，知识上以抽象生成椭圆的概念和直观感受椭圆的对称性，化简椭圆方程为核心，思想方法上以坐标法为核心，用例1和课堂测验 作为课堂反馈，以完成课前探究和课后作业作为课堂的延伸和拓展，充分增加课堂的深度和广度.
4.学法分析
学生主要采取自主探究、合作交流的学习模式.在课前作业中既有全体参与的活动，也有小组合作的活动.在课堂教学中始终以学生为核心，鼓励学生独立思考、敢于质疑，通过小组合作、交流分享，突破难点，提升学生的合作探究意识，提高分析问题、解决问题的能力.
5.教学支持条件
教师充分利用畅言智慧课堂教学辅助系统授课，利用该系统实时地展示学生的探究过程和结果，让每个学生参与到探究的过程中来，及时分享学生的不同方法，充分发挥生生互评、师生互评的评价效能，引发学生更加深入的思考，加深对新知的理解与应用.
四、教学重点和难点
重点:椭圆的定义和标准方程
难点：椭圆的标准方程的推导
五、教学过程
（一）情景设置，引入新课
师：嫦娥奔月，北斗指路，祝融探火，天宫揽胜，神舟启航。把古老的什么神话变成这是中国航天人骄傲与浪漫。在过去的一年里中国，中国航天又都取得了成绩，请大家一直跟着视频一起来回望中国航天的2022.
【设计意图】：增强学生的民族自信心和自豪感。
师（视频播放结束）每一帧都是中国骄傲，每一帧都让我们每一个中国人感到自豪。那么，大家知道视频中的天体运行的轨道是什么图形吗？
生：椭圆
师：对，椭圆。除了天体运行的轨道是椭圆，你在生活中见过中见过椭圆形状的物品吗？
生：举例
师：椭圆不仅适用于我们的高科技，而且与我们的生活还息息相关、这就更加证明了研究椭圆的必要性。今天就我们一起学习《椭圆及其标准方程》。
（二）、合作探究，形成概念
师：将一细绳的两端固定在同一个点上，用笔尖把绳子拉紧，慢慢移动笔尖就得到了一个圆。那么仍然就这条细绳的两端分别固定在两个定点F1,F2上，用笔尖把细绳拉紧又会得到什么图形呢？请大家以小组为单位共同完成屏幕上的实验？
结论：小组合作，大家画出的曲线就是椭圆
师：你能从刚才画图的过程中发现笔尖这个动点P满足什么条件吗？
生：笔尖这个动点到两定点F1,F2两定点的距离之和始终等于绳长。
师：肯定学生的答案，强调笔尖这个动点到两定点F1,F2 距离之和始终等于绳长。
师：那么大家还发现有什么关系吗？
生：绳长得大于半径
师：绳长与两定点F1,F2的距离有几种关系？
小组继续讨论得出结论：>d表示的是椭圆，=d表示的是线段段，
借助Gegebra软件，动态展示刚才的“数学实验”，引导学生自主探究得出椭圆的轨迹定义．
让学生尝试去总结椭圆的定义：
平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合（或轨迹）叫做椭圆
两个定点 F1，F2 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离|F1F2|叫做焦距。
（三）、主体互动，研究问题
师：类比前面圆的学习过程，学完定义好我们应该开始干什么呢？
生：求椭圆的方程
师：求曲线的一般过程是什么？
生：建，设，限，代，化
教师引导
(1)建系
以F1、F2 所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
(2)设点
设P(x，y)是椭圆上任意一点，F1F2＝2c，则有F1(－c，0)、F2(c，0)．
(3)限制
椭圆上的点满足|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞2c)．
(4)代入
EQ \R((x＋c)2＋y2)＋EQ \R((x－c)2＋y2)＝2a(2a＞2c)．
提出问题：下面怎样化简化简？
小组进行讨论，并让小组代表展示结果
方法1(移项平方法)：因为EQ \R((x＋c)2＋y2)＋EQ \R((x－c)2＋y2)＝2a，所以EQ \R((x＋c)2＋y2)＝2a－EQ \R((x－c)2＋y2)，两边平方可得：EQ \R((x－c)2＋y2)＝a－eq \f(cx,a)，两边再平方可得：eq \f((a2－c2)x2,a2)＋y2＝a2－c2，所以椭圆的方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－c2)＝1(a＞c＞0)．
方法2(直接平方法)：因为EQ \R((x＋c)2＋y2)＋EQ \R((x－c)2＋y2)＝2a，两边平方可得：
x2＋c2＋y2＋EQ \R((x2＋c2＋y2)2－4c2x2)＝2a2，整理得：EQ \R((x2＋c2＋y2)2－4c2x2)＝2a2－(x2＋c2＋y2)，两边再平方可得：a2(x2＋c2＋y2)＝a4＋c2x2，即：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，所以椭圆的方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－c2)＝1(a＞c＞0)
【设计意图】该环节对运算能力的要求颇高，学生会遇到运算的困难，是直接两边平方？还是移项后再两边平方？先让学生自己尝试，发现问题，通过交流，解决问题，使学生掌握含根号等式化简的方法与技巧，提高学生的计算能力，养成不怕困难的钻研精神,促进学生数学建模、数学运算核心素养的提升.
师：同学们认为是我们化简的最简形式了吗？教师引导学生观察图形，在椭圆的图形中去发现所对应的线段长，找出它们之间的关系，让学生了解的几何含义，最终令，让椭圆的标准方程达到最简。
【设计意图】说明的几何意义，进一步解释引进的好处，让学生体会解析几何数形结合的思想，感受数学方程的简洁美。
思考：焦点在轴上时，椭圆的标准方程是什么？
（由学生动手列式，，引导学生观察焦点在轴上与焦点在轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在轴上椭圆的标准方程）如果椭圆的焦点在轴上，其焦点坐标为，，用同样的方法可以推出它的标准方程.
（四）学以致用，典例分析
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求椭圆的标准方程.
方法一：解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.
由椭圆的定义知，则，
所以，，所以椭圆的标准方程为.
方法二：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.由椭圆的定义知，则，解得，所以椭圆的标准方程为.
【设计意图】通过练习使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为素养，并在解题过程中感受解析几何的思想，使数学概念在应用中得以巩固.
解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：
①先定位：确定焦点所在的坐标轴；
②再定量：求a, b的值.
例2: P是圆 上的任意一点，是圆F1内一点,线段PF2的垂直平分线MN交PF1于点M,交PF2于点N，求点M的轨迹方程
教师借助Gegebra软件展示完整过程
【设计意图】进一步提升对椭圆定义的理解
（五）反思小结，信息反馈
知识
椭圆的定义
椭圆的标准方程
方法
坐标法
数形结合法
（七）板书设计
（六）作业布置，多元评价
基础练习：课本第49页练习题1、2
能力练习：习题2-1B组2、7
探究活动：习题2.1B组第4题
思考：怎样用圆去折出一个椭圆
教师借助Gegebra软件展示完整过程
【设计意图】增强学生学习数学的兴趣，引导学生一定要善于用数学的眼光去观察世界，用数学的思维去思考世界，用数学的语言去表达世界。
椭圆的标准方程
椭圆的定义：平面内到两个定点距离之和常数(大于|F1F2|)的点的集合
椭圆的标准方程
焦点在轴上时，
焦点在轴上时，
三、应用
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