湖南省邵阳市2024届高三下学期第三次联考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省邵阳市2024届高三下学期第三次联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足：,其中i是虚数单位,则的值为( )
A.B.1C.2D.4
2．已知全集,集合,,如图（一）所示,则图中阴影部分表示的集合是( )
图（一）
A.B.C.D.或
3．“”是“函数（且）在R上单调递减”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．下列函数对于任意,,都有成立的是( )
A.B.C.D.
5．已知曲线在点处的切线与抛物线也相切,则实数a的值为( )
A.0B.C.1D.0或1
6．甲、乙两个工厂代加工同一种零件,甲加工的次品率为,乙加工的次品率为,加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的,,任取一个零件,如果取到的零件是次品,则它是乙工厂加工的概率为( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的焦点在圆上,且圆O与直线有公共点,则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数及其导函数的定义域均为R,记,函数的图象关于点对称.若对任意,有,则下列说法正确的是( )
A.不为周期函数B.的图象不关于点对称
C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的有( )
A.若角的终边过点,则角的集合是
B.若,则
C.若,则
D.若扇形的周长为,圆心角为,则此扇形的半径是
10．如图（二）所示,点E为正方体形木料上底面的动点,则下列结论正确的有( )
图（二）
A.三棱锥的体积为定值
B.存在点E,使平面
C.不存在点E,使平面
D.经过点E在上底面上画一条直线l与垂直,若l与直线重合,则点E为上底面中心
11．英国数学家泰勒发现了如下公式：
,,
某数学兴趣小组在研究该公式时,提出了如下猜想,其中正确的有( )
A.B.（精确到小数点后两位）
C.D.当时,
三、填空题
12．的展开式中常数项是________________.（用数字作答）
13．宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜,点水低飞恋野塘”,描绘了蜻蜓点水的情形,蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹,截取其中一段水波纹,其形状可近似地用函数的图象来描述,如图（三）所示,则___________.
图（三）
四、双空题
14．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且,则____________;若,,,,则的取值范围是__________.
五、解答题
15．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）若函数有且仅有三个零点,求k的取值范围.
16．如图（四）所示,四棱锥中,平面,,,,E为棱上的动点.
图（四）
（1）求证：;
（2）若,求直线与平面所成角的正弦值.
17．如图（五）所示,已知点,轴于点C,点M为线段上的动点（M不与端点O,B重合）,轴于点H,于点E,与相交于点Q,记动点Q的轨迹为.
图（五）
（1）求的方程;
（2）点A,N是上不同的两点,N关于y轴对称的点为,记直线与y轴的交点为,直线与y轴的交点为P.当为等边三角形,且时,求点P到直线的距离的取值范围.
18．某市开展“安全随我行”活动,交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼,并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数y与天数x的情况,对统计得到的样本数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中,.
（1）依据散点图推断,与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归方程类型？（给出判断即可,不必说明理由）
（2）依据（1）的结果和上表中的数据求出y关于x的回归方程.
（3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性,交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查,得到如下列联表：
依据的独立性检验,能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：,,,其中.
19．已知数列,,函数,其中,a,b,c均为实数.
（1）若,,,,,
（ⅰ）求数列的通项公式;
（ⅱ）设数列的前n项和为,求证：.
（2）若为奇函数,,b,,且,
问：当时,是否存在整数m,使得成立.若存在,求出m的最大值;若不存在,请说明理由.（附：,）
参考答案
1．答案：B
解析：,,.故选：B.
2．答案：D
解析：,或.故选：D.
3．答案：C
解析： 若,则的图象为：
若,则的图象为：
故选：C.
4．答案：A
解析：满足,则函数为上凸函数,由函数的图象可得,故选：A.
5．答案：C
解析：,,
所以曲线在点处的切线为：,即.
联立与,得,依题意可知,所以或1.
当时,不是抛物线,舍去.
故选：C.
6．答案：D
解析：设事件“任取一个零件,取到的零件是次品”,“任取一个零件,
来自甲工厂”,“任取一个零件,来自乙工厂”,
由题意得,,,.
因为,
所以.
故选：D.
7．答案：B
解析：由题可得：,,点O到直线的距离,
所以,,则,离心率.
故选：B.
8．答案：C
解析：因为函数的图象关于点对称,
所以,即,
则的图象关于点对称,B选项错误.
由,得.
令,则,
由,得的图象关于直线对称.
又的图象关于点对称,则,
所以,即,
则可得的图象关于点对称,
故为周期函数,且周期为8,,
所以,,D选项错误.
又,则,
所以,即,故为周期函数,A选项错误.
由,得,,则,C选项正确.选C.
9．答案：ABC
解析：由三角函数的定义知A选项正确;
因为,所以B选项正确;
因为,所以C选项正确;
设扇形的半径为r,圆心角为,因为扇形所对的弧长为,
所以扇形周长为,故,所以D选项不正确.
10．答案：AD
解析：三棱锥中,底面的面积为定值,由平面平面可知,
平面上任意一点到平面的距离都相等,
则可得三棱锥的体积为定值.故A选项正确;
若存在点E使得平面,
因为在正方体中,平面,所以与重合或平行,
显然这样的点E不存在,故B选项错误;
因为在正方体中,平面,当点E与重合时,为,
则存在点E使得平面,故C选项错误;
因为正方体中,平面,由题可得平面,所以,
又因为,易得平面,则.
当l与重合时,.在正方形中,
则可得E为与的交点即为上底面的中心,故D选项正确.
11．答案：BD
解析：由,,
则有,故A选项错误.
由,则,
又（精确到小数点后两位）,故B选项正确.
,,则有,故C选项错误.
当时,令,则,,
所以在上为增函数,则,
所以在上为增函数,则,
故当时,恒成立,即.故D选项正确.
12．答案：-40
解析：的展开式的通项为：,令,得,故.
13．答案：
解析：由题知：,,,,时,,故,.
14．答案：（或）,
解析：由及正弦定理,得,
由余弦定理可知,
又,.
,,由余弦定理得,,
与的夹角的余弦值为.
又,,
且,
,,
,
15．答案：（1）的单调递增区间为
（2）的极小值为,的极大值为,故
解析：（1）由,得,
令,得,解得.
所以的单调递增区间为.
（2）令,解得或.
当x变化时,,的变化情况如下表所示：
由函数有且仅有三个零点,得方程有且仅有三个不等的实数根,所以函数的图象与直线有且仅有三个交点.
显然,当时,;当时,.
所以由上表可知,的极小值为,的极大值为,故.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：证明：（1）连接,取的中点F,
连接,则.
又,.
四边形为平行四边形,.
,则.
又平面,平面,.
又,平面,平面,平面.
又平面,.
（2）以A为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设.
则,
依题意得,,,.
则,,
,.
设平面的法向量为,
则
取,得,,.
设直线与平面所成角为,则有.
直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,则.
直线的方程为,,.
,.
,,
化简得,其中.
即的方程为：.
（2）抛物线的图象关于轴对称,点N在上,
点N关于y轴对称的点也在抛物线的图象上.
设直线的方程为,,
,则.
联立方程得：整理得.
,,.
设,则,.
,N,A三点共线,,
.
即,又,.
.
点,N关于y轴对称,,
为等边三角形,,
直线的斜率,
.
由,得.
,,又,,
则点P到直线的距离.
设,则,且,
故.
在上单调递减,.
即点P到直线的距离的取值范围是.
18．答案：（1）更适合
（2）
（3）认为市民佩戴头盔与性别有关联,此推断犯错误的概率不超过0.10
解析：（1）更适合.
（2）由,得.
依题意得,
,
所以,即.
（3）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联.
根据列联表中的数据,经计算得到：
,
根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为市民佩戴头盔与性别有关联,此推断犯错误的概率不超过0.10.
19．答案：（1）（ⅰ）（ⅱ）
（2）5
解析：（1）（ⅰ）,,
由,
得,解得,
又,
,
,是以2为公比,2为首项的等比数列.
.
（ⅱ）令,则,
.
显然,当时,是递增数列,在时,单调递减,
可得,.
.
（2）为奇函数,
.
,
又,b,,
,.
,
由得,.
,
,
,,
在上为增函数,
当时,,;
,
.
当时,.
时,,又,
当时,,.
又,的最大值为5.
5.5
8.7
1.9
301
385
79.75
性别
佩戴头盔
合计
不佩戴
佩戴
女性
8
12
20
男性
14
6
20
合计
22
18
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
0
2
0
0
单调递减
1
单调递增
单调递减