浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高一下学期期末质量调研卷数学试题（Word版附解析）

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1. 若复数，则的虚部为（ ）
A B. C. D.
2. P是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
3. 在中，若，，，则＝（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 设，为非零向量，，，则下列命题为真命题是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
6. 已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 某校组织高一1班，2班开展数学竞赛，1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为，.记两个班总成绩的方差为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）

A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则在复平面内对应的点在一条直线上
10. 已知是边长为2的等边三角形，分别是上的两点，且，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B
C.
D. 在方向上的投影向量的模长为
11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ）

A. 存点P，使得平面B. 对任意点P，平面平面
C. 两条异面直线和所成的角为D. 点到直线的距离为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为_____________．
13. 在中，角的对边分别为，已知．则角______.
14. 位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为___________米.（结果保留整数，参考数据：）
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值．
16. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若的周长为20，面积为，求边c．
17. 2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．

（1）若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
（2）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；
（3）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．
18. 如图，以AD所在直线轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．
（1）求证：；
（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
19. 如图，已知圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，圆柱的两条母线．
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥体积的最大值．