数学：广东省茂名市2024届高三下学期高考模拟试题（解析版）

这是一份数学：广东省茂名市2024届高三下学期高考模拟试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，其中且，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，解得.
故选：A.
2. 若，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
所以的虚部为，故选：D.
3. 已知直角斜边的中点为O，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为点是直角斜边的中点，且，
所以，则为等边三角形，，
又因为是直角三角形，所以，
所以，
向量在向量上的投影向量为：
.
故选：B.
4. 直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为直线，的倾斜角分别为，，所以，
若，则，
若，则都不存在，
所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.
5. 如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ）
A. 四点共面B.
C. 三线共点D.
【答案】D
【解析】对于AB，如图，连接，，
因为是的中位线，所以，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，所以四点共面，故AB正确；
对于C，如图，延长，相交于点，
因为，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面，
因为平面平面，
所以，所以三线共点，故C正确；
对于D，因为，当时，，
又，则，故D错误.故选：D.
6. 已知抛物线C：（）的焦点为F，C的准线与x轴的交点为M，点P是C上一点，且点P在第一象限，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】过作垂直准线于，如图，
在中，由正弦定理可得，
即，
在中，因为，
所以，
即，
故选：A
7. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，－a5成等差数列，则＝（ ）
A. 3B. 9
C. 10D. 13
【答案】C
【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a6，3a4，－a5成等差数列，
所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q).由题意得a4>0，q>0.
所以q2－q－6＝0，解得q＝3，所以＝＝1＋q2＝10.
故选：C
8. 已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】直线即直线，过定点，
直线即直线，过定点，
又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆，
即轨迹方程为，圆心，
因为Q圆C上一点，且PQ与C相切，
所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围.
设设圆的半径为，
因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值，
，
又因为，即，
即，
所以，即，
故选：C.
二、选择题
9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆
【答案】AC
【解析】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，令，满足，但，故B错误；
对于C，设且不同时为，
则
，故C正确；
对于D，设复数，则点，
由，得，
则点到点与点的距离和为，
故点的轨迹是线段，故D错误.
故选：AC
10. 质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）
A. 事件、、两两互斥
B. 事件与事件对立
C.
D. 事件、、两两独立
【答案】ABC
【解析】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，
故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；
事件包含的基本事件有、、，
事件包含的基本事件有，
当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，
显然不对立，故B错误；
又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C错误；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
即事件、、两两独立，故D正确.故选：ABC.
11. 已知函数的定义域为,且
为偶函数，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. D.
【答案】BCD
【解析】令，，则有， 故，即，
令，则，
即恒成立，故，
又函数的定义域为，故为奇函数，故B正确；
则，又为偶函数，
故，则，故A错误；，故C正确；
，则，故函数的周期为，
，则，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12. 的展开式中常数项为__________．
【答案】16
【解析】依题意，展开式的常数项为，含的项为，
所以的展开式中常数项为.
故答案为：16
13. 在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为____________.
【答案】165
【解析】设等差数列的公比为，
由题意得，即，
因公差大于零，解得，（舍），
所以，
故答案：165.
14. 已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为______.
【答案】
【解析】设，的斜率分别为，且
过点M的切线方程为，联立，
解得，所以，
即，所以，
设切点，由导数几何意义知，
所以，，
所以直线，
即：且，所以：，
直线恒过定点，其到的距离为1，
联立得，
∴，，
即，
∴，
故答案为：.
四、解答题
15. 已知函数，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若在上单调递减，求a的取值范围.
解：（1）因为，所以，定义域为，
可得，
令，显然在上单调递增且，
因此当时，则有，当时，则，
于是有当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以.
（2）化简得，即，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
由，
设，则有，
当时，，单调逆减，
当时，，单调逆增，
所以，
要想在上恒成立，
只需，经检验，当符合题意，
因此a的取值范围为.
16. 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：取的中点，连接，，
则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：取的中点，连接，
因为四边形为等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
过点作直线的垂线交于点，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为直径，所以，
所以，，．
在等腰梯形中，，，
所以，
所以，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则
所以令，则，，所以．
设平面的法向量为，则，
取．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
（1）解：由，，得，解得，
由，，所以，所以或，
当时，此时；
当时，此时；
综上可得数列的通项公式为或；
（2）证明：因为，所以，
则，
则
，
所以
.
18. 2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮．某地游乐园一迷宫票价为8元，游客从处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直到从号出口走出，且从号出口走出，返现金元．

（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：
判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？
附：
（2）走迷宫“路过路口”记为事件，从“号走出”记为事件，求和的值；
（3）设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？
解：（1）根据列联表中的数据可得，
所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关.
（2）依题意当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，所以向北与向东走的概率均为，由到路口需向北走个，向东走个路口，则不同路线有条，
所以，事件表示从出发经过路口最后从号路口走出，
则，所以，
表示从出发最后从号路口走出的条件下经过路口的概率，
又，，
所以.
（3）依题意从号出口走出，返现金元，
所以每名游客游玩一次游乐园收入可能取值为，
所以，，
，，
，，
，
所以每名游客游玩一次游乐园收入的期望为：
，
每天走迷宫的游客为人，则迷宫项目每天收入约为元.
19. 曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率（其中表示函数在点M处的导数，表示导函数在点M处的导数）．在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．

（1）求出曲线在点处的曲率，并在曲线的图象上找一个点E，使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同；
（2）若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；
（3）在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值．
解：（1）曲线在点附近满足，进一步有，，
故其曲率.
在处，，所以曲线在点处曲率为.
考虑曲线上的点，曲线在该点附近满足，进一步有，，故其曲率.
在处，，所以曲线在点处的曲率亦为.
（2）设的方程为，，
由条件知，由和组成的方程组只有一个解.
将其联立，得到，
即，即.
若，则原方程组还有另一个解，矛盾.
而时，我们有，从而，，
故，这表明原方程组只有一个解.
所以所求的半径最大的圆的方程为.
（3）首先有.
设，则我们又有，，故.
当，时，.
所以的最大值是.
男性
女性
总计
喜欢走迷宫
12
18
30
不喜欢走迷宫
13
7
20
总计
25
25
50
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828