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湖北省黄冈中学2024届高三下学期5月四模数学试题（Word版附答案）
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这是一份湖北省黄冈中学2024届高三下学期5月四模数学试题（Word版附答案），文件包含湖北省黄冈中学2024届高三第四次模拟考试5月数学试卷docx、湖北省黄冈中学2024届高三第四次模拟考试5月数学试卷解析pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
本试卷共 4 页, 19题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
考试时间: 2024 年 5 月 30 日下午 15:00-17:00
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码贴在答题卡上的 指定位置。
2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1. 已知复数 z=i1-i,z 表示 z 的共轭复数,则 z=
A. 24 B. 12 C. 22 D. 2
2. 已知集合 M=x∣lg2x-1≤0,N=y∣y=x+1x,x>0 ,则 M∩N=
A. ⌀ B. (1,2] C. {2} D. 2,3
3. 已知向量 a=1,3,b=sinθ,csθ,θ∈0,π ,若 a⊥b ,则 θ=
A. 56π B. 23π C. π3 D. π6
4. 为了解高中学生每天的体育活动时间, 某市教育部门随机抽取 1000 名高中学生进行调查, 把每天进行 体育活动的时间按照时长 (单位: 分钟) 分成 6 组: [30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80) , 80,90 . 然后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则可估计这 1000 名学生每天体育活 动时间的第 25 百分位数为
A. 47.5 B. 45.5 C. 43.5 D. 42.5
5. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率记为 e1 ,双曲线 y2b2-x2a2=1 的离心率记为 e2 ,若 e2-4e1=2 ,则 双曲线的渐近线方程为
A. y=±12x B. y=±x C. y=±2x D. y=±2x
6. 函数 fx=csωx+φω>0 的图象向左平移 π2 个单位后得到 gx=sinωx+φ 的图象,若 -π4 是 fx 的一个零点,则 φ 的可能取值为
A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
7. 已知 a=ln75,b=cs25,c=25 ,则 a,b,c 的大小关系为
A. a>b>c B. b>c>a C. c>b>a D. c>a>b
8. 已知数列 an 的首项 a1=12 ,且满足 an+1=an2-an ,若 1a1+1a2+1a3+…+1an<1000 ,则满足条件的最 大整数 n=
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法中正确的是
A. 8 道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数 X∼B8,0.25
B. 100 件产品中包含 5 件次品,不放回地随机抽取 8 件,其中的次品数 Y∼B8,0.05
C. 设随机变量 ξ∼N0,22,η∼N0,32 ,则 Pξ≤1>Pη≤1
D. 设 M,N 为两个事件,已知 P N=0.4,PM=0.5,PN∣M=0.2 ,则 PN∣M=0.6
10. 已知函数 fx=ex2x-1x-1 ,则
A. x<0 时, fx>0 B. fx 在 1,+∞ 上单调递增
C. fx 的极大值为 1 D. fx 的极大值为 4e32
11. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3,点 E、F、G 分别在棱 D1A1、D1C1、A1A 上,满足 D1ED1A1=D1FD1C1=13,A1G=λA1A ,记平面 EFG 与平面 A1B1CD 的交线为 l ,则
A. ∀λ∈0,1,AC// 平面 EFG
B. 平面 EFG 截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是 λ∈0,1
C. λ=23 时,三棱锥 A1-EFG 的外接球表面积为 24π
D. λ=23 时,直线 l 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 66
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 2-x5 的展开式中, x2 的系数为_________.
13. 已知圆 C:x2+y-22=1 和圆 D:x2+y2-6x-10y+30=0,M、N 分别是圆 C、D 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM+PN 的最小值是_________.
14. 函数 fx=sin2024x+cs2024x,x∈R ,则 fx 的值域为_________.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 已知函数 fx=x+1lnx-ax+2 .
(1) 当 a=1 时,求 fx 在 1,f1 处的切线方程;
(2) 若函数 fx 在 1,+∞ 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
16. 如图,在四面体 ABCD 中, AB=AC=AD=BC=BD,BC⊥BD,E,F 分别为 AB,AC 的中点.
(1) 证明: 平面 ACD⊥ 平面 BCD ;
(2) 求平面 BDF 与平面 CDE 夹角的余弦值.
17. 手中有 5 把钥匙, 其中有 3 把能打开房门, 每次随机选取一把试验, 试验完后就分开放在一边.
(1) 求第二次才能打开房门的概率;
(2) 为了甄别出能打开房门的三把钥匙,需要试验 X 次,求 X 的分布列及数学期望 EX .
18. 如图, A,B 是抛物线 C:y2=4x 上两点,满足 OA⊥OB ( O 是坐标原点),过点 O 作直线 AB 的垂线, 垂足为 D ,记 D 的轨迹为 M .
(1) 求 M 的方程;
(2) 设 Ps,tt≠0 是 M 上一点,从 P 出发的平行于 x 轴的光线被抛物线 C 反射,证明: 反射光线必 过抛物线 C 的焦点.
19. 空间内一点 P 可用三个有次序的数 r,θ,ϕ 来确定,其中 r 为原点 O 与点 P 间的距离; θ 为有向线段 OP 与 z 轴正向的夹角; ϕ 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到 OM 所转过的角,这里 M 为点 P 在 xOy 面上的投影,这样的三个数 r,θ,ϕ 叫做点 P 的球面坐标. 其中 r∈[0,+∞),θ∈0,π , ϕ∈0,2π ,如图所示.
球面距离是指球面上两点之间的最短路径长度, 这条路径是通过这两点的大圆上的劣弧 (大圆是过球 心的平面与球面相交形成的圆).
(1) 已知 A2,π4,π3,B2,π4,11π6 ,求 A,B 间的球面距离;
(2) 若 PR,θ1,ϕ1,QR,θ2,ϕ2 ,记 P,Q 间的球面距离为 d ,
证明: csdR=csθ1csθ2+sinθ1sinθ2csϕ1-ϕ2 .
本试卷共 4 页, 19题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
考试时间: 2024 年 5 月 30 日下午 15:00-17:00
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码贴在答题卡上的 指定位置。
2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1. 已知复数 z=i1-i,z 表示 z 的共轭复数,则 z=
A. 24 B. 12 C. 22 D. 2
2. 已知集合 M=x∣lg2x-1≤0,N=y∣y=x+1x,x>0 ,则 M∩N=
A. ⌀ B. (1,2] C. {2} D. 2,3
3. 已知向量 a=1,3,b=sinθ,csθ,θ∈0,π ,若 a⊥b ,则 θ=
A. 56π B. 23π C. π3 D. π6
4. 为了解高中学生每天的体育活动时间, 某市教育部门随机抽取 1000 名高中学生进行调查, 把每天进行 体育活动的时间按照时长 (单位: 分钟) 分成 6 组: [30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80) , 80,90 . 然后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则可估计这 1000 名学生每天体育活 动时间的第 25 百分位数为
A. 47.5 B. 45.5 C. 43.5 D. 42.5
5. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率记为 e1 ,双曲线 y2b2-x2a2=1 的离心率记为 e2 ,若 e2-4e1=2 ,则 双曲线的渐近线方程为
A. y=±12x B. y=±x C. y=±2x D. y=±2x
6. 函数 fx=csωx+φω>0 的图象向左平移 π2 个单位后得到 gx=sinωx+φ 的图象,若 -π4 是 fx 的一个零点,则 φ 的可能取值为
A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
7. 已知 a=ln75,b=cs25,c=25 ,则 a,b,c 的大小关系为
A. a>b>c B. b>c>a C. c>b>a D. c>a>b
8. 已知数列 an 的首项 a1=12 ,且满足 an+1=an2-an ,若 1a1+1a2+1a3+…+1an<1000 ,则满足条件的最 大整数 n=
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法中正确的是
A. 8 道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数 X∼B8,0.25
B. 100 件产品中包含 5 件次品,不放回地随机抽取 8 件,其中的次品数 Y∼B8,0.05
C. 设随机变量 ξ∼N0,22,η∼N0,32 ,则 Pξ≤1>Pη≤1
D. 设 M,N 为两个事件,已知 P N=0.4,PM=0.5,PN∣M=0.2 ,则 PN∣M=0.6
10. 已知函数 fx=ex2x-1x-1 ,则
A. x<0 时, fx>0 B. fx 在 1,+∞ 上单调递增
C. fx 的极大值为 1 D. fx 的极大值为 4e32
11. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3,点 E、F、G 分别在棱 D1A1、D1C1、A1A 上,满足 D1ED1A1=D1FD1C1=13,A1G=λA1A ,记平面 EFG 与平面 A1B1CD 的交线为 l ,则
A. ∀λ∈0,1,AC// 平面 EFG
B. 平面 EFG 截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是 λ∈0,1
C. λ=23 时,三棱锥 A1-EFG 的外接球表面积为 24π
D. λ=23 时,直线 l 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 66
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 2-x5 的展开式中, x2 的系数为_________.
13. 已知圆 C:x2+y-22=1 和圆 D:x2+y2-6x-10y+30=0,M、N 分别是圆 C、D 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM+PN 的最小值是_________.
14. 函数 fx=sin2024x+cs2024x,x∈R ,则 fx 的值域为_________.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 已知函数 fx=x+1lnx-ax+2 .
(1) 当 a=1 时,求 fx 在 1,f1 处的切线方程;
(2) 若函数 fx 在 1,+∞ 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
16. 如图,在四面体 ABCD 中, AB=AC=AD=BC=BD,BC⊥BD,E,F 分别为 AB,AC 的中点.
(1) 证明: 平面 ACD⊥ 平面 BCD ;
(2) 求平面 BDF 与平面 CDE 夹角的余弦值.
17. 手中有 5 把钥匙, 其中有 3 把能打开房门, 每次随机选取一把试验, 试验完后就分开放在一边.
(1) 求第二次才能打开房门的概率;
(2) 为了甄别出能打开房门的三把钥匙,需要试验 X 次,求 X 的分布列及数学期望 EX .
18. 如图, A,B 是抛物线 C:y2=4x 上两点,满足 OA⊥OB ( O 是坐标原点),过点 O 作直线 AB 的垂线, 垂足为 D ,记 D 的轨迹为 M .
(1) 求 M 的方程;
(2) 设 Ps,tt≠0 是 M 上一点,从 P 出发的平行于 x 轴的光线被抛物线 C 反射,证明: 反射光线必 过抛物线 C 的焦点.
19. 空间内一点 P 可用三个有次序的数 r,θ,ϕ 来确定,其中 r 为原点 O 与点 P 间的距离; θ 为有向线段 OP 与 z 轴正向的夹角; ϕ 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到 OM 所转过的角,这里 M 为点 P 在 xOy 面上的投影,这样的三个数 r,θ,ϕ 叫做点 P 的球面坐标. 其中 r∈[0,+∞),θ∈0,π , ϕ∈0,2π ,如图所示.
球面距离是指球面上两点之间的最短路径长度, 这条路径是通过这两点的大圆上的劣弧 (大圆是过球 心的平面与球面相交形成的圆).
(1) 已知 A2,π4,π3,B2,π4,11π6 ,求 A,B 间的球面距离;
(2) 若 PR,θ1,ϕ1,QR,θ2,ϕ2 ,记 P,Q 间的球面距离为 d ,
证明: csdR=csθ1csθ2+sinθ1sinθ2csϕ1-ϕ2 .
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