黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2023-2024学年高三下学期第三次模拟测试数学试题(含答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2023-2024学年高三下学期第三次模拟测试数学试题(含答案)，共7页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题：（共8道小题，每题5分，共40分）
1．已知集合，，则为（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A．图（1）的平均数＝中位数＞众数B．图（2）的众数＜中位数＜平均数
C．图（2）的平均数＜众数＜中位数D．图（3）的中位数＜平均数＜众数
3．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前的废水中含有的污染物数量为2.25g/m3，首次改良工艺后废水中含有的污染物数量为2.21 g/m3，第次改良工艺后废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后的废水含有的污染物数量，为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过0.65 g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12B．13C．14D．15
6．已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则（ ）
A．该正八面体结构的表面积为m2B．该正八面体结构的体积为m3
C．该正八面体结构的外接球表面积为m2D．该正八面体结构的内切球表面积为
10．已知，，下列结论正确的是（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则
C．若在上恰有4个极值点，则的取值范围为
D．存在，使得在上单调递减
11．已知数列与满足，且，.若数列保持顺序不变，在与项之间都插入个后，组成新数列，记的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中的系数为__________.
13．已知，，则__________.
14．在平面直角坐标系中，，分别是双曲线的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）如图，在平面四边形中，，.
（1）若，，求的值；
（2）若，，求四边形的面积.
16．（15分）已知函数，.
（1）若，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性.
17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段长；若不存在，请说明理由.
18．（17分）随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
（1）估计这100位学生的数学成绩的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布，经计算，（1）中样本的标准差的近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量，则，，）
（3）该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中“玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求（获胜的概率）的值.
19．（17分）已知椭圆，的左右顶点分别为，长轴长为4，点为椭圆上与不重合的点，且.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）（1）一条垂直于轴的动直线交椭圆于，两点，当直线与曲线相切于点或点时，看作，两点重合于点或点，求直线与直线交点的轨迹的方程；
（2）过的直线与曲线交于，两点，且两交点均在轴右侧，直线与曲线交于点，直线与曲线交于点，记的面积为，记的面积为，求的取值范围.
数学答案
一、单选题
C B A B D C B D
二、多选题
9．ACD 10．ABC 11．BCD
三、填空题
12．24 13. 14．
四、解答题
15．【答案】（1）（2）
【详解】（1）在中，，，则，，
在中，由正弦定理得，
.
（2）在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，，
则，，
四边形的面积
.
16．【答案】（1）最大值为，最小值为0；（2）答案见解析.
【详解】（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为0.
（2）因为，，所以，，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
17．【答案】（1）略（2）1
【解析】（1）证明：如图，依题意，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
，，，，， 3分
，，，，
设平面的法向量为，，
，令，得， 5分
设平面的法向量为，
，令，得，
，平面平面 8分
（2）解：假设线段上存在点满足条件，，，
设直线与平面所成的角为， 9分
由题意可得.
化简得，解得或（舍去）， 14分
即存在点符合题意，此时 15分